Вибрация плит - Vibration of plates - Wikipedia

Для строительной машины см. пластинчатый уплотнитель.

Режим вибрации зажатой квадратной пластины

В вибрация плит является частным случаем более общей проблемы механического вибрации. Уравнения, управляющие движением пластин, проще, чем уравнения для обычных трехмерных объектов, потому что один из размеров пластины намного меньше двух других. Это говорит о том, что двумерный теория пластин даст отличное приближение к реальному трехмерному движению пластинчатого объекта, и это действительно так.^[1]

Существует несколько теорий, которые были разработаны для описания движения плит. Чаще всего используются Теория Кирхгофа-Лява^[2] и Уфлянд-Миндлин^[3][4]. Последняя теория подробно обсуждается Елисаков^[5]. Решения основных уравнений, предсказываемых этими теориями, могут дать нам представление о поведении пластинчатых объектов как при свободный и принужденный условия. Это включает в себя распространение волн и изучение стоячих волн и мод колебаний в пластинах. Тема вибрации пластин рассматривается в книгах Лейссы.^[6][7], Гонткевич^[8], Рао^[9], Soedel^[10], Ю^[11], Горман^[12][13] и Рао^[14].

Тарелки Кирхгофа-Лява

Основная статья: Теория пластин Кирхгофа – Лява § Динамика пластин Кирхгофа – Лява.

Основные уравнения динамики пластины Кирхгофа-Лява:

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle u_{\alpha }}$ - смещения средней поверхности пластины в плоскости, ${\displaystyle w}$ - поперечное (внеплоскостное) смещение средней поверхности пластины, ${\displaystyle q}$ - приложенная поперечная нагрузка, а результирующие силы и моменты определяются как

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\quad {\text{and}}\quad M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\,.}$

Обратите внимание, что толщина пластины составляет ${\displaystyle 2h}$ и что результирующие определяются как средневзвешенные значения напряжений в плоскости ${\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }}$. Производные в основных уравнениях определяются как

${\displaystyle {\dot {u}}_{i}:={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}:={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }:={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }:={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}$

где латинские индексы идут от 1 до 3, а греческие - от 1 до 2. Предполагается суммирование по повторяющимся индексам. В ${\displaystyle x_{3}}$ координаты вне плоскости, а координаты ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ находятся в плоскости.Для пластины равномерной толщины ${\displaystyle 2h}$ и однородная массовая плотность ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2\rho h\quad {\text{and}}\quad J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}\rho h^{3}\,.}$

Изотропные пластины Кирхгофа – Лява.

Основная статья: Теория пластин Кирхгофа – Лява § Изотропные пластины

Для изотропной и однородной пластины зависимости напряжения от деформации имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

куда ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$ деформации в плоскости. Соотношения деформации-смещения для пластин Кирхгофа-Лява имеют вид

${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })-x_{3}\,w_{,\alpha \beta }\,.}$

Следовательно, результирующие моменты, соответствующие этим напряжениям, равны

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}\\w_{,22}\\w_{,12}\end{bmatrix}}}$

Если игнорировать смещения в плоскости ${\displaystyle u_{\alpha \beta }}$, основные уравнения сводятся к

${\displaystyle D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-q(x,t)-2\rho h{\ddot {w}}\,}$

куда ${\displaystyle D}$ - жесткость пластины на изгиб. Для однородной плиты толщиной ${\displaystyle 2h}$,

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

Вышеупомянутое уравнение также можно записать в альтернативной записи:

${\displaystyle \mu \Delta \Delta w+{\hat {q}}+\rho w_{tt}=0\,.}$

В механика твердого тела, пластина часто моделируется как двухмерное упругое тело, потенциальная энергия которого зависит от того, как она изгибается из плоской конфигурации, а не от того, как она растягивается (что является случаем для мембраны, такой как барабанная пластина). В таких ситуациях виброплита можно смоделировать аналогично вибрационный барабан. Однако в результате уравнение в частных производных для вертикального перемещения ш пластины из положения равновесия - четвертый порядок, включающий квадрат Лапласиан из ш, а не второго порядка, и его качественное поведение принципиально отличается от такового у круглого мембранного барабана.

