Сюжет Боде - Bode plot

Рисунок 1 (а): График Боде для первого порядка (однополюсный) фильтр верхних частот; прямолинейные аппроксимации обозначены как «полюс Боде»; фаза изменяется от 90 ° на низких частотах (из-за вклада числителя, который составляет 90 ° на всех частотах) до 0 ° на высоких частотах (где фазовый вклад знаменателя равен -90 ° и исключает вклад числителя ).

Рисунок 1 (b): График Боде для первого порядка (однополюсный) фильтр нижних частот; прямолинейные аппроксимации обозначены как «полюс Боде»; фаза на 90 ° ниже, чем на рисунке 1 (а), потому что фазовый вклад числителя равен 0 ° на всех частотах.

В электротехника и теория управления, а Сюжет Боде /ˈбoʊdя/ это график из частотный отклик системы. Обычно это комбинация График величины Боде, выражая величину (обычно в децибелы ) частотной характеристики, а Фазовый график Боде, выражая сдвиг фазы.

Первоначально задуманный Хендрик Уэйд Боде в 1930-е гг. сюжет асимптотический приближение частотной характеристики, с использованием отрезков прямых линий.^[1]

Обзор

Среди его нескольких важных вкладов в теория цепей и теория управления, инженер Хендрик Уэйд Боде, работая на Bell Labs в 1930-х годах разработал простой, но точный метод построения графиков усиление и графики сдвига фаз. Они носят его имя, Сюжет усиления Боде и Фазовый график Боде. "Боде" часто произносится /ˈбoʊdя/ BOH-ди хотя голландское произношение - Бо-дух. (Голландский:[ˈBoːdə]).^[2][3]

Боде столкнулся с проблемой проектирования стабильной усилители с участием Обратная связь для использования в телефонных сетях. Он разработал технику графического дизайна графиков Боде, чтобы показать маржа прироста и запас по фазе требуется для поддержания стабильности при изменении характеристик схемы, вызванных производством или эксплуатацией.^[4] Разработанные принципы были применены к задачам проектирования сервомеханизмы и другие системы управления с обратной связью. График Боде - это пример анализа в частотная область.

Определение

Сюжет Боде для линейный, инвариантный во времени система с функция передачи ${\displaystyle H(s)}$ (${\displaystyle s}$ комплексная частота в Домен Лапласа ) состоит из графика величины и графика фазы.

В График величины Боде график функции ${\displaystyle |H(s=j\omega )|}$ частоты ${\displaystyle \omega }$ (с участием ${\displaystyle j}$ будучи мнимая единица ). В ${\displaystyle \omega }$- ось графика величины является логарифмической, а величина дана в децибелы, т. е. значение величины ${\displaystyle |H|}$ отложена по оси при ${\displaystyle 20\log _{10}|H|}$.

В Фазовый график Боде график фаза, обычно выражаемая в градусах, передаточной функции ${\displaystyle \arg \left(H(s=j\omega )\right)}$ как функция ${\displaystyle \omega }$. Фаза откладывается на том же логарифмическом ${\displaystyle \omega }$-axis как график величины, но значение фазы откладывается на линейной вертикальной оси.

Частотный отклик

В этом разделе показано, что график Боде - это визуализация частотной характеристики системы.

Рассмотрим линейный, инвариантный во времени система с передаточной функцией ${\displaystyle H(s)}$. Предположим, что система подвержена синусоидальному входному сигналу с частотой ${\displaystyle \omega }$,

${\displaystyle u(t)=\sin(\omega t)\;,}$

применяется постоянно, т.е. с определенного времени ${\displaystyle -\infty }$ ко времени ${\displaystyle t}$. Ответ будет в форме

${\displaystyle y(t)=y_{0}\sin(\omega t+\varphi )\;,}$

т. е. также синусоидальный сигнал с амплитудой ${\displaystyle y_{0}}$ сдвинутые по фазе относительно входа на фазу ${\displaystyle \varphi }$.

Это можно показать^[5] что величина отклика

${\displaystyle y_{0}=|H(\mathrm {j} \omega )|\;}$

(1)

и что фазовый сдвиг равен

${\displaystyle \varphi =\arg H(\mathrm {j} \omega )\;.}$

(2)

Набросок доказательства этих уравнений дан в приложение.

