Блохс высшая группа чау - Blochs higher Chow group - Wikipedia

В алгебраической геометрии Высшие группы чау Блоха, обобщение Группа чау, является предшественником и основным примером мотивационные когомологии (для гладких сортов). Он был представлен Спенсер Блох (Блох 1986 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFBloch1986 (помощь) и основная теория была разработана Блохом и Марк Левин.

Точнее говоря, теорема Воеводского^[1] подразумевает: для гладкая схема Икс над полем и целыми числами п, q, существует естественный изоморфизм

${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(X;\mathbb {Z} (q))\simeq \operatorname {CH} ^{q}(X,2q-p)}$

между группами мотивных когомологий и высшими группами Чжоу.

Мотивация

Одна из мотиваций для высших групп Чжоу исходит из теории гомотопий. В частности, если ${\displaystyle \alpha ,\beta \in Z_{*}(X)}$ являются алгебраическими циклами в ${\displaystyle X}$ которые рационально эквивалентны через цикл ${\displaystyle \gamma \in Z_{*}(X\times \Delta ^{1})}$, тогда ${\displaystyle \gamma }$ можно рассматривать как путь между ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$, а более высокие группы Чоу предназначены для кодирования информации более высокой гомотопической когерентности. Например,

${\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,0)}$

можно рассматривать как гомотопические классы циклов, а

${\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,1)}$

можно рассматривать как гомотопические классы гомотопий циклов.

Определение

Позволять Икс - квазипроективная алгебраическая схема над полем («алгебраический» означает отделенный и конечный тип).

Для каждого целого числа ${\displaystyle q\geq 0}$, определять

${\displaystyle \Delta ^{q}=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [t_{0},\dots ,t_{q}]/(t_{0}+\dots +t_{q}-1)),}$

который является алгебраическим аналогом стандартного q-симплекс. Для каждой последовательности ${\displaystyle 0\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{r}\leq q}$, закрытая подсхема ${\displaystyle t_{i_{1}}=t_{i_{2}}=\cdots =t_{i_{r}}=0}$, который изоморфен ${\displaystyle \Delta ^{q-r}}$, называется лицом ${\displaystyle \Delta ^{q}}$.

Для каждого я, есть вложение

${\displaystyle \partial _{q,i}:\Delta ^{q-1}{\overset {\sim }{\to }}\{t_{i}=0\}\subset \Delta ^{q}.}$

Мы пишем ${\displaystyle Z_{i}(X)}$ для группы алгебраический я-циклы на Икс и ${\displaystyle z_{r}(X,q)\subset Z_{r+q}(X\times \Delta ^{q})}$ для подгруппы, порожденной замкнутыми подмногообразиями, пересекаются правильно с ${\displaystyle X\times F}$ для каждого лица F из ${\displaystyle \Delta ^{q}}$.

С ${\displaystyle \partial _{X,q,i}=\operatorname {id} _{X}\times \partial _{q,i}:X\times \Delta ^{q-1}\hookrightarrow X\times \Delta ^{q}}$ - эффективный дивизор Картье, существует Гомоморфизм Гизина:

${\displaystyle \partial _{X,q,i}^{*}:z_{r}(X,q)\to z_{r}(X,q-1)}$,

что (по определению) отображает подмногообразие V к пересечение ${\displaystyle (X\times \{t_{i}=0\})\cap V.}$

Определите граничный оператор ${\displaystyle d_{q}=\sum _{i=0}^{q}(-1)^{i}\partial _{X,q,i}^{*}}$ что дает цепной комплекс

${\displaystyle \cdots \to z_{r}(X,q){\overset {d_{q}}{\to }}z_{r}(X,q-1){\overset {d_{q-1}}{\to }}\cdots {\overset {d_{1}}{\to }}z_{r}(X,0).}$

Наконец, q-я высшая группа чау-чау Икс определяется как q-я гомология указанного комплекса:

${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,q):=\operatorname {H} _{q}(z_{r}(X,\cdot )).}$

(Проще говоря, поскольку ${\displaystyle z_{r}(X,\cdot )}$ естественно является симплициальной абелевой группой ввиду Переписка Дольда – Кана, высшие группы Чжоу можно также определить как гомотопические группы ${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,q):=\pi _{q}z_{r}(X,\cdot )}$.)

Например, если ${\displaystyle V\subset X\times \triangle ^{1}}$^[2] - замкнутое подмногообразие такое, что пересечения ${\displaystyle V(0),V(\infty )}$ с лицами ${\displaystyle 0,\infty }$ правильные, тогда${\displaystyle d_{1}(V)=V(0)-V(\infty )}$ а это значит, по предложению 1.6. в теории пересечений Фултона, что образ ${\displaystyle d_{1}}$ является в точности группой циклов, рационально эквивалентной нулю; то есть,

${\displaystyle \operatorname {CH} _{r}(X,0)=}$ то р-го Группа чау из Икс.

Характеристики

Функциональность

Правильные карты ${\displaystyle f:X\to Y}$ ковариантны между высшими группами чау, в то время как плоские карты контравариантны. Кроме того, когда ${\displaystyle X}$ гладко, любая карта из ${\displaystyle X}$ ковариантно.

Гомотопическая инвариантность

Если ${\displaystyle E\to X}$ является алгебраическим векторным расслоением, то существует гомотопическая эквивалентность

${\displaystyle {\text{CH}}^{*}(X,n)\cong {\text{CH}}^{*}(E,n)}$

Локализация

Учитывая замкнутую равноразмерную подсхему ${\displaystyle Y\subset X}$ есть длинная точная последовательность локализации

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \\{\text{CH}}^{*-d}(Y,2)\to {\text{CH}}^{*}(X,2)\to {\text{CH}}^{*}(U,2)\to &\\{\text{CH}}^{*-d}(Y,1)\to {\text{CH}}^{*}(X,1)\to {\text{CH}}^{*}(U,1)\to &\\{\text{CH}}^{*-d}(Y,0)\to {\text{CH}}^{*}(X,0)\to {\text{CH}}^{*}(U,0)\to &{\text{ }}0\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle U=X-Y}$. В частности, это показывает, что высшие группы чау естественным образом расширяют точную последовательность групп чау.

Теорема локализации

(Блох 1994 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFBloch1994 (помощь) показал, что с учетом открытого подмножества ${\displaystyle U\subset X}$, за ${\displaystyle Y=X-U}$,

${\displaystyle z(X,\cdot )/z(Y,\cdot )\to z(U,\cdot )}$

является гомотопической эквивалентностью. В частности, если ${\displaystyle Y}$ имеет чистую коразмерность, то он дает длинную точную последовательность для высших групп Чжоу (называемую последовательностью локализации).

Рекомендации

1. Конспект лекций по мотивационным когомологиям (PDF). Монографии по глиняной математике. п. 159.
2. Здесь мы определяем ${\displaystyle \triangle ^{1}}$ с подсхемой ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ а затем, без ограничения общности, предположим, что одна вершина является началом 0, а другая - ∞.

• С. Блох, “Алгебраические циклы и высшая K-теория, ”Adv. Математика. 61 (1986), 267–304.
• Блох С. Лемма о подвижности для высших групп Чжоу // Журн. Алгебры. 3, 537–568 (1994)
• Питер Хейн, Обзор мотивационных когомологий
• Владмир Воеводский, «Группы мотивационных когомологий изоморфны высшим группам Чжоу по любой характеристике», Международные доклады о математических исследованиях 7 (2002), 351–355.