Метод КЛ (физика элементарных частиц) - CLs method (particle physics)

В физика элементарных частиц, CL^[1] представляет статистический метод установки верхние пределы (также называемый пределы исключения^[2]) на модели параметры, особая форма интервальная оценка используется для параметров, которые могут принимать только неотрицательные значения. Хотя говорят, что CL относятся к Уровни уверенности, "Название метода ... вводит в заблуждение, так как область исключения CL не является доверительный интервал."^[3] Впервые он был введен физиками, работающими на LEP эксперимент в ЦЕРН и с тех пор использовался многими физика высоких энергий эксперименты. Это частотник в том смысле, что свойства предела определяются с помощью вероятности ошибки, однако он отличается от стандартных доверительных интервалов тем, что заявленный доверительный уровень интервала не равен его вероятность покрытия. Причина этого отклонения заключается в том, что стандартные верхние пределы, основанные на самый мощный тест обязательно создавать пустые интервалы с некоторой фиксированной вероятностью, когда значение параметра равно нулю, и это свойство считается нежелательным большинством физиков и статистиков.^[4]

Верхние пределы, полученные с помощью метода CLs, всегда содержат нулевое значение параметра, и, следовательно, вероятность охвата в этой точке всегда составляет 100%. Определение CL не следует из какой-либо точной теоретической основы статистические выводы и поэтому иногда описывается как для этого случая. Однако он очень похож на концепции статистические данные^[5]предложенный статистиком Аллан Бирнбаум.

Определение

Позволять Икс быть случайный пример из распределение вероятностей с реальным неотрицательным параметр ${\displaystyle \theta \in [0,\infty )}$. А CL верхний предел параметра θ, с уровнем уверенности ${\displaystyle 1-\alpha '}$, является статистикой (т. е. наблюдаемым случайная переменная ) ${\displaystyle \theta _{up}(X)}$ который имеет свойство:

${\displaystyle {\frac {\mathbb {P} (\theta _{up}(X)<\theta |\theta )}{\mathbb {P} (\theta _{up}(X)<\theta |0)}}\leq \alpha '{\text{ for all }}\theta .}$

(1)

Неравенство используется в определении для учета случаев, когда распределение Икс дискретно, и равенство не может быть достигнуто точно. Если распределение Икс является непрерывный тогда это следует заменить на равенство. Обратите внимание, что из определения следует, что вероятность покрытия ${\displaystyle \mathbb {P} (\theta _{up}(X)\geq \theta |\theta )}$ всегда больше чем ${\displaystyle 1-\alpha '}$.

Эквивалентное определение можно сделать, рассматривая проверка гипотез нулевой гипотезы ${\displaystyle H_{0}:\theta =\theta _{0}}$ против альтернативы ${\displaystyle H_{1}:\theta =0}$. Тогда числитель в (1) при оценке на ${\displaystyle \theta _{0}}$, соответствуют вероятность ошибки типа I (${\displaystyle \alpha }$) теста (т. е. ${\displaystyle \theta _{0}}$ отклоняется, когда ${\displaystyle \theta _{up}(X)<\theta _{0}}$) и знаменатель к мощность (${\displaystyle 1-\beta }$). Критерий отклонения ${\displaystyle H_{0}}$ таким образом, требует, чтобы отношение ${\displaystyle \alpha /(1-\beta )}$ будет меньше чем ${\displaystyle \alpha '}$. Интуитивно это можно интерпретировать как утверждение, что ${\displaystyle \theta _{0}}$ исключен, потому что это ${\displaystyle \alpha '}$ реже наблюдать такой экстремальный исход, как Икс когда ${\displaystyle \theta _{0}}$ это правда, чем когда альтернатива ${\displaystyle \theta =0}$ правда.

Расчет верхнего предела обычно выполняется путем построения статистика теста ${\displaystyle q_{\theta }(X)}$ и определение стоимости ${\displaystyle \theta }$ для которого

${\displaystyle {\frac {\mathbb {P} (q_{\theta }(X)\geq q_{\theta }^{*}|\theta )}{\mathbb {P} (q_{\theta }(X)\geq q_{\theta }^{*}|0)}}=\alpha '.}$

куда ${\displaystyle q_{\theta }^{*}}$ - наблюдаемый результат эксперимента.