Таким образом, на входе с частотой ${\displaystyle \omega }$ система реагирует на той же частоте выходным сигналом, который усиливается в несколько раз. ${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|}$ и сдвинут по фазе на ${\displaystyle \arg(H(\mathrm {j} \omega ))}$. Эти величины, таким образом, характеризуют частотную характеристику и показаны на графике Боде.

Правила хендмейд сюжета Боде

Для многих практических задач подробные графики Боде могут быть аппроксимированы отрезками прямых линий, которые асимптоты точного ответа. Эффект каждого из условий множественного элемента функция передачи может быть аппроксимирован набором прямых линий на графике Боде. Это позволяет графическое решение общей функции частотной характеристики. До широкого распространения цифровых компьютеров графические методы широко использовались, чтобы уменьшить необходимость в утомительных вычислениях; графическое решение может быть использовано для определения возможных диапазонов параметров для новой конструкции.

Предпосылка графика Боде состоит в том, что можно рассматривать журнал функции в форме:

${\displaystyle f(x)=A\prod (x-c_{n})^{a_{n}}}$

как сумма журналов его нули и полюсы:

${\displaystyle \log(f(x))=\log(A)+\sum a_{n}\log(x-c_{n})\;.}$

Эта идея явно используется в методе построения фазовых диаграмм. Метод построения графиков амплитуд неявно использует эту идею, но поскольку логарифм амплитуды каждого полюса или нуля всегда начинается с нуля и имеет только одно изменение асимптоты (прямые линии), метод можно упростить.

График амплитуды прямой

Амплитуда в децибелах обычно определяется с помощью ${\displaystyle {\text{dB}}=20\log _{10}(X)}$ чтобы определить децибелы. Учитывая передаточную функцию в виде

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}}}$

где ${\displaystyle x_{n}}$ и ${\displaystyle y_{n}}$ константы, ${\displaystyle s=\mathrm {j} \omega }$, ${\displaystyle a_{n},b_{n}>0}$, и ${\displaystyle H}$ - передаточная функция:

• при каждом значении s, где ${\displaystyle \omega =x_{n}}$ (ноль), увеличение наклон линии на ${\displaystyle 20\cdot a_{n}\,\mathrm {dB} }$ на десятилетие.
• при каждом значении s, где ${\displaystyle \omega =y_{n}}$ (полюс), уменьшение наклон линии на ${\displaystyle 20\cdot b_{n}\,\mathrm {dB} }$ за десятилетие.
• Начальное значение графика зависит от границ. Начальную точку можно найти, положив начальную угловую частоту ${\displaystyle \omega }$ в функцию и нахождение ${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|}$.
• Начальный наклон функции при начальном значении зависит от количества и порядка нулей и полюсов, которые находятся при значениях ниже начального значения, и определяется с использованием первых двух правил.

Для обработки неприводимых многочленов 2-го порядка ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ во многих случаях можно аппроксимировать как ${\displaystyle ({\sqrt {a}}x+{\sqrt {c}})^{2}}$.

Обратите внимание, что нули и полюсы появляются, когда ${\displaystyle \omega }$ является равно определенный ${\displaystyle x_{n}}$ или ${\displaystyle y_{n}}$. Это потому, что рассматриваемая функция - это величина ${\displaystyle H(\mathrm {j} \omega )}$, и поскольку это сложная функция, ${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|={\sqrt {H\cdot H^{*}}}}$. Таким образом, в любом месте, где есть ноль или полюс, включающий термин ${\displaystyle (s+x_{n})}$, величина этого члена равна ${\displaystyle {\sqrt {(x_{n}+\mathrm {j} \omega )\cdot (x_{n}-\mathrm {j} \omega )}}={\sqrt {x_{n}^{2}+\omega ^{2}}}}$.

Скорректированный график амплитуды

Чтобы исправить прямолинейный график амплитуды:

• на каждом нуле ставьте точку ${\displaystyle 3\cdot a_{n}\ \mathrm {dB} }$ над линия,
• на каждом полюсе поставь точку ${\displaystyle 3\cdot b_{n}\ \mathrm {dB} }$ ниже линия,
• проведите плавную кривую через эти точки, используя прямые линии как асимптоты (линии, к которым приближается кривая).

