Теория пластин Кирхгофа – Лява - Kirchhoff–Love plate theory

Деформация тонкой пластины с выделением смещения, средней поверхности (красный) и нормали к средней поверхности (синий)

В Теория пластин Кирхгофа – Лява. является двумерным математическая модель который используется для определения подчеркивает и деформации в тонком тарелки подвергнутый силы и моменты. Эта теория является продолжением Теория пучка Эйлера-Бернулли и был разработан в 1888 г. Люблю^[1] используя предположения, предложенные Кирхгоф. Теория предполагает, что плоскость средней поверхности может использоваться для представления трехмерной пластины в двухмерной форме.

В этой теории сделаны следующие кинематические допущения:^[2]

• прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются прямыми после деформации
• прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются нормальными к средней поверхности после деформации
• толщина пластины не изменяется при деформации.

Предполагаемое поле смещения

Пусть вектор положения точки в недеформированной пластине быть ${\displaystyle \mathbf {x} }$. потом

${\displaystyle \mathbf {x} =x_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+x_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+x_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\equiv x_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}\,.}$

Векторы ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}}$ сформировать Декартово основа с началом на средней поверхности пластины, ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ - декартовы координаты на средней поверхности недеформированной пластины, а ${\displaystyle x_{3}}$ - координата направления толщины.

Пусть смещение точки на пластине быть ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )}$. потом

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+u_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\equiv u_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}}$

Это смещение можно разложить на векторную сумму смещения средней поверхности. ${\displaystyle u_{\alpha }^{0}}$ и смещение вне плоскости ${\displaystyle w^{0}}$ в ${\displaystyle x_{3}}$ направление. Мы можем записать смещение средней поверхности в плоскости как

${\displaystyle \mathbf {u} ^{0}=u_{1}^{0}{\boldsymbol {e}}_{1}+u_{2}^{0}{\boldsymbol {e}}_{2}\equiv u_{\alpha }^{0}{\boldsymbol {e}}_{\alpha }}$

Обратите внимание, что индекс ${\displaystyle \alpha }$ принимает значения 1 и 2, но не 3.

Тогда из гипотезы Кирхгофа следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}\equiv u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

Если ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ углы поворота нормальный к средней поверхности, то в теории Кирхгофа-Лява

${\displaystyle \varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}}$

Обратите внимание, что мы можем придумать выражение для ${\displaystyle u_{\alpha }}$ как первый заказ Серия Тейлор расширение смещения вокруг средней поверхности.

Смещение средней поверхности (слева) и нормали (справа)

Квазистатические пластины Кирхгофа-Лява

Первоначальная теория, разработанная Лавом, действовала для бесконечно малых деформаций и вращений. Теория была расширена фон Карман в ситуациях, когда можно ожидать умеренного вращения.

Отношения деформация-смещение

Для ситуации, когда деформации в пластине бесконечно малы и повороты нормалей средней поверхности меньше 10 °, деформация-смещение отношения

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}+{\frac {\partial u_{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{\alpha }}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\\varepsilon _{33}&={\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\equiv u_{3,3}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \beta =1,2}$ в качестве ${\displaystyle \alpha }$.

Используя кинематические предположения, мы имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Следовательно, ненулевые деформации возникают только в плоскостях.

Уравнения равновесия

Уравнения равновесия пластины могут быть получены из принцип виртуальной работы. Для тонкой пластины при квазистатической поперечной нагрузке ${\displaystyle q(x)}$ эти уравнения

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\cfrac {\partial N_{11}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{21}}{\partial x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial N_{12}}{\partial x_{1}}}+{\cfrac {\partial N_{22}}{\partial x_{2}}}=0\\&{\cfrac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+2{\cfrac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}=q\end{aligned}}}$

где толщина пластины ${\displaystyle 2h}$. В индексной записи

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\quad \quad N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q&=0\quad \quad M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }}$ являются подчеркивает.

Изгибающие моменты и нормальные напряжения

Моменты и напряжения сдвига

Вывод уравнений равновесия для малых вращений.

