Проблема Буземана – Петти - Busemann–Petty problem

В математической области выпуклая геометрия, то Проблема Буземана – Петти, представлен Герберт Буземанн и Клинтон Майерс Петти (1956, проблема 1), спрашивает, верно ли, что симметричный выпуклое тело с большими центральными сечениями гиперплоскости имеет больший объем. Точнее, если K, Т симметричные выпуклые тела в р^п такой, что

{ Displaystyle mathrm {Vol} _ {n-1} , (K cap A) leq mathrm {Vol} _ {n-1} , (T cap A)}

для каждой гиперплоскости А проходя через начало координат, верно ли, что Vol_п K ≤ объем_п Т?

Буземан и Петти показали, что ответ положительный, если K это мяч. В целом, ответ будет положительным для размеров не более 4 и отрицательным для размеров не менее 5.

История

Ларман и Клод Эмброуз Роджерс (1975 ) показал, что проблема Буземана – Петти имеет отрицательное решение для размерностей не менее 12, и эта оценка была уменьшена до размерностей не менее 5 несколькими другими авторами. Бал (1988) указал на особенно простой контрпример: все секции куба единичного объема имеют не более √2, а при размерах не менее 10 все центральные части шара единичного объема имеют размер не менее √2. Лютвак (1988) представил тела пересечения, и показал, что проблема Буземана – Петти имеет положительное решение в данной размерности тогда и только тогда, когда каждое симметричное выпуклое тело является телом пересечения. Тело пересечения - это звездное тело, радиальная функция которого в заданном направлении ты объем сечения гиперплоскости ты^⊥ ∩ K для некоторого неподвижного звездного тела K. Гарднер (1994) использовал результат Лютвака, чтобы показать, что проблема Буземана – Петти имеет положительное решение, если размерность равна 3. Чжан (1994) неверно утверждал, что единичный куб в р⁴ не является телом пересечения, из чего следовало бы, что задача Буземана – Петти имеет отрицательное решение, если размерность не меньше 4. Однако Колдобский (1998а) показал, что центрально-симметричное звездообразное тело является телом пересечения тогда и только тогда, когда функция 1 / ||Икс|| положительно определенное распределение, где || x || - однородная функция степени 1, равная 1 на границе тела, а Колдобский (1998б) использовал это, чтобы показать, что единичные шары l^п
_п, 1 < п ≤ ∞ в п-мерное пространство с л^п норма тела пересечения для п = 4, но не являются телами пересечения для п ≥ 5, показывая, что результат Чжана был неверным. Чжан (1999) затем показал, что проблема Буземана – Петти имеет положительное решение в размерности 4. Ричард Дж. Гарднер, А. Колдобский и Т. Шлумпрехт (1999 ) дало единообразное решение для всех измерений.

Смотрите также

Проблема Шепарда

Проблема Буземана – Петти - Busemann–Petty problem

История

Смотрите также

Рекомендации