Группа Блоха - Bloch group

В математике Группа Блоха это группа когомологий комплекса Блох – Суслин им. Спенсер Блох и Андрей Суслин. Это тесно связано с полилогарифм, гиперболическая геометрия и алгебраическая K-теория.

Функция Блоха – Вигнера

В дилогарифм функция - функция, определяемая степенным рядом

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{2}}.}$

Его можно расширить с помощью аналитического продолжения, когда путь интегрирования избегает сокращения от 1 до + ∞

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\log(1-t) \over t}\,\mathrm {d} t.}$

Функция Блоха – Вигнера связана с функцией дилогарифма соотношением

${\displaystyle \operatorname {D} _{2}(z)=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2}(z))+\arg(1-z)\log |z|}$, если ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}.}$

Эта функция обладает несколькими замечательными свойствами, например

• ${\displaystyle \operatorname {D} _{2}(z)}$ действительно аналитический на ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}.}$
• ${\displaystyle \operatorname {D} _{2}(z)=\operatorname {D} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1}{1-z}}\right)=-\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1}{z}}\right)=-\operatorname {D} _{2}(1-z)=-\operatorname {D} _{2}\left({\frac {-z}{1-z}}\right).}$
• ${\displaystyle \operatorname {D} _{2}(x)+\operatorname {D} _{2}(y)+\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)+\operatorname {D} _{2}(1-xy)+\operatorname {D} _{2}\left({\frac {1-y}{1-xy}}\right)=0.}$

Последнее уравнение представляет собой дисперсию Функциональное уравнение Абеля для дилогарифма (Авель 1881 ).

Определение

Позволять K быть полем и определить ${\displaystyle \mathbb {Z} (K)=\mathbb {Z} [K\setminus \{0,1\}]}$ как свободная абелева группа, порожденная символами [Икс]. Из функционального уравнения Абеля следует, что D₂ обращается в нуль на подгруппе D (K) из Z (K) порожденные элементами

${\displaystyle [x]+[y]+\left[{\frac {1-x}{1-xy}}\right]+[1-xy]+\left[{\frac {1-y}{1-xy}}\right]}$

Обозначим через А (K) фактор-группа Z (K) подгруппой D(K). Комплекс Блоха-Суслина определяется следующим образом: коцепьевой комплекс, сконцентрированные в первой и второй степени

${\displaystyle \operatorname {B} ^{\bullet }:A(K){\stackrel {d}{\longrightarrow }}\wedge ^{2}K^{*}}$, куда ${\displaystyle d[x]=x\wedge (1-x)}$,

затем группа Блоха была определена Блохом (Блох 1978 )

${\displaystyle \operatorname {B} _{2}(K)=\operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Spec} (K),\operatorname {B} ^{\bullet })}$

Комплекс Блоха – Суслина можно расширить до точная последовательность

${\displaystyle 0\longrightarrow \operatorname {B} _{2}(K)\longrightarrow A(K){\stackrel {d}{\longrightarrow }}\wedge ^{2}K^{*}\longrightarrow \operatorname {K} _{2}(K)\longrightarrow 0}$

Это утверждение связано с Теорема мацумото на K₂ для полей.

Отношения между K₃ и группа Блоха

Если c обозначает элемент ${\displaystyle [x]+[1-x]\in \operatorname {B} _{2}(K)}$ а поле бесконечно, Суслин доказал (Суслин 1990 ) элемент c не зависит от выбора Икс, и

${\displaystyle \operatorname {coker} (\pi _{3}(\operatorname {BGM} (K)^{+})\rightarrow \operatorname {K} _{3}(K))=\operatorname {B} _{2}(K)/2c}$

где GM (K) - подгруппа в GL (K), состоящий из мономиальные матрицы, и BGM (K)⁺ это Quillen с плюс строительство. Кроме того, пусть K₃^M обозначить К-группа Милнора, то существует точная последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Tor} (K^{*},K^{*})^{\sim }\rightarrow \operatorname {K} _{3}(K)_{ind}\rightarrow \operatorname {B} _{2}(K)\rightarrow 0}$

где K₃(K)_инд = коксователь (K₃^M(K) → K₃(K)) и Tor (K^*, K^*)^~ - единственное нетривиальное расширение Tor (K^*, K^*) посредством Z/2.