Для ситуации, когда деформации и повороты пластины малы, виртуальная внутренняя энергия определяется выражением ${\displaystyle {\begin{aligned}\delta U&=\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\epsilon }}~dx_{3}~d\Omega =\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~\delta \varepsilon _{\alpha \beta }~dx_{3}~d\Omega \\&=\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\left[{\frac {1}{2}}~\sigma _{\alpha \beta }~(\delta u_{\alpha ,\beta }^{0}+\delta u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha \beta }^{0}\right]~dx_{3}~d\Omega \\&=\int _{\Omega ^{0}}\left[{\frac {1}{2}}~N_{\alpha \beta }~(\delta u_{\alpha ,\beta }^{0}+\delta u_{\beta ,\alpha }^{0})-M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha \beta }^{0}\right]~d\Omega \end{aligned}}}$ где толщина пластины ${\displaystyle 2h}$ а результирующие напряжения и результирующие моменты напряжения определяются как ${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}$ Интеграция по частям приводит к ${\displaystyle {\begin{aligned}\delta U&=\int _{\Omega ^{0}}\left[-{\frac {1}{2}}~(N_{\alpha \beta ,\beta }~\delta u_{\alpha }^{0}+N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0})+M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Omega \\&+\int _{\Gamma ^{0}}\left[{\frac {1}{2}}~(n_{\beta }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\alpha }^{0}+n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0})-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Gamma \end{aligned}}}$ Из симметрии тензора напряжений следует, что ${\displaystyle N_{\alpha \beta }=N_{\beta \alpha }}$. Следовательно, ${\displaystyle \delta U=\int _{\Omega ^{0}}\left[-N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}+M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Omega +\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Gamma }$ Еще одна интеграция по частям дает ${\displaystyle \delta U=\int _{\Omega ^{0}}\left[-N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}-M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }~\delta w^{0}\right]~d\Omega +\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}+n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w^{0}-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~d\Gamma }$ В случае отсутствия заданных внешних сил принцип виртуальной работы подразумевает, что ${\displaystyle \delta U=0}$. Уравнения равновесия пластины тогда даются как ${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}$ Если плита нагружена внешней распределенной нагрузкой ${\displaystyle q(x)}$ перпендикулярно средней поверхности и направлено в положительную сторону. ${\displaystyle x_{3}}$ направление, внешняя виртуальная работа из-за нагрузки ${\displaystyle \delta V_{\mathrm {ext} }=\int _{\Omega ^{0}}q~\delta w^{0}~d\Omega }$ Тогда принцип виртуальной работы приводит к уравнениям равновесия ${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q&=0\end{aligned}}}$

Граничные условия

Граничные условия, необходимые для решения уравнений равновесия теории пластин, могут быть получены из граничных условий в принципе виртуальной работы. В отсутствие внешних сил на границе граничные условия имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что количество ${\displaystyle n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }}$ - эффективная сила сдвига.

Учредительные отношения

Соотношения между напряжениями и деформациями для линейной упругой пластины Кирхгофа имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}}$

С ${\displaystyle \sigma _{\alpha 3}}$ и ${\displaystyle \sigma _{33}}$ не появляются в уравнениях равновесия, неявно предполагается, что эти величины не влияют на баланс импульса и ими пренебрегают. Остальные соотношения напряжение-деформация в матричной форме можно записать как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

Потом,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=\int _{-h}^{h}x_{3}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}dx_{3}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}$

В жесткость на растяжение количества

${\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

В жесткость на изгиб (также называемый жесткость на изгиб) - величины

${\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Основные предположения Кирхгофа-Лява приводят к нулевым поперечным силам. В результате уравнения равновесия пластины должны использоваться для определения поперечных сил в тонких пластинах Кирхгофа-Лява. Для изотропных пластин эти уравнения приводят к

${\displaystyle Q_{\alpha }=-D{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}(\nabla ^{2}w^{0})\,.}$

В качестве альтернативы эти поперечные силы могут быть выражены как

${\displaystyle Q_{\alpha }={\mathcal {M}}_{,\alpha }}$

куда

${\displaystyle {\mathcal {M}}:=-D\nabla ^{2}w^{0}\,.}$

Небольшие деформации и умеренные вращения

Если повороты нормалей к средней поверхности находятся в диапазоне 10${\displaystyle ^{\circ }}$ до 15${\displaystyle ^{\circ }}$, зависимости деформации от смещения можно аппроксимировать как

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha }+u_{3,\alpha }~u_{3,\beta })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\\varepsilon _{33}&=u_{3,3}\end{aligned}}}$

Тогда кинематические предположения теории Кирхгофа-Лява приводят к классической теории пластин с фон Карман напряжения

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Эта теория нелинейна из-за квадратичных членов в соотношениях деформация-перемещение.

