Деформация тонкой пластины с выделением смещения, средней поверхности (красный) и нормали к средней поверхности (синий)
В Теория пластин Кирхгофа – Лява. является двумерным математическая модель который используется для определения подчеркивает и деформации в тонком тарелки подвергнутый силы и моменты. Эта теория является продолжением Теория пучка Эйлера-Бернулли и был разработан в 1888 г. Люблю[1] используя предположения, предложенные Кирхгоф. Теория предполагает, что плоскость средней поверхности может использоваться для представления трехмерной пластины в двухмерной форме.
В этой теории сделаны следующие кинематические допущения:[2]
- прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются прямыми после деформации
- прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются нормальными к средней поверхности после деформации
- толщина пластины не изменяется при деформации.
Предполагаемое поле смещения
Пусть вектор положения точки в недеформированной пластине быть
. потом

Векторы
сформировать Декартово основа с началом на средней поверхности пластины,
и
- декартовы координаты на средней поверхности недеформированной пластины, а
- координата направления толщины.
Пусть смещение точки на пластине быть
. потом

Это смещение можно разложить на векторную сумму смещения средней поверхности.
и смещение вне плоскости
в
направление. Мы можем записать смещение средней поверхности в плоскости как

Обратите внимание, что индекс
принимает значения 1 и 2, но не 3.
Тогда из гипотезы Кирхгофа следует, что

Если
углы поворота нормальный к средней поверхности, то в теории Кирхгофа-Лява

Обратите внимание, что мы можем придумать выражение для
как первый заказ Серия Тейлор расширение смещения вокруг средней поверхности.
Смещение средней поверхности (слева) и нормали (справа)
Квазистатические пластины Кирхгофа-Лява
Первоначальная теория, разработанная Лавом, действовала для бесконечно малых деформаций и вращений. Теория была расширена фон Карман в ситуациях, когда можно ожидать умеренного вращения.
Отношения деформация-смещение
Для ситуации, когда деформации в пластине бесконечно малы и повороты нормалей средней поверхности меньше 10 °, деформация-смещение отношения

куда
в качестве
.
Используя кинематические предположения, мы имеем

Следовательно, ненулевые деформации возникают только в плоскостях.
Уравнения равновесия
Уравнения равновесия пластины могут быть получены из принцип виртуальной работы. Для тонкой пластины при квазистатической поперечной нагрузке
эти уравнения