Обратите внимание, что этот метод коррекции не включает, как обрабатывать комплексные значения ${\displaystyle x_{n}}$ или ${\displaystyle y_{n}}$. В случае неприводимого многочлена лучший способ исправить график - это фактически вычислить величину передаточной функции на полюсе или нуле, соответствующем неприводимому многочлену, и поставить точку над или под линией на этом полюсе или нуле. .

Прямолинейный фазовый график

Учитывая передаточную функцию в той же форме, что и выше:

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}}}$

идея состоит в том, чтобы нарисовать отдельные графики для каждого полюса и нуля, а затем сложить их. Фактическая фазовая кривая определяется как${\displaystyle -\arctan \left({\tfrac {\mathrm {Im} [H(s)]}{\mathrm {Re} [H(s)]}}\right)}$.

Чтобы нарисовать фазовый график, для каждый полюс и ноль:

• если ${\displaystyle A}$ положительный, начальная линия (с нулевым наклоном) в ${\displaystyle 0\deg }$
• если ${\displaystyle A}$ отрицательный, начальная линия (с нулевым наклоном) в ${\displaystyle -180\deg }$
• если сумма количества нестабильных нулей и полюсов нечетная, добавьте 180 градусов к этому основанию
• на каждом ${\displaystyle \omega =|x_{n}|}$ (для стабильных нулей - ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)<0}$), увеличение склон ${\displaystyle 45\cdot a_{n}}$ градусов за десятилетие, начиная за десять лет до ${\displaystyle \omega =|x_{n}|}$ (Например.: ${\displaystyle {\frac {|x_{n}|}{10}}}$)
• на каждом ${\displaystyle \omega =|y_{n}|}$ (для устойчивых опор - ${\displaystyle \operatorname {Re} (p)<0}$), уменьшение склон ${\displaystyle 45\cdot b_{n}}$ градусов за десятилетие, начиная за десять лет до ${\displaystyle \omega =|y_{n}|}$ (Например.: ${\displaystyle {\frac {|y_{n}|}{10}}}$)
• «неустойчивые» (правая полуплоскость) полюса и нули (${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$) имеют противоположное поведение
• снова сгладьте наклон, когда фаза изменится на ${\displaystyle 90\cdot a_{n}}$ градусов (для нуля) или ${\displaystyle 90\cdot b_{n}}$ градусы (для шеста),
• После построения одной линии для каждого полюса или нуля сложите линии вместе, чтобы получить окончательный фазовый график; то есть окончательный фазовый график представляет собой наложение каждого предыдущего фазового графика.

пример

Чтобы построить прямолинейный график для фильтра нижних частот первого порядка (однополюсного), нужно рассматривать передаточную функцию с точки зрения угловой частоты:

${\displaystyle H_{\mathrm {lp} }(\mathrm {j} \omega )={1 \over 1+\mathrm {j} {\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}}\;.}$

Вышеприведенное уравнение является нормированной формой передаточной функции. График Боде показан на Рисунке 1 (b) выше, а затем обсуждается построение аппроксимации прямой линии.

График величины

Величина (в децибелы ) передаточной функции выше (нормализованной и преобразованной в форму угловой частоты), заданной выражением для усиления в децибелах ${\displaystyle A_{\mathrm {vdB} }}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\mathrm {vdB} }&=20\cdot \log |H_{\mathrm {lp} }(\mathrm {j} \omega )|\\&=20\cdot \log {\frac {1}{\left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\mathrm {c} }}}\right|}}\\&=-20\cdot \log \left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\mathrm {c} }}}\right|\\&=-10\cdot \log \left(1+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{\mathrm {c} }^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

затем строится график зависимости от входной частоты ${\displaystyle \omega }$ в логарифмическом масштабе, может быть аппроксимирован двумя линиями и образует асимптотический (приближенный) график Боде передаточной функции:

• для угловых частот ниже ${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }}$ это горизонтальная линия на уровне 0 дБ, поскольку на низких частотах ${\displaystyle {\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}}$ член небольшой и им можно пренебречь, делая приведенное выше уравнение усиления децибел равным нулю,
• для угловых частот выше ${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }}$ это линия с крутизной -20 дБ на декаду, поскольку на высоких частотах ${\displaystyle {\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}}$ член доминирует, и выражение усиления децибел выше упрощается до ${\displaystyle -20\log {\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}}$ которая представляет собой прямую линию с наклоном ${\displaystyle -20\,\mathrm {dB} }$ за десятилетие.