Свободные колебания изотропных пластин

Для свободных колебаний внешняя сила q равен нулю, и основное уравнение изотропной пластины сводится к

${\displaystyle D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-2\rho h{\ddot {w}}}$

или же

${\displaystyle \mu \Delta \Delta w+\rho w_{tt}=0\,.}$

Это соотношение может быть получено альтернативным способом, учитывая кривизну пластины.^[15] Плотность потенциальной энергии пластины зависит от того, как пластина деформируется, и т.д. средняя кривизна и Гауссова кривизна пластины. Для малых деформаций средняя кривизна выражается через ш, вертикальное смещение пластины из кинетического равновесия, как Δш, лапласиан ш, а гауссова кривизна - это Оператор Монжа – Ампера ш_ххш_гг−ш²
_ху. Таким образом, полная потенциальная энергия пластины Ω имеет вид

${\displaystyle U=\int _{\Omega }[(\Delta w)^{2}+(1-\mu )(w_{xx}w_{yy}-w_{xy}^{2})]\,dx\,dy}$

кроме общей несущественной константы нормализации. Здесь μ - постоянная, зависящая от свойств материала.

Кинетическая энергия дается интегралом вида

${\displaystyle T={\frac {\rho }{2}}\int _{\Omega }w_{t}^{2}\,dx\,dy.}$

Принцип Гамильтона утверждает, что ш неподвижная точка относительно вариации от общей энергии Т+U. В результате получается уравнение в частных производных:

${\displaystyle \rho w_{tt}+\mu \Delta \Delta w=0.\,}$

Круглые тарелки

Для свободно колеблющихся круглых пластин, ${\displaystyle w=w(r,t)}$, а лапласиан в цилиндрических координатах имеет вид

${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)\,.}$

Таким образом, основное уравнение свободных колебаний круглой пластины толщиной ${\displaystyle 2h}$ является

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left[r{\frac {\partial }{\partial r}}\left\{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)\right\}\right]=-{\frac {2\rho h}{D}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.}$

Расширенный,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial r^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial ^{3}w}{\partial r^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {\partial w}{\partial r}}=-{\frac {2\rho h}{D}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.}$

Для решения этого уравнения мы используем идею разделение переменных и примем решение вида

${\displaystyle w(r,t)=W(r)F(t)\,.}$

Подстановка этого предполагаемого решения в основное уравнение дает нам

${\displaystyle {\frac {1}{\beta W}}\left[{\frac {d^{4}W}{dr^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d^{3}W}{dr^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}W}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {dW}{dr}}\right]=-{\frac {1}{F}}{\cfrac {d^{2}F}{dt^{2}}}=\omega ^{2}}$

куда ${\displaystyle \omega ^{2}}$ является константой и ${\displaystyle \beta :=2\rho h/D}$. Решение правого уравнения есть

${\displaystyle F(t)={\text{Re}}[Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}]\,.}$

Левое уравнение можно записать как

${\displaystyle {\frac {d^{4}W}{dr^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d^{3}W}{dr^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}W}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\cfrac {dW}{dr}}=\lambda ^{4}W}$

куда ${\displaystyle \lambda ^{4}:=\beta \omega ^{2}}$. Общее решение этого собственное значение проблема, которая уместна для тарелок, имеет вид

${\displaystyle W(r)=C_{1}J_{0}(\lambda r)+C_{2}I_{0}(\lambda r)}$

куда ${\displaystyle J_{0}}$ это порядок 0 Функция Бесселя первого рода и ${\displaystyle I_{0}}$ это порядок 0 модифицированная функция Бесселя первого вида. Константы ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ определяются из граничных условий. Для пластины радиуса ${\displaystyle a}$ с зажатой окружностью граничные условия