Если соотношения деформация-перемещение принимают форму фон Кармана, уравнения равновесия могут быть выражены как

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }~w_{,\beta }^{0}]_{,\alpha }-q&=0\end{aligned}}}$

Изотропные квазистатические пластины Кирхгофа-Лява

Для изотропной и однородной пластины зависимости напряжения от деформации имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

куда ${\displaystyle \nu }$ является Коэффициент Пуассона и ${\displaystyle E}$ является Модуль для младших. Моменты, соответствующие этим напряжениям, равны

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{1-\nu }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}$

В развернутом виде

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{11}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\\M_{22}&=-D\left({\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}}}\right)\\M_{12}&=-D(1-\nu ){\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle D=2h^{3}E/[3(1-\nu ^{2})]=H^{3}E/[12(1-\nu ^{2})]}$ для листов толщиной ${\displaystyle H=2h}$. Используя соотношения напряжение-деформация для пластин, можно показать, что напряжения и моменты связаны соотношением

${\displaystyle \sigma _{11}={\frac {3x_{3}}{2h^{3}}}\,M_{11}={\frac {12x_{3}}{H^{3}}}\,M_{11}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{22}={\frac {3x_{3}}{2h^{3}}}\,M_{22}={\frac {12x_{3}}{H^{3}}}\,M_{22}\,.}$

Вверху тарелки, где ${\displaystyle x_{3}=h=H/2}$, напряжения

${\displaystyle \sigma _{11}={\frac {3}{2h^{2}}}\,M_{11}={\frac {6}{H^{2}}}\,M_{11}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{22}={\frac {3}{2h^{2}}}\,M_{22}={\frac {6}{H^{2}}}\,M_{22}\,.}$

Чистый изгиб

Для изотропной и однородной пластины под чистый изгиб, основные уравнения сводятся к

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}=0\,.}$

Здесь мы предположили, что смещения в плоскости не меняются с изменением ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$. В индексной записи

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0}$

и в прямой записи

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}$

который известен как бигармоническое уравнение Изгибающие моменты задаются выражением

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}$

Вывод уравнений равновесия для чистого изгиба.

Для изотропной однородной пластины при чистом изгибе основные уравнения имеют вид ${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\implies N_{11,1}+N_{21,2}=0~,~~N_{12,1}+N_{22,2}=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\implies M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}=0\end{aligned}}}$ и отношения напряжение-деформация ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$ Потом, ${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}$ и ${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}$ Дифференциация дает ${\displaystyle {\begin{aligned}N_{11,1}&={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{1,11}^{0}+\nu ~u_{2,21}^{0}\right)~;~~N_{22,2}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}\left(\nu ~u_{1,12}^{0}+u_{2,22}^{0}\right)\\N_{12,1}&={\cfrac {hE(1-\nu )}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{1,21}^{0}+u_{2,11}^{0}\right)~;~~N_{12,2}={\cfrac {hE(1-\nu )}{(1-\nu ^{2})}}\left(u_{1,22}^{0}+u_{2,12}^{0}\right)\end{aligned}}}$ и ${\displaystyle {\begin{aligned}M_{11,11}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(w_{,1111}^{0}+\nu ~w_{,2211}^{0}\right)\\M_{22,22}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(\nu ~w_{,1122}^{0}+w_{,2222}^{0}\right)\\M_{12,12}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}(1-\nu )~w_{,1212}^{0}\end{aligned}}}$ Включение в основные уравнения приводит к ${\displaystyle {\begin{aligned}&u_{1,11}^{0}+\nu ~u_{2,21}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )\left(u_{1,22}^{0}+u_{2,12}^{0}\right)=0\\&\nu ~u_{1,12}^{0}+u_{2,22}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )\left(u_{1,21}^{0}+u_{2,11}^{0}\right)=0\\&w_{,1111}^{0}+\nu ~w_{,2211}^{0}+2(1-\nu )~w_{,1212}^{0}+\nu ~w_{,1122}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\end{aligned}}}$ Поскольку порядок дифференцирования не имеет значения, имеем ${\displaystyle u_{1,12}^{0}=u_{1,21}^{0}}$, ${\displaystyle u_{2,21}^{0}=u_{2,12}^{0}}$, и ${\displaystyle w_{,2211}^{0}=w_{,1212}^{0}=w_{,1122}^{0}}$. Следовательно ${\displaystyle {\begin{aligned}&u_{1,11}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )~u_{1,22}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1+\nu )~u_{2,12}^{0}=0\\&u_{2,22}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1-\nu )~u_{2,11}^{0}+{\tfrac {1}{2}}(1+\nu )~u_{1,12}^{0}=0\\&w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\end{aligned}}}$ В прямых тензорных обозначениях определяющее уравнение пластины имеет вид ${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}$ где мы предположили, что перемещения ${\displaystyle u_{1}^{0},u_{2}^{0}}$ постоянны.

