Биномиальное число - Binomial number

В математика особенно в теория чисел, а биномиальное число является целое число которое можно получить, оценив однородный многочлен содержащий два термина. Это обобщение Число Каннингема.

Определение

А Биномиальное число является целое число полученный путем оценки однородный многочлен содержащие два термина, также называемые биномиальный. Форма этого бинома ${displaystyle scriptstyle x ^ {n}, pm, y ^ {n}}$ , с ${displaystyle scriptstyle x,>, y}$ и ${displaystyle scriptstyle n,>, 1}$ . Однако, поскольку ${стиль отображения стиля сценария x ^ {n}, -, y ^ {n}}$ всегда делится на ${displaystyle scriptstyle x, -, y}$ , при изучении чисел, сгенерированных из версии с отрицательным знаком, их обычно делят на ${displaystyle scriptstyle x, -, y}$ первый. Образованные таким образом биномиальные числа образуют Последовательности Лукаса. Конкретно:

{displaystyle U_ {n} (a + b, ab) = {frac {a ^ {n} -b ^ {n}} {a-b}},}

и

{displaystyle V_ {n} (a + b, ab) = a ^ {n} + b ^ {n}}

Биномиальные числа являются обобщением Числа Каннингема, и будет видно, что Числа Каннингема - биномиальные числа, где ${displaystyle scriptstyle y, =, 1}$ . Другие подмножества биномиальных чисел - это Числа Мерсенна и Repunits.

Факторизация

Основная причина изучения этих чисел - получение их факторизации. Помимо алгебраических факторы, которые получаются факторинг лежащий в основе многочлен (биномиальный ), который использовался для определения числа, есть и другие главные факторы (называемые примитивными простыми множителями, потому что для данного ${displaystyle scriptstyle x ^ {n}, pm, y ^ {n}}$ они не факторизуют ${displaystyle scriptstyle x ^ {m}, pm, y ^ {m}}$ с ${displaystyle scriptstyle m, <, n}$ ), которые кажутся случайными, и именно их ищет теоретик чисел.

Некоторые биномиальные числа, лежащие в основе биномы имеют Аурифейлевы факторизации,^[1] что может помочь в поиске главные факторы. Циклотомические полиномы также полезны при нахождении факторизаций.^[2]

Объем работы, необходимой для поиска фактора, значительно сокращается за счет применения теоремы Лежандра.^[3] Эта теорема утверждает, что все множители биномиального числа имеют вид ${displaystyle scriptstyle kn, +, 1}$ если ${displaystyle scriptstyle n}$ даже или ${displaystyle scriptstyle 2kn, +, 1}$ если это странно.