Использование в физике высоких энергий

Верхние пределы, основанные на методе CLs, использовались в многочисленных публикациях экспериментальных результатов, полученных в экспериментах на ускорителях частиц, таких как LEP, то Теватрон и LHC, наиболее заметный в поисках новых частиц.

Источник

Первоначальная мотивация для CL была основана на вычислении условной вероятности, предложенном физиком Г. Захом.^[6] для эксперимента по подсчету событий. Предположим, эксперимент состоит из измерения ${\displaystyle n}$ события, исходящие от сигнальных и фоновых процессов, оба описываются Распределения Пуассона с соответствующими ставками ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle b}$, а именно ${\displaystyle n\sim {\text{Poiss}}(s+b)}$. ${\displaystyle b}$ считается известным и ${\displaystyle s}$ - параметр, подлежащий оценке экспериментально. Стандартная процедура установки верхнего предела ${\displaystyle s}$ учитывая экспериментальный результат ${\displaystyle n^{*}}$ состоит из исключения значений ${\displaystyle s}$ для которого ${\displaystyle \mathbb {P} (n\leq n^{*}|s+b)\leq \alpha }$, что гарантирует не менее ${\displaystyle 1-\alpha }$ покрытие. Рассмотрим, например, случай, когда ${\displaystyle b=3}$ и ${\displaystyle n^{*}=0}$ наблюдаются события, то обнаруживается, что ${\displaystyle s+b\geq 3}$ исключается при уровне достоверности 95%. Но это означает, что ${\displaystyle s\geq 0}$ исключается, а именно все возможные значения ${\displaystyle s}$. Такой результат трудно интерпретировать, потому что эксперимент не может существенно различить очень малые значения ${\displaystyle s}$ от гипотезы только фона, и, таким образом, заявление об исключении таких малых значений (в пользу гипотезы только фона) кажется неуместным. Чтобы преодолеть эту трудность, Зех предложил обусловить вероятность того, что ${\displaystyle n\leq n^{*}}$ по наблюдению, что ${\displaystyle n_{b}\leq n^{*}}$, куда ${\displaystyle n_{b}}$ - (неизмеримое) количество фоновых событий. Причина в том, что когда ${\displaystyle n_{b}}$ мала, процедура с большей вероятностью приведет к ошибке (т. е. интервал, не покрывающий истинное значение), чем когда ${\displaystyle n_{b}}$ велико, а распределение ${\displaystyle n_{b}}$ сам по себе не зависит от ${\displaystyle s}$. То есть следует сообщать не общую вероятность ошибки, а условную вероятность с учетом имеющихся сведений о количестве фоновых событий в выборке. Эта условная вероятность равна

${\displaystyle \mathbb {P} (n\leq n^{*}|n_{b}\leq n^{*},s+b)={\frac {\mathbb {P} (n\leq n^{*},n_{b}\leq n^{*}|s+b)}{\mathbb {P} (n_{b}\leq n^{*}|s+b)}}={\frac {\mathbb {P} (n\leq n^{*}|s+b)}{\mathbb {P} (n\leq n^{*}|b)}}.}$

которые соответствуют приведенному выше определению CL. Первое равенство просто использует определение Условная возможность, а второе равенство вытекает из того, что если ${\displaystyle n\leq n^{*}\Rightarrow n_{b}\leq n^{*}}$ а количество фоновых событий по определению не зависит от мощности сигнала.