Эти две линии встречаются в угловая частота. Из графика можно увидеть, что для частот значительно ниже угловой частоты схема имеет затухание 0 дБ, что соответствует единичному усилению полосы пропускания, то есть амплитуда выходного сигнала фильтра равна амплитуде входного сигнала. Частоты выше краевой частоты ослабляются - чем выше частота, тем выше затухание.

Фазовый сюжет

Фазовый график Боде получается путем построения фазового угла передаточной функции, заданной как

${\displaystyle \arg H_{\mathrm {lp} }(\mathrm {j} \omega )=-\tan ^{-1}{\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}}$

против ${\displaystyle \omega }$, где ${\displaystyle \omega }$ и ${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }}$ - входная угловая частота и частота среза соответственно. Для входных частот намного ниже угла, соотношение ${\displaystyle {\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}}$ мал и поэтому фазовый угол близок к нулю. По мере увеличения отношения абсолютное значение фазы увеличивается и становится -45 градусов, когда ${\displaystyle \omega =\omega _{\mathrm {c} }}$. Когда отношение увеличивается для входных частот, намного превышающих частоту среза, фазовый угол асимптотически приближается к -90 градусов. Шкала частот для фазового графика является логарифмической.

Нормализованный сюжет

Горизонтальная ось частот как на графике амплитуды, так и на фазовом графике может быть заменена нормализованным (безразмерным) отношением частот ${\displaystyle {\omega \over {\omega _{\mathrm {c} }}}}$. В таком случае говорят, что график нормализован, и единицы частот больше не используются, поскольку все входные частоты теперь выражены как кратные частоты среза. ${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }}$.

Пример с нулем и полюсом

Рисунки 2-5 дополнительно иллюстрируют построение графиков Боде. Этот пример с полюсом и нулем показывает, как использовать суперпозицию. Для начала компоненты представлены отдельно.

На рис. 2 показан график величин Боде для нулевого и нижнего полюса, и они сравниваются с графиками прямой линии Боде. Прямолинейные графики горизонтальны до положения полюса (нуля), а затем падают (повышаются) со скоростью 20 дБ / декаду. Второй рисунок 3 делает то же самое для фазы. Фазовые графики горизонтальны до десятикратного коэффициента частоты ниже положения полюса (нуля), а затем падают (повышаются) со скоростью 45 ° / декаду, пока частота не станет в десять раз выше, чем положение полюса (нуля). Затем графики снова становятся горизонтальными на более высоких частотах с окончательным полным изменением фазы на 90 °.

На рисунках 4 и 5 показано, как выполняется наложение (простое сложение) графика полюса и нуля. Прямые графики Боде снова сравниваются с точными графиками. Ноль перемещен на более высокую частоту, чем полюс, чтобы сделать пример более интересным. Обратите внимание на рис. 4, что падение полюса на 20 дБ / декаду задерживается повышением нуля на 20 дБ / декада, что приводит к горизонтальному графику амплитуды для частот выше нулевого положения. Обратите внимание на рис. 5 на фазовом графике, что аппроксимация прямой линии довольно приблизительна в области, где и полюс, и ноль влияют на фазу. Также обратите внимание на рис. 5, что диапазон частот, в которых фаза изменяется на прямолинейном графике, ограничен частотами в десять раз выше и ниже положения полюса (нуля). Там, где присутствуют фаза полюса и ноль, прямолинейный фазовый график является горизонтальным, потому что падение полюса на 45 ° / декада задерживается перекрывающимся подъемом нуля на 45 ° / декада в ограниченном диапазоне частот. где оба являются активными участниками фазы.

• Пример с полюсом и нулем
• 

  Рисунок 2: График амплитуды Боде для нулевого и нижнего полюса; кривые с пометкой "Боде" представляют собой прямолинейные графики Боде.

• 

  Рисунок 3: Фазовый график Боде для нулевого и нижнего полюса; кривые с пометкой "Боде" представляют собой прямолинейные графики Боде.

• 

  Рисунок 4: График магнитуды Боде для комбинации полюс-ноль; расположение нуля в десять раз выше, чем на рисунках 2 и 3; кривые с пометкой "Боде" - это прямолинейные графики Боде.

• 

  Рисунок 5: Фазовый график Боде для комбинации полюс-ноль; расположение нуля в десять раз выше, чем на рисунках 2 и 3; кривые с пометкой "Боде" представляют собой прямолинейные графики Боде.