Изгиб под поперечной нагрузкой

Если распределенная поперечная нагрузка ${\displaystyle -q(x)}$ применяется к пластине, определяющее уравнение ${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }=-q}$. Следуя процедуре, описанной в предыдущем разделе, мы получаем^[3]

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w={\cfrac {q}{D}}~;~~D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}}$

В прямоугольных декартовых координатах основное уравнение имеет вид

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=-{\cfrac {q}{D}}}$

а в цилиндрических координатах принимает вид

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.}$

Решения этого уравнения для различных геометрий и граничных условий можно найти в статье на гибка плит.

Вывод уравнений равновесия для поперечного нагружения.

Для поперечно нагруженной пластины без осевых деформаций определяющее уравнение имеет вид ${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }=q\implies M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}=q}$ куда ${\displaystyle q}$ - распределенная поперечная нагрузка (на единицу площади). Подстановка выражений для производных от ${\displaystyle M_{\alpha \beta }}$ в основное уравнение дает ${\displaystyle -{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left[w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}\right]=q\,.}$ Учитывая, что жесткость на изгиб - это величина ${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}}$ мы можем записать основное уравнение в виде ${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.}$ В цилиндрических координатах ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$, ${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial w}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\,.}$ Для симметрично нагруженных круглых пластин ${\displaystyle w=w(r)}$, и у нас есть ${\displaystyle \nabla ^{2}w\equiv {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\,.}$

Цилиндрическая гибка

При определенных условиях нагружения плоская пластина может изгибаться, принимая форму поверхности цилиндра. Этот тип гибки называется цилиндрической гибкой и представляет собой особую ситуацию, когда ${\displaystyle u_{1}=u_{1}(x_{1}),u_{2}=0,w=w(x_{1})}$. В таком случае

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2hE}{(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\0\\0\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\0\\0\end{bmatrix}}}$

и определяющие уравнения становятся^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{11}&=A~{\cfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x_{1}}}\quad \implies \quad {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} x_{1}^{2}}}=0\\M_{11}&=-D~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x_{1}^{2}}}\quad \implies \quad {\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x_{1}^{4}}}={\cfrac {q}{D}}\\\end{aligned}}}$

Динамика пластин Кирхгофа-Лява

Динамическая теория тонких пластин определяет распространение волн в пластинах и изучение стоячих волн и режимов колебаний.

Основные уравнения

Основные уравнения динамики пластины Кирхгофа-Лява:

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}}$

где для пластины с плотностью ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$,