где толщина пластины
. В индексной записи

куда
являются подчеркивает.
Изгибающие моменты и нормальные напряжения | Моменты и напряжения сдвига |
Вывод уравнений равновесия для малых вращений. |
---|
Для ситуации, когда деформации и повороты пластины малы, виртуальная внутренняя энергия определяется выражением![{ begin {align} delta U & = int _ {{ Omega ^ {0}}} int _ {{- h}} ^ {h} { boldsymbol { sigma}}: delta { boldsymbol { epsilon}} ~ dx_ {3} ~ d Omega = int _ {{ Omega ^ {0}}} int _ {{- h}} ^ {h} sigma _ {{ alpha beta }} ~ delta varepsilon _ {{ alpha beta}} ~ dx_ {3} ~ d Omega & = int _ {{ Omega ^ {0}}} int _ {{- h} } ^ {h} left [{ frac {1} {2}} ~ sigma _ {{ alpha beta}} ~ ( delta u _ {{ alpha, beta}} ^ {0} + delta u _ {{ beta, alpha}} ^ {0}) - x_ {3} ~ sigma _ {{ alpha beta}} ~ delta w _ {{, alpha beta}} ^ {0} right] ~ dx_ {3} ~ d Omega & = int _ {{ Omega ^ {0}}} left [{ frac {1} {2}} ~ N _ {{ alpha beta }} ~ ( delta u _ {{ alpha, beta}} ^ {0} + delta u _ {{ beta, alpha}} ^ {0}) - M _ {{ alpha beta}} ~ delta w _ {{, alpha beta}} ^ {0} right] ~ d Omega end {выравнивается}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31f90cfd37649392fb2f57ac5292c6a657e6da9)
где толщина пластины а результирующие напряжения и результирующие моменты напряжения определяются как 
Интеграция по частям приводит к ![{ begin {align} delta U & = int _ {{ Omega ^ {0}}} left [- { frac {1} {2}} ~ (N _ {{ alpha beta, beta} } ~ delta u _ {{ alpha}} ^ {0} + N _ {{ alpha beta, alpha}} ~ delta u _ {{ beta}} ^ {0}) + M _ {{ alpha beta, beta}} ~ delta w _ {{, alpha}} ^ {0} right] ~ d Omega & + int _ {{ Gamma ^ {0}}} left [{ гидроразрыв {1} {2}} ~ (n _ { beta} ~ N _ { alpha beta}} ~ delta u _ { alpha} ^ {0} + n _ { alpha} ~ N _ {{ alpha beta}} ~ delta u _ {{ beta}} ^ {0}) - n _ { beta} ~ M _ {{ alpha beta}} ~ delta w _ {{, alpha}} ^ {0} справа] ~ d Gamma end {выровнено}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a383a0911e113ebff8ae10a89a1b5db8c8dd3d61)
Из симметрии тензора напряжений следует, что . Следовательно, ![delta U = int _ {{ Omega ^ {0}}} left [-N _ {{ alpha beta, alpha}} ~ delta u _ {{ beta}} ^ {0} + M_ { { alpha beta, beta}} ~ delta w _ {{, alpha}} ^ {0} right] ~ d Omega + int _ {{ Gamma ^ {0}}} left [n_ { alpha} ~ N _ {{ alpha beta}} ~ delta u _ {{ beta}} ^ {0} -n _ { beta} ~ M _ {{ alpha beta}} ~ delta w _ {{ , alpha}} ^ {0} right] ~ d Gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77e91656378bc8d97107821d5914d36d7072bde0)
Еще одна интеграция по частям дает ![delta U = int _ {{ Omega ^ {0}}} left [-N _ {{ alpha beta, alpha}} ~ delta u _ {{ beta}} ^ {0} -M_ { { alpha beta, beta alpha}} ~ delta w ^ {0} right] ~ d Omega + int _ {{ Gamma ^ {0}}} left [n _ { alpha} ~ N _ {{ alpha beta}} ~ delta u _ {{ beta}} ^ {0} + n _ { alpha} ~ M _ {{ alpha beta, beta}} ~ delta w ^ {0} -n _ { beta} ~ M _ {{ alpha beta}} ~ delta w _ {{, alpha}} ^ {0} right] ~ d Gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e944b4bbf4358edc5ed737e010e6e7b6948c49c4)
В случае отсутствия заданных внешних сил принцип виртуальной работы подразумевает, что . Уравнения равновесия пластины тогда даются как 
Если плита нагружена внешней распределенной нагрузкой перпендикулярно средней поверхности и направлено в положительную сторону. направление, внешняя виртуальная работа из-за нагрузки 
Тогда принцип виртуальной работы приводит к уравнениям равновесия 
|
Граничные условия
Граничные условия, необходимые для решения уравнений равновесия теории пластин, могут быть получены из граничных условий в принципе виртуальной работы. В отсутствие внешних сил на границе граничные условия имеют вид

Обратите внимание, что количество
- эффективная сила сдвига.
Учредительные отношения
Соотношения между напряжениями и деформациями для линейной упругой пластины Кирхгофа имеют вид

С
и
не появляются в уравнениях равновесия, неявно предполагается, что эти величины не влияют на баланс импульса и ими пренебрегают. Остальные соотношения напряжение-деформация в матричной форме можно записать как

Потом,

и

В жесткость на растяжение количества

В жесткость на изгиб (также называемый жесткость на изгиб) - величины

Основные предположения Кирхгофа-Лява приводят к нулевым поперечным силам. В результате уравнения равновесия пластины должны использоваться для определения поперечных сил в тонких пластинах Кирхгофа-Лява. Для изотропных пластин эти уравнения приводят к

В качестве альтернативы эти поперечные силы могут быть выражены как

куда

Небольшие деформации и умеренные вращения
Если повороты нормалей к средней поверхности находятся в диапазоне 10
до 15
, зависимости деформации от смещения можно аппроксимировать как

