Бикватернионная алгебра - Biquaternion algebra - Wikipedia

В математике бикватернионная алгебра представляет собой соединение кватернионные алгебры над полем.

В бикватернионы из Уильям Роуэн Гамильтон (1844) и связанные сплит-бикватернионы и двойные кватернионы не образуют бикватернионных алгебр в этом смысле.

Определение

Позволять F быть полем характеристика не равно 2.A бикватернионная алгебра над F это тензорное произведение из двух кватернионные алгебры.[1][2]

Алгебра бикватернионов - это центральная простая алгебра размерности 16 и степень 4 над базовым полем: у него есть экспонента (порядок ее Класс Брауэра в Группа Брауэра из F)[3] равно 1 или 2.

Теорема Альберта

Позволять А = (а1,а2) и B = (б1,б2) - кватернионные алгебры над F.

В Форма Альберта за А, B является

Это можно рассматривать как разницу в Кольцо Witt троичных форм, прикрепленных к мнимым подпространствам А и B.[4] Алгебры кватернионов: связаны тогда и только тогда, когда форма Альберта изотропный, иначе несвязанный.[5]

Альберт Теорема утверждает, что следующие эквивалентны:

В случае связанных алгебр мы можем дополнительно классифицировать другие возможные структуры для тензорного произведения в терминах формы Альберта. Если форма гиперболический, то алгебра бикватернионов изоморфна алгебре M4(F) матриц 4 × 4 над F: в противном случае он изоморфен произведению M2(F)⊗D куда D является алгеброй кватернионов с делением над F.[2] В Индекс Шура алгебры бикватернионов равно 4, 2 или 1 в соответствии с Индекс Витта формы Альберта 0, 1 или 3.[8][9]

Характеристика

Теорема Альберта утверждает, что каждая центральная простая алгебра степени 4 и показателя 2 является алгеброй бикватернионов.[8][10]

Рекомендации

  1. ^ Лам (2005) стр.60
  2. ^ а б Шимичек (1997) с.452
  3. ^ Кон, Пол М. (2003). Дальнейшая алгебра и приложения. Springer-Verlag. п. 208. ISBN  1852336676.
  4. ^ Knus et al (1991) стр.192
  5. ^ Лам (2005) стр.70
  6. ^ Альберт, А.А. (1972). «Тензорные произведения кватернионных алгебр». Proc. Являюсь. Математика. Soc. 35: 65–66. Дои:10.1090 / с0002-9939-1972-0297803-6. Zbl  0263.16012.
  7. ^ Джейкобсон (1996) стр.77.
  8. ^ а б Лам (2005) стр.437
  9. ^ Knus et al (1991) стр. 236
  10. ^ Knus et al (1991) стр.233.