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}}$

и

${\displaystyle {\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}$

Вывод уравнений динамики пластин Кирхгофа-Лява

Полная кинетическая энергия пластины определяется выражением ${\displaystyle K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\cfrac {\rho }{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial t}}\right)^{2}\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t}$ Следовательно, изменение кинетической энергии равно ${\displaystyle \delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}{\cfrac {\rho }{2}}\left[2\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial \delta u_{1}}{\partial t}}\right)+2\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial \delta u_{2}}{\partial t}}\right)+2\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial \delta u_{3}}{\partial t}}\right)\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t}$ В оставшейся части этого раздела мы используем следующие обозначения. ${\displaystyle {\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}$ потом ${\displaystyle \delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left({\dot {u}}_{\alpha }~\delta {\dot {u}}_{\alpha }+{\dot {u}}_{3}~\delta {\dot {u}}_{3}\right)~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t}$ Для тарелки Кирхгофа-Лява ${\displaystyle u_{\alpha }=u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~u_{3}=w^{0}}$ Следовательно, ${\displaystyle {\begin{aligned}\delta K&=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left[\left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}\right)~\left(\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}\right)+{\dot {w}}^{0}~\delta {\dot {w}}^{0}\right]~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\int _{-h}^{h}\rho \left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}-x_{3}~{\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}+x_{3}^{2}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}+{\dot {w}}^{0}~\delta {\dot {w}}^{0}\right)~\mathrm {d} x_{3}~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t\end{aligned}}}$ Определите, для постоянного ${\displaystyle \rho }$ по толщине пластины, ${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{2}:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\rho ~dx_{3}=0~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}}$ потом ${\displaystyle \delta K=\int _{0}^{T}\int _{\Omega ^{0}}\left[J_{1}\left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta {\dot {u}}_{\alpha }^{0}+{\dot {w}}^{0}~\delta {\dot {w}}^{0}\right)+J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta {\dot {w}}_{,\alpha }^{0}\right]~\mathrm {d} A~\mathrm {d} t}$ Интегрируя по частям, ${\displaystyle \delta K=\int _{\Omega ^{0}}\left[\int _{0}^{T}\left\{-J_{1}\left({\ddot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w_{,\alpha }^{0}\right\}~\mathrm {d} t+\left|J_{1}\left({\dot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\dot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)+J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w_{,\alpha }^{0}\right|_{0}^{T}\right]~\mathrm {d} A}$ Вариации ${\displaystyle \delta u_{\alpha }^{0}}$ и ${\displaystyle \delta w^{0}}$ равны нулю в ${\displaystyle t=0}$ и ${\displaystyle t=T}$Следовательно, после переключения последовательности интегрирования имеем ${\displaystyle \delta K=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[J_{1}\left({\ddot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)+J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~\mathrm {d} A\right\}~\mathrm {d} t+\left|\int _{\Omega ^{0}}J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w_{,\alpha }^{0}\mathrm {d} A\right|_{0}^{T}}$ Интеграция по частям по средней поверхности дает ${\displaystyle {\begin{aligned}\delta K&=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[J_{1}\left({\ddot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}~\delta w^{0}\right]~\mathrm {d} A+\int _{\Gamma ^{0}}J_{3}~n_{\alpha }~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} s\right\}~\mathrm {d} t\\&\qquad -\left|\int _{\Omega ^{0}}J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} A-\int _{\Gamma ^{0}}J_{3}~{\dot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} s\right|_{0}^{T}\end{aligned}}}$ Опять же, поскольку вариации равны нулю в начале и в конце рассматриваемого временного интервала, мы имеем ${\displaystyle \delta K=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[J_{1}\left({\ddot {u}}_{\alpha }^{0}~\delta u_{\alpha }^{0}+{\ddot {w}}^{0}~\delta w^{0}\right)-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}~\delta w^{0}\right]~\mathrm {d} A+\int _{\Gamma ^{0}}J_{3}~n_{\alpha }~{\ddot {w}}_{,\alpha }^{0}~\delta w^{0}~\mathrm {d} s\right\}~\mathrm {d} t}$ Для динамического случая изменение внутренней энергии определяется выражением ${\displaystyle \delta U=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}+M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }~\delta w^{0}\right]~\mathrm {d} A-\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}+n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w^{0}-n_{\beta }~M_{\alpha \beta }~\delta w_{,\alpha }^{0}\right]~\mathrm {d} s\right\}\mathrm {d} t}$ Интегрирование по частям и обращение к нулю вариации на границе средней поверхности дает ${\displaystyle \delta U=-\int _{0}^{T}\left\{\int _{\Omega ^{0}}\left[N_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta u_{\beta }^{0}+M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }~\delta w^{0}\right]~\mathrm {d} A-\int _{\Gamma ^{0}}\left[n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }~\delta u_{\beta }^{0}+n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }~\delta w^{0}+n_{\beta }~M_{\alpha \beta ,\alpha }~\delta w^{0}\right]~\mathrm {d} s\right\}\mathrm {d} t}$ Если есть внешняя распределенная сила ${\displaystyle q(x,t)}$ действуя нормально к поверхности пластины, выполняемая виртуальная внешняя работа ${\displaystyle \delta V_{\mathrm {ext} }=\int _{0}^{T}\left[\int _{\Omega ^{0}}q(x,t)~\delta w^{0}~\mathrm {d} A\right]\mathrm {d} t}$ Из принципа виртуальной работы ${\displaystyle \delta U+\delta V_{\mathrm {ext} }=\delta K}$. Следовательно, основные уравнения баланса для пластины следующие: ${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}}$

Решения этих уравнений для некоторых частных случаев можно найти в статье о колебания плит. На рисунках ниже показаны некоторые колебательные моды круглой пластины.