Тогда кинематические предположения теории Кирхгофа-Лява приводят к классической теории пластин с фон Карман напряжения

Эта теория нелинейна из-за квадратичных членов в соотношениях деформация-перемещение.
Если соотношения деформация-перемещение принимают форму фон Кармана, уравнения равновесия могут быть выражены как
![{ begin {align} N _ {{ alpha beta, alpha}} & = 0 M _ {{ alpha beta, alpha beta}} + [N _ {{ alpha beta}} ~ w_ {{, beta}} ^ {0}] _ {{, alpha}} - q & = 0 end {выровнено}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/805c3eb5885064aa33be7d31e0e054995853f47a)
Изотропные квазистатические пластины Кирхгофа-Лява
Для изотропной и однородной пластины зависимости напряжения от деформации имеют вид

куда
является Коэффициент Пуассона и
является Модуль для младших. Моменты, соответствующие этим напряжениям, равны

В развернутом виде

куда
для листов толщиной
. Используя соотношения напряжение-деформация для пластин, можно показать, что напряжения и моменты связаны соотношением

Вверху тарелки, где
, напряжения

Чистый изгиб
Для изотропной и однородной пластины под чистый изгиб, основные уравнения сводятся к

Здесь мы предположили, что смещения в плоскости не меняются с изменением
и
. В индексной записи

и в прямой записи

который известен как бигармоническое уравнение Изгибающие моменты задаются выражением

Вывод уравнений равновесия для чистого изгиба. |
---|
Для изотропной однородной пластины при чистом изгибе основные уравнения имеют вид
и отношения напряжение-деформация 
Потом, 
и 
Дифференциация дает 
и 
Включение в основные уравнения приводит к 
Поскольку порядок дифференцирования не имеет значения, имеем , , и . Следовательно 
В прямых тензорных обозначениях определяющее уравнение пластины имеет вид 
где мы предположили, что перемещения постоянны. |
Изгиб под поперечной нагрузкой
Если распределенная поперечная нагрузка
применяется к пластине, определяющее уравнение
. Следуя процедуре, описанной в предыдущем разделе, мы получаем[3]

В прямоугольных декартовых координатах основное уравнение имеет вид

а в цилиндрических координатах принимает вид
![frac {1} {r} cfrac {d} {dr} left [r cfrac {d} {dr} left { frac {1} {r} cfrac {d} {dr} left (r cfrac {dw} {dr} right) right } right] = - frac {q} {D} ,.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8083e6e16a9118c0afe8bd3c7e1fe841e17334)
Решения этого уравнения для различных геометрий и граничных условий можно найти в статье на гибка плит.
Вывод уравнений равновесия для поперечного нагружения. |
---|
Для поперечно нагруженной пластины без осевых деформаций определяющее уравнение имеет вид
куда - распределенная поперечная нагрузка (на единицу площади). Подстановка выражений для производных от в основное уравнение дает ![- { cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- nu ^ {2})}} left [w _ {{, 1111}} ^ {0} +2 , w _ {{, 1212} } ^ {0} + w _ {{, 2222}} ^ {0} right] = q ,.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417364393d9d4a16c51bb93210063b9d70cfd569)
Учитывая, что жесткость на изгиб - это величина 
мы можем записать основное уравнение в виде 
В цилиндрических координатах , 
Для симметрично нагруженных круглых пластин , и у нас есть 
|
Цилиндрическая гибка
При определенных условиях нагружения плоская пластина может изгибаться, принимая форму поверхности цилиндра. Этот тип гибки называется цилиндрической гибкой и представляет собой особую ситуацию, когда
. В таком случае

и

и определяющие уравнения становятся[3]

Динамика пластин Кирхгофа-Лява
Динамическая теория тонких пластин определяет распространение волн в пластинах и изучение стоячих волн и режимов колебаний.
Основные уравнения
Основные уравнения динамики пластины Кирхгофа-Лява:

где для пластины с плотностью
,

и

Вывод уравнений динамики пластин Кирхгофа-Лява |
---|
Полная кинетическая энергия пластины определяется выражением ![K = int _ {0} ^ {T} int _ {{ Omega ^ {0}}} int _ {{- h}} ^ {h} { cfrac { rho} {2}} left [ left ({ frac { partial u_ {1}} { partial t}} right) ^ {2} + left ({ frac { partial u_ {2}} { partial t}} right) ^ {2} + left ({ frac { partial u_ {3}} { partial t}} right) ^ {2} right] ~ { mathrm {d}} x_ {3} ~ { mathrm {d}} A ~ { mathrm {d}} т](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c288ee3df8a9785bc05065e597fb3ab5a0cda0)
Следовательно, изменение кинетической энергии равно ![delta K = int _ {0} ^ {T} int _ {{ Omega ^ {0}}} int _ {{- h}} ^ {h} { cfrac { rho} {2} } left [2 left ({ frac { partial u_ {1}} { partial t}} right) left ({ frac { partial delta u_ {1}} { partial t}} right) +2 left ({ frac { partial u_ {2}} { partial t}} right) left ({ frac { partial delta u_ {2}} { partial t}} right) +2 left ({ frac { partial u_ {3}} { partial t}} right) left ({ frac { partial delta u_ {3}} { partial t}} right) right] ~ { mathrm {d}} x_ {3} ~ { mathrm {d}} A ~ { mathrm {d}} t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc9767e81d5a99dd50bc1238897bc05c44efdd8)
В оставшейся части этого раздела мы используем следующие обозначения. 
потом 
Для тарелки Кирхгофа-Лява 
Следовательно, ![{ begin {align} delta K & = int _ {0} ^ {T} int _ {{ Omega ^ {0}}} int _ {{- h}} ^ {h} rho left [ left ({ dot {u}} _ { alpha} ^ {0} -x_ {3} ~ { dot {w}} _ {{, alpha}} ^ {0} right) ~ слева ( delta { dot {u}} _ { alpha} ^ {0} -x_ {3} ~ delta { dot {w}} _ {{, alpha}} ^ {0} right) + { dot {w}} ^ {0} ~ delta { dot {w}} ^ {0} right] ~ { mathrm {d}} x_ {3} ~ { mathrm {d}} A ~ { mathrm {d}} t & = int _ {0} ^ {T} int _ {{ Omega ^ {0}}} int _ {{- h}} ^ {h} rho left ({ dot {u}} _ { alpha} ^ {0} ~ delta { dot {u}} _ { alpha} ^ {0} -x_ {3} ~ { dot {w }} _ {{, alpha}} ^ {0} ~ delta { dot {u}} _ { alpha} ^ {0} -x_ {3} ~ { dot {u}} _ { alpha } ^ {0} ~ delta { dot {w}} _ {{, alpha}} ^ {0} + x_ {3} ^ {2} ~ { dot {w}} _ {{, alpha }} ^ {0} ~ delta { dot {w}} _ {, alpha}} ^ {0} + { dot {w}} ^ {0} ~ delta { dot {w}} ^ {0} right) ~ { mathrm {d}} x_ {3} ~ { mathrm {d}} A ~ { mathrm {d}} t end {выровнено}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f11678997d40383ba8de7415769b832adbd0b8c)
Определите, для постоянного по толщине пластины, 
потом ![delta K = int _ {0} ^ {T} int _ {{ Omega ^ {0}}} left [J_ {1} left ({ dot {u}} _ { alpha} ^ {0} ~ delta { dot {u}} _ { alpha} ^ {0} + { dot {w}} ^ {0} ~ delta { dot {w}} ^ {0} right ) + J_ {3} ~ { dot {w}} _ {{, alpha}} ^ {0} ~ delta { dot {w}} _ {{, alpha}} ^ {0} right ] ~ { mathrm {d}} A ~ { mathrm {d}} т](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d016ce8f7f0266d9ea351c79ce06f24e150c7d7)
Интегрируя по частям, ![delta K = int _ {{ Omega ^ {0}}} left [ int _ {0} ^ {T} left {- J_ {1} left ({ ddot {u}} _ {{ alpha}} ^ {0} ~ delta u _ { alpha} ^ {0} + { ddot {w}} ^ {0} ~ delta w ^ {0} right) -J_ {3} ~ { ddot {w}} _ {{, alpha}} ^ {0} ~ delta w _ {, alpha}} ^ {0} right } ~ { mathrm {d}} t + left | J_ {1} left ({ dot {u}} _ {{ alpha}} ^ {0} ~ delta u _ { alpha} ^ {0} + { dot {w}} ^ {0} ~ delta w ^ {0} right) + J_ {3} ~ { dot {w}} _ {{, alpha}} ^ {0} ~ delta w _ {{, alpha}} ^ {0 } right | _ {0} ^ {T} right] ~ { mathrm {d}} А](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b06ceac1f8b3b67d3b47225d09c6560abc1451)
Вариации и равны нулю в и Следовательно, после переключения последовательности интегрирования имеем ![delta K = - int _ {0} ^ {T} left { int _ {{ Omega ^ {0}}} left [J_ {1} left ({ ddot {u}} _ {{ alpha}} ^ {0} ~ delta u _ { alpha} ^ {0} + { ddot {w}} ^ {0} ~ delta w ^ {0} right) + J_ {3} ~ { ddot {w}} _ {{, alpha}} ^ {0} ~ delta w _ {, alpha}} ^ {0} right] ~ { mathrm {d}} A right } ~ { mathrm {d}} t + left | int _ {{ Omega ^ {0}}} J_ {3} ~ { dot {w}} _ {{, alpha}} ^ {0} ~ delta w _ {{, alpha}} ^ {0} { mathrm {d}} A right | _ {0} ^ {T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/776c5e9fbb35fd7fc9c0bc7573edd812b9fe390b)
