Алгебра Бунса – Дедденса - Bunce–Deddens algebra

В математика, а Алгебра Бунса – Дедденса, названный в честь Джон В. Банс и Джеймс А. Дедденс, это определенный тип АТ алгебра, а прямой предел матричных алгебр над непрерывными функциями на окружности, в которых связующие отображения задаются вложениями между семействами операторы сдвига с периодическими весами.

Каждой индуктивной системе, определяющей алгебру Бунса – Дедденса, соответствует сверхъестественное число, который является полным инвариантом для этих алгебр. На языке K-теория, сверхъестественное число соответствует K₀ группа алгебры. Кроме того, алгебры Бунса – Дедденса могут быть выражены как C * -скрещенный продукт из Кантор набор с определенным естественным минимальным действием, известным как одометр действие. Они также признают уникальный состояние следа. Вместе с тем, что они AT, это означает, что у них есть реальный нулевой ранг.

В более широком контексте программы классификации для просто отделяемый ядерные C * -алгебры, AT-алгебры вещественного ранга ноль полностью классифицируются по K-теория, то Шоке симплекс из следовые государства, и естественное соединение между K₀ и следы. Таким образом, классификация алгебр Бунса – Дедденса является предтечей общего результата.

Также известно, что, вообще говоря, скрещенные произведения, возникающие из минимального гомеоморфизма на канторовом множестве, являются простыми AT-алгебрами вещественного ранга нуль.

Определение и основные свойства

Определение

Позволять C( Т ) обозначают непрерывные функции на окружности, а M_р(C(Т)) - C * -алгебра р × р матрицы с записями в C(Т). Для сверхъестественного числа {п_k} соответствующие Алгебра Бунса – Дедденса B({п_k}) - прямой предел:

${\displaystyle B(\{n_{k}\})=\varinjlim \cdots \rightarrow M_{n_{k}}(C(\mathbb {T} ))\;{\stackrel {\beta _{k}}{\rightarrow }}\;M_{n_{k+1}}(C(\mathbb {T} ))\rightarrow \cdots .}$

Нужно определить вложения

${\displaystyle \beta _{k}:M_{n_{k}}(C(\mathbb {T} ))\;\rightarrow \;M_{n_{k+1}}(C(\mathbb {T} )).}$

Эти отображения вложения возникают в результате естественных вложений между C * -алгебрами, порожденными сдвигами с периодическими весами. Для целых чисел п и м, определим вложение β : M_п(C(Т)) → M_нм(C(Т)) следующее. О сепарабельном гильбертовом пространстве ЧАСрассмотрим C * -алгебру W(п), генерируемые взвешенными сдвигами фиксированного периода п относительно фиксированной основы. W(п) встраивается в W(нм) очевидным образом; любой п-периодический взвешенный сдвиг также является нм-периодический взвешенный сдвиг. W(п) изоморфна M_п(C*(Т_z)), куда C*(Т_z) обозначает Алгебра Теплица. Следовательно, W содержит компактные операторы как идеал, и по модулю этого идеала M_п(C(Т)). Потому что карта из W(п) в W(нм) сохраняет компактные операторы, спускается в вложение β : M_п(C(Т)) → M_нм(C(Т)). Именно это вложение используется в определении алгебр Бунса – Дедденса.

Связующие карты

В β_k's можно вычислить более явно, и теперь мы набросаем это вычисление. Это будет полезно для получения альтернативного характеризационного описания алгебр Бунса – Дедденса, а также для классификации этих алгебр.

C * -алгебра W(п) фактически является однократно порожденным. Конкретный генератор W(п) - взвешенный сдвиг Т периода п с периодическими весами ½,…, ½, 1, ½,…, ½, 1,…. В соответствующей основе ЧАС, Т представлен п × п матрица операторов

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}0&\;&\cdots &T_{z}\\{\frac {1}{2}}I&\ddots &\ddots &\;\\\;&\ddots &\ddots &\vdots \\\;&\;&{\frac {1}{2}}I&0\end{bmatrix}},}$

куда Т_z это односторонний сдвиг. Прямой расчет с использованием функциональное исчисление показывает, что C * -алгебра, порожденная Т является M_п(C*(Т_z)), куда C*(Т_z) обозначает Алгебра Теплица, C * -алгебра, порожденная односторонним сдвигом. Поскольку ясно, что M_п(C*(Т_z)) содержит W(п), это показывает W(п) = M_п(C*(Т_z)).

От Теплица короткая точная последовательность,

${\displaystyle 0\rightarrow {\mathcal {K}}\;{\rightarrow }\;C^{*}(T_{z})\;{\rightarrow }\;C(\mathbb {T} )\rightarrow 0,}$

надо,

${\displaystyle 0\rightarrow M_{n}({\mathcal {K}})\;{\stackrel {i}{\hookrightarrow }}\;M_{n}(C^{*}(T_{z}))\;{\stackrel {j}{\rightarrow }}\;M_{n}(C(\mathbb {T} ))\rightarrow 0,}$

куда я - поэлементное отображение вложения и j поэлементное фактор-отображение на алгебре Теплица. Итак, C * -алгебра M _пk(C (Т)) однократно порождается

${\displaystyle {\tilde {T}}={\begin{bmatrix}0&\;&\cdots &z\\{\frac {1}{2}}&\ddots &\ddots &\;\\\;&\ddots &\ddots &\vdots \\\;&\;&{\frac {1}{2}}&0\end{bmatrix}},}$

где скалярные элементы обозначают постоянные функции на окружности и z - функция тождества.