• 

  Режим k = 0, п = 1

• 

  Режим k = 0, п = 2

• 

  Режим k = 1, п = 2

Изотропные плиты

Основные уравнения значительно упрощаются для изотропных и однородных пластин, для которых деформациями в плоскости можно пренебречь. В этом случае остается одно уравнение следующего вида (в прямоугольных декартовых координатах):

${\displaystyle D\,\left({\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}\right)=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}\,.}$

куда ${\displaystyle D}$ - жесткость пластины на изгиб. Для однородной плиты толщиной ${\displaystyle 2h}$,

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

В прямой записи

${\displaystyle D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\ddot {w}}\,.}$

Для свободных колебаний основное уравнение принимает вид

${\displaystyle D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-2\rho h\,{\ddot {w}}\,.}$

Вывод управляющих динамических уравнений для изотропных пластин Кирхгофа-Лява

Для изотропной и однородной пластины зависимости напряжения от деформации имеют вид ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$ куда ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$ деформации в плоскости. Соотношения деформации-смещения для пластин Кирхгофа-Лява имеют вид ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })-x_{3}\,w_{,\alpha \beta }\,.}$ Следовательно, результирующие моменты, соответствующие этим напряжениям, равны ${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}\\w_{,22}\\w_{,12}\end{bmatrix}}}$ Основное уравнение для изотропной и однородной пластины однородной толщины ${\displaystyle 2h}$ при отсутствии смещений в плоскости ${\displaystyle M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}-q(x,t)=2\rho h{\ddot {w}}-{\frac {2}{3}}\rho h^{3}\left({\ddot {w}}_{,11}+{\ddot {w}}_{,22}+{\ddot {w}}_{,33}\right)\,.}$ Дифференцирование выражений для результирующих моментов дает нам ${\displaystyle {\begin{aligned}M_{11,11}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(w_{,1111}+\nu ~w_{,2211}\right)\\M_{22,22}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\left(\nu ~w_{,1122}+w_{,2222}\right)\\M_{12,12}&=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}(1-\nu )~w_{,1212}\end{aligned}}}$ Включение в основные уравнения приводит к ${\displaystyle {\begin{aligned}-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}&\left(w_{,1111}+\nu ~w_{,2211}+2(1-\nu )~w_{,1212}+\nu ~w_{,1122}+w_{,2222}\right)=\\&q(x,t)+2\rho h{\ddot {w}}-{\frac {2}{3}}\rho h^{3}\left({\ddot {w}}_{,11}+{\ddot {w}}_{,22}+{\ddot {w}}_{,33}\right)\,.\end{aligned}}}$ Поскольку порядок дифференцирования не имеет значения, имеем ${\displaystyle w_{,2211}=w_{,1212}=w_{,1122}}$. Следовательно ${\displaystyle {\begin{aligned}-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}&\left(w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}\right)=\\&q(x,t)+2\rho h{\ddot {w}}-{\frac {2}{3}}\rho h^{3}\left({\ddot {w}}_{,11}+{\ddot {w}}_{,22}+{\ddot {w}}_{,33}\right)\,.\end{aligned}}}$ Если жесткость пластины на изгиб определяется как ${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}}$ у нас есть ${\displaystyle D\left(w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}\right)=-q(x,t)-2\rho h{\ddot {w}}+{\frac {2}{3}}\rho h^{3}\left({\ddot {w}}_{,11}+{\ddot {w}}_{,22}+{\ddot {w}}_{,33}\right)\,.}$ При малых деформациях мы часто пренебрегаем пространственными производными поперечного ускорения пластины, и остается ${\displaystyle D\left(w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222}\right)=-q(x,t)-2\rho h{\ddot {w}}\,.}$ Тогда в прямых тензорных обозначениях определяющее уравнение пластины имеет вид ${\displaystyle D\nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-q(x,y,t)-2\rho h{\ddot {w}}\,.}$

Рекомендации

1. А. Э. Х. Лав, О малых свободных колебаниях и деформациях упругих оболочек., Философский пер. Королевского общества (Лондон), 1888 г., Vol. серия A, № 17 стр. 491–549.
2. Редди, Дж. Н., 2007, Теория и анализ упругих пластин и оболочек, CRC Press, Тейлор и Фрэнсис.
3. Тимошенко С. и Войновски-Кригер С. (1959), Теория пластин и оболочек, Макгроу-Хилл, Нью-Йорк.

Смотрите также

• Гибка
• Гибка плит
• Теория бесконечно малых деформаций
• Линейная эластичность
• Теория пластин
• Стресс (механика)
• Результирующие напряжения
• Вибрация плит