Запас по усилению и запас по фазе

Смотрите также: Запас по фазе

Графики Боде используются для оценки устойчивости усилители отрицательной обратной связи найдя выигрыш и запас по фазе усилителя. Понятия усиления и запаса по фазе основаны на выражении усиления для усилителя с отрицательной обратной связью, заданном формулой

${\displaystyle A_{\mathrm {FB} }={\frac {A_{\mathrm {OL} }}{1+\beta A_{\mathrm {OL} }}}\;,}$

где_FB - коэффициент усиления усилителя с обратной связью ( усиление с обратной связью), β - коэффициент обратной связи и А_ПР - усиление без обратной связи ( усиление без обратной связи). Прибыль А_ПР представляет собой сложную функцию частоты, имеющую как величину, так и фазу.^{[примечание 1]} Исследование этого соотношения показывает возможность бесконечного выигрыша (интерпретируемого как нестабильность), если произведение βА_ПР = -1. (То есть величина βА_ПР равна единице, а его фаза равна -180 °, так называемая Критерий устойчивости Баркгаузена ). Графики Боде используются для определения того, насколько усилитель подходит к удовлетворению этого условия.

Ключом к этому определению являются две частоты. Первый, обозначенный здесь как ж₁₈₀, это частота, на которой коэффициент усиления разомкнутого контура меняет знак. Второй, помеченный здесь ж_{0 дБ}, - частота, при которой величина продукта | β А_ПР | = 1 (в дБ, величина 1 равна 0 дБ). То есть частота ж₁₈₀ определяется условием:

${\displaystyle \beta A_{\mathrm {OL} }\left(f_{180}\right)=-|\beta A_{\mathrm {OL} }\left(f_{180}\right)|=-|\beta A_{\mathrm {OL} }|_{180}\;,}$

где вертикальные полосы обозначают величину комплексного числа (например, ${\displaystyle |a+\mathrm {j} b|=\left[a^{2}+b^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}$), а частота ж_{0 дБ} определяется условием:

${\displaystyle |\beta A_{\mathrm {OL} }\left(f_{\mathrm {0dB} }\right)|=1\;.}$

Одним из показателей близости к нестабильности является маржа прироста. График фазы Боде определяет частоту, на которой фаза βА_ПР достигает −180 °, обозначается здесь как частота ж₁₈₀. Используя эту частоту, график величины Боде находит величину βА_ПР. Если | βА_ПР|₁₈₀ = 1, усилитель, как уже упоминалось, нестабилен. Если А_ПР|₁₈₀ <1, нестабильность не возникает, и разделение в дБ величины | βА_ПР|₁₈₀ из | βА_ПР| = 1 называется маржа прироста. Поскольку величина единицы равна 0 дБ, запас по усилению представляет собой просто одну из эквивалентных форм: ${\displaystyle 20\log _{10}(|\beta A_{\mathrm {OL} }|_{180})=20\log _{10}(|A_{\mathrm {OL} }|)-20\log _{10}(\beta ^{-1})}$.

Другой эквивалентной мерой близости к нестабильности является запас по фазе. График величины Боде определяет частоту, на которой величина | βА_ПР| достигает единицы, обозначенной здесь как частота ж_{0 дБ}. Используя эту частоту, фазовый график Боде находит фазу βА_ПР. Если фаза βА_ПР( ж_{0 дБ})> -180 °, условие нестабильности не может быть выполнено ни на одной частоте (поскольку его величина будет <1, когда f = f₁₈₀), а расстояние фазы при ж_{0 дБ} в градусах выше -180 ° называется запас по фазе.

Если простой да или нет по вопросу стабильности это все что нужно, усилитель стабилен, если ж_{0 дБ} < ж₁₈₀. Этого критерия достаточно для предсказания устойчивости только усилителей, удовлетворяющих некоторым ограничениям на их полюсное и нулевое положения (минимальная фаза системы). Хотя эти ограничения обычно соблюдаются, если их нет, необходимо использовать другой метод, например Сюжет Найквиста.^[6][7]Оптимальные запасы усиления и фазы могут быть вычислены с использованием Интерполяция Неванлинны – Пика теория.^[8]

Примеры с использованием графиков Боде

На рисунках 6 и 7 показаны характеристики усиления и терминология. Для трехполюсного усилителя на рисунке 6 сравнивается график Боде для коэффициента усиления без обратной связи ( открытый цикл усиление) А_ПР с усилением с обратной связью А_FB (в замкнутый контур усиление). Увидеть усилитель отрицательной обратной связи для более подробной информации.