Обобщение условного аргумента

Условное рассуждение Зеха можно формально распространить на общий случай. Предположим, что ${\displaystyle q(X)}$ это статистика теста из которого выводится доверительный интервал, и пусть

${\displaystyle p_{\theta }=\mathbb {P} (q(X)>q^{*}|\theta )}$

куда ${\displaystyle q*}$ это результат, наблюдаемый в эксперименте. потом ${\displaystyle p_{\theta }}$ можно рассматривать как неизмеримое (поскольку ${\displaystyle \theta }$ неизвестна) случайная величина, распределение которой равномерно от 0 до 1 независимо от ${\displaystyle \theta }$. Если тест объективен, то результат ${\displaystyle q*}$ подразумевает

${\displaystyle p_{\theta }\leq \mathbb {P} (q(X)>q^{*}|0)\equiv p_{0}^{*}}$

из которого, как и при кондиционировании ${\displaystyle n_{b}}$ в предыдущем случае получаем

${\displaystyle \mathbb {P} (q(X)\geq q^{*}|p_{\theta }\leq p_{0}^{*},\theta )={\frac {\mathbb {P} (q(X)\geq q^{*}|\theta )}{\mathbb {P} (p_{\theta }\leq p_{0}^{*}|\theta )}}={\frac {\mathbb {P} (q(X)\geq q^{*}|\theta )}{p_{0}^{*}}}={\frac {\mathbb {P} (q(X)\geq q^{*}|\theta )}{\mathbb {P} (q(X)>q^{*}|0)}}.}$

Отношение к основополагающим принципам

Приведенные выше аргументы можно рассматривать как следование духу принцип обусловленности статистического вывода, хотя они выражают более обобщенное понятие обусловленности, которое не требует наличия вспомогательная статистика. В принцип обусловленности однако уже в своей первоначальной более ограниченной версии формально подразумевает принцип правдоподобия, результат, известный Бирнбаум.^[7] CL не подчиняется принцип правдоподобия, и, следовательно, такие соображения могут использоваться только для предположения правдоподобия, но не для теоретической полноты с фундаментальной точки зрения. (Однако то же самое можно сказать о любом частотном методе, если принцип обусловленности считается необходимым).

Сам Бирнбаум в своей статье 1962 года предположил, что отношение CL ${\displaystyle \alpha /(1-\beta )}$ следует использовать как меру силы статистические данные обеспечивается тестами значимости, а не ${\displaystyle \alpha }$ один. Это следовало из простого применения принцип правдоподобия: если результат эксперимента должен быть сообщен только в форме решения "принять" / "отклонить", то общая процедура эквивалентна эксперименту, который имеет только два возможных результата с вероятностями ${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle (1-\beta )}$ и ${\displaystyle 1-\alpha }$,${\displaystyle (\beta )}$ под ${\displaystyle H_{1},(H_{2})}$. В отношение правдоподобия связанный с исходом "отклонить ${\displaystyle H_{1}}$" следовательно является ${\displaystyle \alpha /(1-\beta )}$ и, следовательно, должен определять доказательную интерпретацию этого результата. (Так как для проверки двух простых гипотез отношение правдоподобия является компактным представлением функция правдоподобия ). С другой стороны, если необходимо последовательно следовать принципу правдоподобия, то следует использовать отношение правдоподобия исходного результата, а не ${\displaystyle \alpha /(1-\beta )}$, что делает сомнительную основу такой интерпретации. Бирнбаум позже описал это как имеющее «самое большее эвристическое, но не существенное значение для доказательной интерпретации».

Более прямой подход, ведущий к аналогичному выводу, можно найти в формулировке Бирнбаума теории Принцип уверенности, который, в отличие от более распространенной версии, относится к вероятностям ошибок обоих видов. Об этом говорится следующее:^[8]

"Концепция статистических данных не является правдоподобной, если она не находит" убедительных доказательств в пользу ${\displaystyle H_{2}}$ в отличие от ${\displaystyle H_{1}}$'с малой вероятностью (${\displaystyle \alpha }$) когда ${\displaystyle H_{1}}$ верно, и с гораздо большей вероятностью (1 -${\displaystyle \beta }$) когда ${\displaystyle H_{2}}$ правда. "

Такое определение уверенности, естественно, может удовлетворяться определением CL. По-прежнему верно, что как это, так и более распространенные (связанные с Нейман -Пирсон Теория) версии принципа доверия несовместимы с принципом правдоподобия, и поэтому ни один частотный метод нельзя рассматривать как действительно полное решение проблем, возникающих при рассмотрении условных свойств доверительных интервалов.