Связь с гиперболической геометрией в трех измерениях

Функция Блоха-Вигнера ${\displaystyle D_{2}(z)}$ , который определен на ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0,1\}=\mathbb {C} P^{1}\setminus \{0,1,\infty \}}$ , имеет следующий смысл: Пусть ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$ быть трехмерным гиперболическое пространство и ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}=\mathbb {C} \times \mathbb {R} _{>0}}$ его модель полупространства. Можно рассматривать элементы ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}=\mathbb {C} P^{1}}$ как точки в бесконечности на ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$. Тетраэдр, все вершины которого находятся на бесконечности, называется идеальный тетраэдр. Обозначим такой тетраэдр через ${\displaystyle (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3})}$ и его (подписано) объем к ${\displaystyle \left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle }$ куда ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{3}\in \mathbb {C} P^{1}}$ - вершины. Тогда при соответствующей метрике с точностью до констант можно получить ее кросс-отношение:

${\displaystyle \left\langle p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right\rangle =D_{2}\left({\frac {(p_{0}-p_{2})(p_{1}-p_{3})}{(p_{0}-p_{1})(p_{2}-p_{3})}}\right)\ .}$

Особенно, ${\displaystyle D_{2}(z)=\left\langle 0,1,z,\infty \right\rangle }$ . Из-за отношения пяти членов ${\displaystyle D_{2}(z)}$ , объем границы невырожденного идеального тетраэдра ${\displaystyle (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})}$ равно 0 тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \left\langle \partial (p_{0},p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})\right\rangle =\sum _{i=0}^{4}(-1)^{i}\left\langle p_{0},..,{\hat {p}}_{i},..,p_{4}\right\rangle =0\ .}$

Кроме того, для гиперболического многообразия ${\displaystyle X=\mathbb {H} ^{3}/\Gamma }$ , можно разложить

${\displaystyle X=\bigcup _{j=1}^{n}\Delta (z_{j})}$

где ${\displaystyle \Delta (z_{j})}$ находятся идеальные тетраэдры. все вершины которого бесконечно удалены на ${\displaystyle \partial \mathbb {H} ^{3}}$ . Здесь ${\displaystyle z_{j}}$ некоторые комплексные числа с ${\displaystyle {\text{Im}}\ z>0}$ . Каждый идеальный тетраэдр изометричен одному с вершинами в ${\displaystyle 0,1,z,\infty }$ для некоторых ${\displaystyle z}$ с ${\displaystyle {\text{Im}}\ z>0}$ . Здесь ${\displaystyle z}$ - поперечное отношение вершин тетраэдра. Таким образом, объем тетраэдра зависит только от одного параметра ${\displaystyle z}$ . (Нойман и Загье 1985 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFNeumannZagier1985 (помощь) показал, что для идеального тетраэдра ${\displaystyle \Delta }$ , ${\displaystyle vol(\Delta (z))=D_{2}(z)}$ куда ${\displaystyle D_{2}(z)}$ дилогарифм Блоха-Вигнера. Для общего гиперболического 3-многообразия получаем

${\displaystyle vol(X)=\sum _{j=1}^{n}D_{2}(z)}$

склеив их. В Теорема жесткости Мостова гарантирует только одно значение объема с ${\displaystyle {\text{Im}}\ z_{j}>0}$ для всех ${\displaystyle j}$ .

Обобщения

Путем замены дилогарифма трилогарифмом или даже более высокими полилогарифмами понятие группы Блоха было расширено Гончаров (Гончаров 1991 ) и Загир (Загир 1990 ). Многие предполагают, что эти обобщенные группы Блоха B_п должен быть связан с алгебраическая K-теория или же мотивационные когомологии. Существуют также обобщения группы Блоха в других направлениях, например, расширенная группа Блоха, определенная Нейманом (Нойман 2004 ).

Рекомендации

• Абель, Н. (1881) [1826]. "Note sur la fonction ${\displaystyle \scriptstyle \psi x=x+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n^{2}}}+\cdots }$" (PDF). In Sylow, L .; Ли, С. (ред.). Uvres complete de Niels Henrik Abel - Nouvelle édition, Tome II (На французском). Христиания [Осло]: Grøndahl & Søn. С. 189–193. (Эта рукопись 1826 года была опубликована только посмертно.)
• Блох, С. (1978). «Приложения функции дилогарифма в алгебраической K-теории и алгебраической геометрии». В Нагате, М. (ред.). Proc. Int. Symp. на Алг. Геометрия. Токио: Кинокуния. С. 103–114.
• Гончаров, А. (1991). «Классический трилогарифм, алгебраическая K-теория полей и дзета-функции Дедекинда» (PDF). Бык. AMS. С. 155–162.
• Нойман, W.D. (2004). «Расширенная группа Блоха и класс Чигера-Черна-Саймонса». Геометрия и топология. С. 413–474. arXiv:математика / 0307092. Bibcode:2003математика ...... 7092N.
• Neumann, W.D .; Загир, Д. (2004). «Объемы трехмерных гиперболических многообразий». Топология. 24: 307–332. Дои:10.1016/0040-9383(85)90004-7.
• Суслин, А.А. (1990). "${\displaystyle \operatorname {K} _{3}}$ поля и группы Блоха ". Труды Матем. Inst. Стеклова (на русском). С. 180–199.
• Загир, Д. (1990). «Полилогарифмы, дзета-функции Дедекинда и алгебраическая K-теория полей». In van der Geer, G .; Oort, F .; Steenbrink, J (ред.). Арифметическая алгебраическая геометрия. Бостон: Биркхойзер. С. 391–430.