В этом примере А_ПР = 100 дБ на низких частотах и ​​1 / β = 58 дБ. На низких частотах А_FB ≈ 58 дБ.

Поскольку коэффициент усиления без обратной связи А_ПР отображается, а не произведение β А_ПР, условие А_ПР = 1 / β решает ж_{0 дБ}. Усиление обратной связи на низких частотах и ​​на больших А_ПР является А_FB ≈ 1 / β (посмотрите на формулу для коэффициента усиления обратной связи в начале этого раздела для случая большого усиления А_ПР), поэтому эквивалентный способ найти ж_{0 дБ} посмотреть, где коэффициент обратной связи пересекает коэффициент усиления без обратной связи. (Частота ж_{0 дБ} понадобится позже, чтобы найти запас по фазе.)

Рядом с этим кроссовером два выигрыша на ж_{0 дБ}, критерии Баркгаузена в этом примере почти удовлетворяются, а усилитель с обратной связью демонстрирует большой пик усиления (он был бы бесконечным, если бы β А_ПР = −1). За пределами частоты единичного усиления ж_{0 дБ}, коэффициент усиления без обратной связи достаточно мал, чтобы А_FB ≈ А_ПР (изучите формулу в начале этого раздела для случая малых А_ПР).

На рисунке 7 показано соответствующее сравнение фаз: фаза усилителя обратной связи близка к нулю относительно частоты ж₁₈₀ где коэффициент усиления без обратной связи имеет фазу -180 °. В этом районе фаза усилителя с обратной связью резко падает вниз и становится почти такой же, как фаза усилителя с разомкнутым контуром. (Отзыв, А_FB ≈ А_ПР для маленьких А_ПР.)

Сравнивая отмеченные точки на рисунках 6 и 7, видно, что частота единичного усиления ж_{0 дБ} и частота переворота фазы ж₁₈₀ почти равны в этом усилителе, ж₁₈₀ ≈ ж_{0 дБ} ≈ 3,332 кГц, что означает, что запас по усилению и по фазе почти равен нулю. Усилитель на грани стабильности.

На рисунках 8 и 9 показаны запас по усилению и по фазе для разной величины обратной связи β. Коэффициент обратной связи выбран меньшим, чем на рис. 6 или 7, перемещая условие | β А_ПР | = 1 для более низкой частоты. В этом примере 1 / β = 77 дБ, а на низких частотах А_FB ≈ 77 дБ.

На рисунке 8 показан график усиления. На рисунке 8 пересечение 1 / β и А_ПР происходит в ж_{0 дБ} = 1 кГц. Обратите внимание, что пик усиления А_FB около ж_{0 дБ} почти не осталось.^{[заметка 2][9]}

Рисунок 9 - это фазовый график. Используя значение ж_{0 дБ} = 1 кГц, полученное выше из графика амплитуд на рисунке 8, фаза разомкнутого контура при ж_{0 дБ} составляет −135 °, что соответствует запасу по фазе на 45 ° выше −180 °.

Используя рисунок 9, для фазы -180 ° значение ж₁₈₀ = 3,332 кГц (тот же результат, что и ранее, конечно^{[заметка 3]}). Коэффициент усиления разомкнутого контура на Рисунке 8 при ж₁₈₀ составляет 58 дБ, а 1 / β = 77 дБ, поэтому запас по усилению составляет 19 дБ.

Стабильность - не единственный критерий отклика усилителя, и во многих приложениях требования более строгие, чем стабильность. пошаговая реакция. Как практическое правило для хорошей переходной характеристики требуется запас по фазе не менее 45 °, и часто рекомендуется запас более 70 °, особенно когда возникает проблема с отклонениями компонентов из-за производственных допусков.^[9] См. Также обсуждение запаса по фазе в пошаговая реакция статья.

• Примеры
• 

  Рисунок 6: Коэффициент усиления усилителя обратной связи А_FB в дБ и соответствующий усилитель без обратной связи А_ПР. Параметр 1 / β = 58 дБ, а на низких частотах А_FB ≈ 58 дБ. Запас усиления в этом усилителе почти равен нулю, потому что | βА_ПР| = 1 встречается почти на ж = ж_180°.

