Неравенство Бишопа – Громова. - Bishop–Gromov inequality

В математика, то Неравенство Бишопа – Громова. это теорема сравнения в римановой геометрии, названный в честь Ричард Л. Бишоп и Михаил Громов. Это тесно связано с Теорема Майерса, и является ключевым моментом в доказательстве Теорема Громова о компактности.^[1]

Заявление

Позволять ${\displaystyle M}$ быть полным п-мерное риманово многообразие, Кривизна Риччи удовлетворяет нижней оценке

${\displaystyle \mathrm {Ric} \geq (n-1)K}$

для постоянного ${\displaystyle K\in \mathbb {R} }$. Позволять ${\displaystyle M_{K}^{n}}$ быть полным п-размерный односвязный пространство постоянного секционная кривизна ${\displaystyle K}$ (и, следовательно, постоянной кривизны Риччи ${\displaystyle (n-1)K}$); таким образом ${\displaystyle M_{K}^{n}}$ это п-сфера радиуса ${\displaystyle 1/{\sqrt {K}}}$ если ${\displaystyle K>0}$, или же п-размерный Евклидово пространство если ${\displaystyle K=0}$, или соответствующим образом измененная версия п-размерный гиперболическое пространство если ${\displaystyle K<0}$. Обозначим через ${\displaystyle B(p,r)}$ шар радиуса р вокруг точки п, определенный относительно Функция риманова расстояния.

Тогда для любого ${\displaystyle p\in M}$ и ${\displaystyle p_{K}\in M_{K}^{n}}$, функция

${\displaystyle \phi (r)={\frac {\mathrm {Vol} \,B(p,r)}{\mathrm {Vol} \,B(p_{K},r)}}}$

не увеличивается на ${\displaystyle (0,\infty )}$.

В качестве р стремится к нулю, отношение приближается к единице, поэтому вместе с монотонностью это означает, что

${\displaystyle \mathrm {Vol} \,B(p,r)\leq \mathrm {Vol} \,B(p_{K},r).}$

Это версия, впервые доказанная Бишопом.^[2][3]

Смотрите также

• Теорема сравнения
• Неравенство Громова (значения)

Рекомендации

1. Петерсен, Питер (2016). «Раздел 11.1.3». Риманова геометрия (3-е изд.). Springer. ISBN  978-3-319-26652-7.
2. Бишоп, Р. Соотношение между объемом, средней кривизной и диаметром. Уведомления Американского математического общества 10 (1963), стр. 364.
3. Епископ Р.Л., Криттенден Р.Дж. Геометрия многообразий, следствие 4, с. 256