Интеграция по частям по средней поверхности дает ![{ begin {align} delta K & = - int _ {0} ^ {T} left { int _ {{ Omega ^ {0}}} left [J_ {1} left ({ ddot {u}} _ {{ alpha}} ^ {0} ~ delta u _ { alpha} ^ {0} + { ddot {w}} ^ {0} ~ delta w ^ {0} right ) -J_ {3} ~ { ddot {w}} _ {, alpha alpha}} ^ {0} ~ delta w ^ {0} right] ~ { mathrm {d}} A + int _ {{ Gamma ^ {0}}} J_ {3} ~ n _ { alpha} ~ { ddot {w}} _ {{, alpha}} ^ {0} ~ delta w ^ {0} ~ { mathrm {d}} s right } ~ { mathrm {d}} t & qquad - left | int _ {{ Omega ^ {0}}} J_ {3} ~ { точка {w}} _ {{, alpha alpha}} ^ {0} ~ delta w ^ {0} ~ { mathrm {d}} A- int _ {{ Gamma ^ {0}}} J_ {3} ~ { dot {w}} _ {{, alpha}} ^ {0} ~ delta w ^ {0} ~ { mathrm {d}} s right | _ {0} ^ { Т} конец {выровнено}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0994fb48ef584ebbe117df459f57c2aafe22484)
Опять же, поскольку вариации равны нулю в начале и в конце рассматриваемого временного интервала, мы имеем ![delta K = - int _ {0} ^ {T} left { int _ {{ Omega ^ {0}}} left [J_ {1} left ({ ddot {u}} _ {{ alpha}} ^ {0} ~ delta u _ { alpha} ^ {0} + { ddot {w}} ^ {0} ~ delta w ^ {0} right) -J_ {3} ~ { ddot {w}} _ {{, alpha alpha}} ^ {0} ~ delta w ^ {0} right] ~ { mathrm {d}} A + int _ {{ Gamma ^ {0}}} J_ {3} ~ n _ { alpha} ~ { ddot {w}} _ {, alpha}} ^ {0} ~ delta w ^ {0} ~ { mathrm {d} } s right } ~ { mathrm {d}} т](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/294068d98e0f0f77c313f3aaf323136a08a520b0)
Для динамического случая изменение внутренней энергии определяется выражением ![delta U = - int _ {0} ^ {T} left { int _ {{ Omega ^ {0}}} left [N _ {{ alpha beta, alpha}} ~ delta u _ {{ beta}} ^ {0} + M _ {{ alpha beta, beta alpha}} ~ delta w ^ {0} right] ~ { mathrm {d}} A- int _ {{ Gamma ^ {0}}} left [n _ { alpha} ~ N _ {{ alpha beta}} ~ delta u _ {{ beta}} ^ {0} + n _ { alpha} ~ M_ {{ alpha beta, beta}} ~ delta w ^ {0} -n _ { beta} ~ M _ {{ alpha beta}} ~ delta w _ {{, alpha}} ^ {0} right] ~ { mathrm {d}} s right } { mathrm {d}} т](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41fec6c49872524d2a22b9fe51e5a1efaaa86e14)
Интегрирование по частям и обращение к нулю вариации на границе средней поверхности дает ![delta U = - int _ {0} ^ {T} left { int _ {{ Omega ^ {0}}} left [N _ {{ alpha beta, alpha}} ~ delta u _ {{ beta}} ^ {0} + M _ {{ alpha beta, beta alpha}} ~ delta w ^ {0} right] ~ { mathrm {d}} A- int _ {{ Gamma ^ {0}}} left [n _ { alpha} ~ N _ {{ alpha beta}} ~ delta u _ {{ beta}} ^ {0} + n _ { alpha} ~ M_ {{ alpha beta, beta}} ~ delta w ^ {0} + n _ { beta} ~ M _ {{ alpha beta, alpha}} ~ delta w ^ {0} right] ~ { mathrm {d}} s right } { mathrm {d}} т](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5298d7974d399e1e6df1be946a9af380491a688e)
Если есть внешняя распределенная сила действуя нормально к поверхности пластины, выполняемая виртуальная внешняя работа ![delta V _ {{{ mathrm {ext}}}} = int _ {0} ^ {T} left [ int _ {{ Omega ^ {0}}} q (x, t) ~ delta ш ^ {0} ~ { mathrm {d}} A right] { mathrm {d}} т](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88f260cad14333af5ce1e7bf7f638b03b930ae4)
Из принципа виртуальной работы . Следовательно, основные уравнения баланса для пластины следующие: 
|
Решения этих уравнений для некоторых частных случаев можно найти в статье о колебания плит. На рисунках ниже показаны некоторые колебательные моды круглой пластины.
Изотропные плиты
Основные уравнения значительно упрощаются для изотропных и однородных пластин, для которых деформациями в плоскости можно пренебречь. В этом случае остается одно уравнение следующего вида (в прямоугольных декартовых координатах):