• 

  Рисунок 7: Фаза усилителя обратной связи ° А_FB в градусах и соответствующий усилитель без обратной связи ° А_ПР. Запас по фазе в этом усилителе практически равен нулю, поскольку переворот фазы происходит почти на частоте единичного усиления. ж = ж_{0 дБ} где | βА_ПР| = 1.

• 

  Рисунок 8: Коэффициент усиления усилителя обратной связи А_FB в дБ и соответствующий усилитель без обратной связи А_ПР. В этом примере 1 / β = 77 дБ. Запас усиления в этом усилителе составляет 19 дБ.

• 

  Рисунок 9: Фаза усилителя обратной связи А_FB в градусах и соответствующий усилитель без обратной связи А_ПР. Запас по фазе в этом усилителе составляет 45 °.

Плоттер Боде

Рисунок 10: Амплитудная диаграмма 10-го порядка Фильтр Чебышева построено с помощью приложения Bode Plotter. Передаточная функция Чебышева определяется полюсами и нулями, которые добавляются при нажатии на графическую сложную диаграмму.

Плоттер Боде - это электронный инструмент, напоминающий осциллограф, который создает диаграмму Боде или график коэффициента усиления по напряжению или фазового сдвига в зависимости от частота в системе управления с обратной связью или фильтре. Пример этого показан на рисунке 10. Он чрезвычайно полезен для анализа и тестирования фильтров и стабильности Обратная связь системы управления, путем измерения угловых частот (среза), а также запаса по усилению и фазе.

Это идентично функции, выполняемой вектором сетевой анализатор, но анализатор цепей обычно используется на гораздо более высоких частотах.

В образовательных / исследовательских целях построение диаграмм Боде для заданных передаточных функций способствует лучшему пониманию и получению более быстрых результатов (см. Внешние ссылки).

Связанные сюжеты

Основные статьи: Сюжет Найквиста и Заговор Николса

Два связанных графика, отображающие одни и те же данные в разных системы координат являются Сюжет Найквиста и Заговор Николса. Эти параметрические графики, с частотой на входе и амплитудой и фазой частотной характеристики на выходе. На графике Найквиста они отображаются в полярные координаты, с отображением величины в радиус и фазы в аргумент (угол). На графике Николса они отображаются в прямоугольных координатах на шкала журнала.

• 

  А Сюжет Найквиста.

• 

  А Заговор Николса того же ответа.

Приложение

Доказательство связи с частотной характеристикой

В этом разделе показано, что частотная характеристика определяется величиной и фазой передаточной функции в уравнениях (1)-(2).

Немного изменив требования к уравнениям (1)-(2) предполагается, что ввод был применен с момента ${\displaystyle t=0}$ и один вычисляет выход в пределе ${\displaystyle t\to \infty }$. В этом случае на выходе свертка

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{t}h(\tau )u(t-\tau )d\tau \;,}$

входного сигнала с обратным преобразованием Лапласа передаточной функции ${\displaystyle h(t)}$. Предполагая, что сигнал становится периодическим со средним значением 0 и периодом T через некоторое время, мы можем добавить столько периодов, сколько захотим, к интервалу интеграла

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }y(t)=\int _{0}^{t}h(\tau )u(t-\tau )d\tau \;+\int _{t}^{t+T}h(\tau )u(t-\tau )d\tau \;+...=\int _{0}^{\infty }h(\tau )u(t-\tau )d\tau \;.}$

Таким образом, вставляя синусоидальный входной сигнал, получаем

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }y(t)=\int _{0}^{\infty }h(\tau )\sin \left(\omega (t-\tau )\right)d\tau \;=\int _{0}^{\infty }h(\tau )\mathrm {Im} \left(e^{\mathrm {j} \omega (t-\tau )}\right)d\tau \;.}$

поскольку ${\displaystyle h(t)}$ это реальная функция, которую можно записать как

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }y(t)=\mathrm {Im} \left\{e^{\mathrm {j} \omega t}\left[\int _{0}^{\infty }h(\tau )e^{-\mathrm {j} \omega \tau }d\tau \ \right]\right\}\;.}$

Термин в скобках - это определение преобразования Лапласа ${\displaystyle h}$ в ${\displaystyle s=\mathrm {j} \omega }$. Вставка определения в форму ${\displaystyle H(\mathrm {j} \omega )=|H(\mathrm {j} \omega )|\exp \left(\arg H(\mathrm {j} \omega )\right)}$ получается выходной сигнал

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }y(t)=|H(\mathrm {j} \omega )|\sin \left(\omega t+\arg \left(H(\mathrm {j} \omega )\right)\right)\;}$

заявлено в уравнениях (1)-(2).