Расчет в пределе большой выборки

Если выполнены определенные условия регулярности, то общая функция правдоподобия станет Функция Гаусса в пределе большой выборки. В таком случае верхний предел CL на уровне достоверности ${\displaystyle 1-\alpha '}$ (получено из равномерно самый мощный тест ) дан кем-то^[9]

${\displaystyle \theta _{up}={\hat {\theta }}+\sigma \Phi ^{-1}(1-\alpha '\Phi ({\hat {\theta }}/\sigma )),}$

куда ${\displaystyle \Phi }$ это стандартное нормальное кумулятивное распределение, ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ это максимальная вероятность оценщик ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \sigma }$ это его стандартное отклонение; последнее может быть оценено как обратное Информация Fisher матрица или с помощью «Азимов»^[9] набор данных. Этот результат эквивалентен Байесовский достоверный интервал если униформа прежний за ${\displaystyle \theta }$ используется.

Рекомендации

1. Читайте, А. Л. (2002). «Представление результатов поиска: техника CL (s)». Журнал физики G: Ядерная физика и физика элементарных частиц. 28 (10): 2693–2704. Bibcode:2002JPhG ... 28.2693R. Дои:10.1088/0954-3899/28/10/313.
2. Физика элементарных частиц к 300-летию Михаила Ломоносова, п. 13, в Google Книги
3. Амнон Харель. «Статистические методы поиска в CMS» (PDF). indico.cern.ch. Получено 2015-04-10.
4. Марк Манделькерн (2002). «Установка доверительных интервалов для ограниченных параметров». Статистическая наука. 17 (2): 149–159. Дои:10.1214 / сс / 1030550859. JSTOR  3182816.
5. Рональд Н. Гьер (1977). «Концепция статистических данных Аллана Бирнбаума». Синтез. 36 (1): 5–13. Дои:10.1007 / bf00485688. S2CID  46973213.
6. Г. Зеч (1989). «Верхние пределы в экспериментах с фоном или ошибками измерения» (PDF). Nucl. Instrum. Методы Phys. Res. А. 277 (2–3): 608–610. Bibcode:1989NIMPA.277..608Z. Дои:10.1016 / 0168-9002 (89) 90795-Х.
7. Бирнбаум, Аллан (1962). «Об основах статистического вывода». Журнал Американской статистической ассоциации. 57 (298): 269–326. Дои:10.2307/2281640. JSTOR  2281640. МИСТЕР  0138176. (С обсуждением.)
8. Бирнбаум, Аллан (1977). "Теория Неймана-Пирсона как теория принятия решений и как теория вывода; с критикой аргумента Линдли-Сэвиджа в пользу байесовской теории". Синтез. 36 (1): 19–49. Дои:10.1007 / bf00485690. S2CID  35027844.
9. Г. Коуэн; К. Кранмер; Э. Гросс; О. Вителлс (2011). «Асимптотические формулы для вероятностных тестов новой физики». Евро. Phys. J. C. 71 (2): 1554. arXiv:1007.1727. Bibcode:2011EPJC ... 71.1554C. Дои:10.1140 / epjc / s10052-011-1554-0.

дальнейшее чтение

• Леон Джей Глезер (2002). «[Установка доверительных интервалов для ограниченных параметров]: комментарий». Статистическая наука. 17 (2): 161–163. Дои:10.1214 / сс / 1030550859. JSTOR  3182818.
• Fraser, D. A. S .; Reid N .; Вонг, А. С. М. (2004). «Вывод для ограниченных параметров». Phys. Ред. D. 69 (3): 033002. arXiv:физика / 0303111. Дои:10.1103 / PhysRevD.69.033002. S2CID  18947032.
• Роберт Д. Казинс (2011). «Отрицательно смещенные релевантные подмножества, вызванные наиболее мощными односторонними верхними пределами достоверности для ограниченного физического параметра». arXiv:1109.2023 [Physics.data-an ].

внешняя ссылка

• Обзор статистических методов, проведенный группой Particle Data Group (PDG)