куда
- жесткость пластины на изгиб. Для однородной плиты толщиной
,

В прямой записи

Для свободных колебаний основное уравнение принимает вид

Вывод управляющих динамических уравнений для изотропных пластин Кирхгофа-Лява |
---|
Для изотропной и однородной пластины зависимости напряжения от деформации имеют вид 
куда деформации в плоскости. Соотношения деформации-смещения для пластин Кирхгофа-Лява имеют вид 
Следовательно, результирующие моменты, соответствующие этим напряжениям, равны 
Основное уравнение для изотропной и однородной пластины однородной толщины при отсутствии смещений в плоскости 
Дифференцирование выражений для результирующих моментов дает нам 
Включение в основные уравнения приводит к 
Поскольку порядок дифференцирования не имеет значения, имеем . Следовательно 
Если жесткость пластины на изгиб определяется как 
у нас есть 
При малых деформациях мы часто пренебрегаем пространственными производными поперечного ускорения пластины, и остается 
Тогда в прямых тензорных обозначениях определяющее уравнение пластины имеет вид 
|
Рекомендации
- ^ А. Э. Х. Лав, О малых свободных колебаниях и деформациях упругих оболочек., Философский пер. Королевского общества (Лондон), 1888 г., Vol. серия A, № 17 стр. 491–549.
- ^ Редди, Дж. Н., 2007, Теория и анализ упругих пластин и оболочек, CRC Press, Тейлор и Фрэнсис.
- ^ а б Тимошенко С. и Войновски-Кригер С. (1959), Теория пластин и оболочек, Макгроу-Хилл, Нью-Йорк.
Смотрите также