${\displaystyle W(r)=0\quad {\text{and}}\quad {\cfrac {dW}{dr}}=0\quad {\text{at}}\quad r=a\,.}$

Из этих граничных условий находим, что

${\displaystyle J_{0}(\lambda a)I_{1}(\lambda a)+I_{0}(\lambda a)J_{1}(\lambda a)=0\,.}$

Мы можем решить это уравнение для ${\displaystyle \lambda _{n}}$ (а есть бесконечное количество корней) и из этого найти модальные частоты ${\displaystyle \omega _{n}=\lambda _{n}^{2}/{\sqrt {\beta }}}$. Мы также можем выразить смещение в виде

${\displaystyle w(r,t)=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}\left[J_{0}(\lambda _{n}r)-{\frac {J_{0}(\lambda _{n}a)}{I_{0}(\lambda _{n}a)}}I_{0}(\lambda _{n}r)\right][A_{n}e^{i\omega _{n}t}+B_{n}e^{-i\omega _{n}t}]\,.}$

Для заданной частоты ${\displaystyle \omega _{n}}$ первый член внутри суммы в приведенном выше уравнении дает форму моды. Мы можем найти значение ${\displaystyle C_{n}}$ используя соответствующее граничное условие при ${\displaystyle r=0}$ а коэффициенты ${\displaystyle A_{n}}$ и ${\displaystyle B_{n}}$ из начальных условий за счет ортогональности компонент Фурье.

• 

  Режим п = 1

• 

  Режим п = 2

Прямоугольные тарелки

Режим вибрации прямоугольной пластины.

Рассмотрим прямоугольную пластину, имеющую размеры ${\displaystyle a\times b}$ в ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$-плоскость и толщина ${\displaystyle 2h}$ в ${\displaystyle x_{3}}$-направление. Мы стремимся найти режимы свободных колебаний пластины.

Предположим, что поле смещения имеет вид

${\displaystyle w(x_{1},x_{2},t)=W(x_{1},x_{2})F(t)\,.}$

Потом,

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}=\left[{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}\right]F(t)}$

и

${\displaystyle {\ddot {w}}=W(x_{1},x_{2}){\frac {d^{2}F}{dt^{2}}}\,.}$

Включение их в основное уравнение дает

${\displaystyle {\frac {D}{2\rho hW}}\left[{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}\right]=-{\frac {1}{F}}{\frac {d^{2}F}{dt^{2}}}=\omega ^{2}}$

куда ${\displaystyle \omega ^{2}}$ является константой, поскольку левая часть не зависит от ${\displaystyle t}$ а правая часть не зависит от ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$. Тогда с правой стороны мы имеем

${\displaystyle F(t)=Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}\,.}$

С левой стороны,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}W}{\partial x_{2}^{4}}}={\frac {2\rho h\omega ^{2}}{D}}W=:\lambda ^{4}W}$

куда

${\displaystyle \lambda ^{2}=\omega {\sqrt {\frac {2\rho h}{D}}}\,.}$

Поскольку приведенное выше уравнение является бигармонический задачи на собственные значения, ищем решения в разложении Фурье вида

${\displaystyle W_{mn}(x_{1},x_{2})=\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}\,.}$

Мы можем проверить и увидеть, что это решение удовлетворяет граничным условиям для свободно колеблющейся прямоугольной пластины с свободно опертыми краями:

${\displaystyle {\begin{aligned}w(x_{1},x_{2},t)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{1}=0,a\quad {\text{and}}\quad x_{2}=0,b\\M_{11}=D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{1}=0,a\\M_{22}=D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{2}=0,b\,.\end{aligned}}}$

Подстановка решения в бигармоническое уравнение дает нам

${\displaystyle \lambda ^{2}=\pi ^{2}\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right)\,.}$