Смотрите также

• Обработка аналогового сигнала
• Запас по фазе
• Интеграл чувствительности Боде
• Величина (усиление) Боде - фазовая зависимость
• Электрохимическая импедансная спектроскопия

Заметки

1. Обычно, когда частота увеличивается, величина усиления падает, а фаза становится более отрицательной, хотя это только тенденции, и их можно изменить в определенных диапазонах частот. Необычное поведение усиления может сделать неприменимыми концепции усиления и запаса по фазе. Затем другие методы, такие как Сюжет Найквиста должны использоваться для оценки стабильности.
2. Критическое количество обратной связи, при котором пик усиления только полностью исчезает максимально плоский или Баттерворт дизайн.
3. Частота, на которой коэффициент усиления без обратной связи меняет знак ж₁₈₀ не меняется при изменении коэффициента обратной связи; это свойство коэффициента усиления без обратной связи. Величина выигрыша при ж₁₈₀ также не меняется при изменении β. Следовательно, мы могли бы использовать предыдущие значения с рисунков 6 и 7. Однако для ясности процедура описана только с рисунков 8 и 9.

использованная литература

1. Р. К. Рао Ярлагадда (2010). Аналоговые и цифровые сигналы и системы. Springer Science & Business Media. п.243. ISBN  978-1-4419-0034-0.
2. Ван Валкенбург, M. E. Университет штата Иллинойс в Урбана-Шампейн, "In memoriam: Хендрик В. Боде (1905-1982)", IEEE Сделки по автоматическому контролю, Т. AC-29, № 3., март 1984 г., стр. 193–194. Цитата: «Следует кое-что сказать о его имени. Его коллегам из Bell Laboratories и последующим поколениям инженеров это произношение - boh-dee. Семья Боде предпочла, чтобы оригинальный голландский язык использовался как boh-dah».
3. "Vertaling van postbode, NL> EN". mijnwoordenboek.nl. Получено 2013-10-07.
4. Дэвид А. Минделл Между человеком и машиной: обратная связь, управление и вычисления до кибернетики JHU Press, 2004 г. ISBN  0801880572, стр. 127-131
5. Скогестад, Сигурд; Постлуэйт, Ян (2005). Управление многовариантной обратной связью. Чичестер, Западный Суссекс, Англия: John Wiley & Sons, Ltd. ISBN  0-470-01167-X.
6. Томас Х. Ли (2004). Конструкция КМОП радиочастотных интегральных схем (Второе изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. §14.6 с. 451–453. ISBN  0-521-83539-9.
7. Уильям С. Левин (1996). Справочник по управлению: серия справочников по электротехнике (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press / IEEE Press. п. §10.1 с. 163. ISBN  0-8493-8570-9.
8. Аллен Танненбаум (Февраль 1981 г.). Инвариантность и теория систем: алгебраические и геометрические аспекты. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  9783540105657.
9. Вилли М. К. Сансен (2006). Основы аналогового дизайна. Дордрехт, Нидерланды: Springer. С. 157–163. ISBN  0-387-25746-2.

внешние ссылки

• Разъяснение сюжетов Боде с фильмами и примерами
• Как рисовать кусочно-асимптотические графики Боде
• Обобщенные правила рисования (PDF )
• Апплет графика Боде - Принимает коэффициенты передаточной функции в качестве входных данных и вычисляет амплитуду и фазовый отклик
• Анализ схем в электрохимии
• Тим Грин: Стабильность операционного усилителя Включает введение в сюжет Боде
• Код Gnuplot для создания графика Боде: Шаблон для печати DIN-A4 (pdf)
• Функция MATLAB для создания графика Боде системы
• Видео MATLAB Tech Talk, объясняющие графики Боде и показывающие, как их использовать для проектирования элементов управления
• Вставьте полюсы и нули, и этот веб-сайт построит асимптотические и точные графики Боде.
• Функция Mathematica для создания графика Боде