Для целых чисел п_k и п_{k + 1}, куда п_k разделяет п_{k + 1}, естественное вложение W(п_k) в W(п_{k + 1}) спускается в (унитальное) вложение из M_пk(C(Т)) в M _{пk + 1}(C(Т)). Это соединительная карта β_k из определения алгебры Бунса – Дедденса, которое нам необходимо проанализировать.

Для простоты предположим п_k = п и п_{k + 1} = 2п_k. Изображение вышеуказанного оператора Т ∈ W(п) при естественном вложении следующие 2п × 2п матрица операторов в W(2п):

${\displaystyle T\mapsto {\begin{bmatrix}0&\;&&&&\;&&T_{z}\\{\frac {1}{2}}I&\ddots &&&&&&0\\\;&\ddots &\ddots &&&&&\vdots \\\;&\;&{\frac {1}{2}}I&0&&\;&&\\&\;&&I&0&&&\\&&&\;&{\frac {1}{2}}I&\ddots &&\;\\\;&&&&\;&\ddots &\ddots &\vdots \\\;&\;&&&\;&\;&{\frac {1}{2}}I&0\end{bmatrix}}.}$

Следовательно, действие β_k на генераторе

${\displaystyle \beta _{k}({\tilde {T}})={\begin{bmatrix}0&\;&&&&\;&&z\\{\frac {1}{2}}&\ddots &&&&&&0\\\;&\ddots &\ddots &&&&&\vdots \\\;&\;&{\frac {1}{2}}&0&&\;&&\\&\;&&1&0&&&\\&&&\;&{\frac {1}{2}}&\ddots &&\;\\\;&&&&\;&\ddots &\ddots &\vdots \\\;&\;&&&\;&\;&{\frac {1}{2}}&0\end{bmatrix}}.}$

Вычисление с матричными единицами дает, что

${\displaystyle \beta _{k}(E_{ij})=E_{ij}\otimes I_{2}}$

и

${\displaystyle \beta _{k}(zE_{11})=E_{11}\otimes \mathrm {Z} _{2},}$

куда

${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}={\begin{bmatrix}0&z\\1&0\end{bmatrix}}\in M_{2}(C(\mathbb {T} )).}$

Так

${\displaystyle \beta _{k}(f_{ij}(z))=f_{ij}(\mathrm {Z} _{2}).\;}$

В данном конкретном случае β_k называется двойное вложение. Причина использования терминологии следующая: как z меняется на окружности, собственные значения Z₂ очерчивает две непересекающиеся дуги, соединяющие 1 и -1. Явное вычисление собственных векторов показывает, что круг унитаров, реализующий диагонализацию Z₂ фактически соединяют начало и конец каждой дуги. Таким образом, в этом смысле круг дважды оборачивается Z₂. В общем, когда п_{k + 1} = м·п_k, есть аналогичный мвремя до встраивания.

K-теория и классификация

Алгебры Бунса – Дедденса классифицируются по их K₀ группы. Поскольку все конечномерные векторные пакеты по окружности гомотопически тривиальны, K₀ из M_р(C(Т)), как упорядоченная абелева группа, это целые числа Z с канонической упорядоченной единицей р. Согласно приведенному выше расчету соединительных карт, учитывая сверхъестественное число {п_k}, K₀ соответствующей алгебры Бунса – Дедденса является в точности соответствующей плотной подгруппой рациональных чисел Q.

Как следует из определения, две алгебры Бунса – Дедденса с одним и тем же сверхъестественным числом в том смысле, что два сверхъестественных числа формально делят друг друга, изоморфны, K₀ является полным инвариантом этих алгебр.

Также из предыдущего раздела следует, что K₁ группа любой алгебры Бунса – Дедденса является Z.

Как скрещенный продукт

C * -крещенное произведение

Дальнейшая информация: Скрещенный продукт

А C * -динамическая система это тройка (А, грамм, σ), куда А является C * -алгеброй, грамм группа, и σ действие грамм на А через C * -автоморфизмы. А ковариантное представление из (А, грамм, σ) является представлением π из А, а унитарное представительство т ${\displaystyle \mapsto }$ U_т из грамм, на том же гильбертовом пространстве, что

${\displaystyle U_{t}\pi (a)U_{t}^{*}=\pi (\sigma (t)(a)),}$

для всех а, т.

Предположим сейчас А является единым и грамм дискретно. (C * -)скрещенный продукт данный (А, грамм, σ), обозначаемый

${\displaystyle A\rtimes _{\sigma }G,}$

определяется как C * -алгебра со следующим универсальная собственность: для любого ковариантного представления (π, U), C * -алгебра, порожденная ее образом, является фактором

${\displaystyle A\rtimes _{\sigma }G.}$

Действие одометра на наборе Кантора

Алгебры Бунса – Дедденса фактически являются скрещенными произведениями Канторовские наборы с естественным действием целых чисел Z. Рассмотрим, например, алгебру Бунса – Дедденса типа 2^∞. Напишите набор Кантора Икс как последовательности нулей и единиц,

${\displaystyle X=\prod \{0,1\},}$

с топологией продукта. Определить гомеоморфизм

${\displaystyle \alpha :X\rightarrow X}$

к

${\displaystyle \alpha (x)=x+(\cdots ,0,0,1)}$

где + обозначает сложение с переносом. Это называется одометр действие. Гомеоморфизм α побуждает к действию C(Икс) путем предварительной композиции с α. Алгебра Бунса – Дедденса типа 2^∞ изоморфно полученному скрещенному произведению.

Рекомендации

• Дэвидсон, К. (1996), C * -алгебры на примере, Американское математическое общество, ISBN  978-0821805992