Сравнение с предыдущим выражением для ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ указывает, что у нас может быть бесконечное число решений с

${\displaystyle \omega _{mn}=\left({\frac {m^{2}}{a^{2}}}+{\frac {n^{2}}{b^{2}}}\right){\sqrt {\frac {D\pi ^{4}}{2\rho h}}}\,.}$

Следовательно, общее решение уравнения пластины есть

${\displaystyle w(x_{1},x_{2},t)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}\left(A_{mn}e^{i\omega _{mn}t}+B_{mn}e^{-i\omega _{mn}t}\right)\,.}$

Чтобы найти значения ${\displaystyle A_{mn}}$ и ${\displaystyle B_{mn}}$ мы используем начальные условия и ортогональность компонент Фурье. Например, если

${\displaystyle w(x_{1},x_{2},0)=\varphi (x_{1},x_{2})\quad {\text{on}}\quad x_{1}\in [0,a]\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial w}{\partial t}}(x_{1},x_{2},0)=\psi (x_{1},x_{2})\quad {\text{on}}\quad x_{2}\in [0,b]}$

мы получили,

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{mn}&={\frac {4}{ab}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}\varphi (x_{1},x_{2})\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}dx_{1}dx_{2}\\B_{mn}&={\frac {4}{ab\omega _{mn}}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}\psi (x_{1},x_{2})\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}dx_{1}dx_{2}\,.\end{aligned}}}$

Рекомендации

1. Редди, Дж. Н., 2007, Теория и анализ упругих пластин и оболочек, CRC Press, Тейлор и Фрэнсис.
2. А. Э. Х. Лав, О малых свободных колебаниях и деформациях упругих оболочек., Философский пер. Королевского общества (Лондон), 1888 г., Vol. серия A, № 17 стр. 491–549.
3. Уфлянд, Я. С., 1948, Распространение волн при поперечных колебаниях балок и пластин, ПММ: Журнал прикладной математики и механики, т. 12, стр. 287-300 с.
4. Миндлин, Р. Д. 1951, Влияние инерции вращения и сдвига на изгибные движения изотропных упругих пластин, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 18 с. 31–38
5. Елисаков И., 2020, Справочник по теории пучка Тимошенко-Эренфеста и пластины Уфлянд-Миндлина, World Scientific, Сингапур, ISBN  978-981-3236-51-6
6. Лейсса, A.W., 1969, Вибрация пластин, НАСА SP-160, Вашингтон, округ Колумбия: Типография правительства США.
7. Лейсса, А. и Qatu, M.S., 2011, Вибрация сплошных систем, Нью-Йорк: Mc Graw-Hill.
8. Гонткевич В. С. Естественные колебания пластин и оболочек. Киев: Издательство «Наукова думка», 1964; (Английский перевод: Lockheed Missiles & Space Co., Саннивейл, Калифорния)
9. Рао С.С. Вибрация непрерывных систем. Нью-Йорк: Wiley.
10. Зодель, В., 1993, Вибрации корпусов и пластин, Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., (второе издание)
11. Ю. Ю. Ю., 1996, Колебания упругих пластин, Нью-Йорк: Springer.
12. Горман Д., 1982, Анализ свободной вибрации прямоугольных пластин, Амстердам: Elsevier
13. Горман Д.Дж., 1999, Анализ вибрации пластин методом наложения, Сингапур: World Scientific.
14. Рао, Дж. С., 1999, Динамика пластин, Нью-Дели: Издательство Нароса.
15. Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид (1953), Методы математической физики. Vol. я, Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, МИСТЕР  0065391

Смотрите также

• Гибка
• Гибка плит
• Фигуры Хладни
• Теория бесконечно малых деформаций
• Теория пластин Кирхгофа – Лява
• Линейная эластичность
• Теория пластин Миндлина – Рейсснера
• Теория пластин
• Стресс (механика)
• Результирующие напряжения
• Структурная акустика