Центральный биномиальный коэффициент - Central binomial coefficient

Треугольник Паскаля, строки с 0 по 7. Числа в центральном столбце - это центральные биномиальные коэффициенты.

В математика в пth центральный биномиальный коэффициент особенный биномиальный коэффициент

${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}{\text{ for all }}n\geq 0.}$

Их называют центральными, так как они появляются ровно посередине четных строк в Треугольник Паскаля. Первые несколько центральных биномиальных коэффициентов, начиная с п = 0:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, ...; (последовательность A000984 в OEIS )

Характеристики

Центральные биномиальные коэффициенты удовлетворяют рекуррентности

${\displaystyle {\binom {2(n+1)}{n+1}}={\frac {4n+2}{n+1}}\cdot {\binom {2n}{n}}.}$

С ${\displaystyle \textstyle {\binom {-1/2}{n+1}}={\frac {-1/2-n}{n+1}}\cdot {\binom {-1/2}{n}}}$ мы нашли

${\displaystyle {\binom {2n}{n}}=(-1)^{n}4^{n}{\binom {-1/2}{n}}}$

Вместе с биномиальный ряд получаем производящая функция

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots }$

и экспоненциальная производящая функция

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{2x}I_{0}(2x),}$

куда я₀ это модифицированная функция Бесселя первого рода.^[1]

В Уоллис продукт можно записать в асимптотике для центрального биномиального коэффициента:

${\displaystyle {2n \choose n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}.}$

Последнее также легко установить с помощью Формула Стирлинга. С другой стороны, его также можно использовать как средство для определения постоянной ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$ перед формулой Стирлинга, для сравнения.

Простые оценки, которые сразу следуют из ${\displaystyle 4^{n}=(1+1)^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{\binom {2n}{k}}}$ находятся

${\displaystyle {\frac {4^{n}}{2n+1}}\leq {2n \choose n}\leq 4^{n}{\text{ for all }}n\geq 1}$

Некоторые лучшие границы^[2]

${\displaystyle {\frac {4^{n}}{\sqrt {4n}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{\sqrt {3n+1}}}{\text{ for all }}n\geq 1}$

и, если требуется больше точности,

${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right){\text{ where }}{\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}}}$ для всех ${\displaystyle n\geq 1.}$^{[нужна цитата ]}

Единственный центральный биномиальный коэффициент, который является нечетным, равен 1. Точнее говоря, количество множителей 2 в ${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$ равно количеству единиц в двоичный представление п.^[3]

Посредством Гипотеза эрдёша о бесквадратности, доказано в 1996 г., нет центрального биномиального коэффициента с п > 4 это свободный от квадратов.

Центральный биномиальный коэффициент ${\displaystyle {2n \choose n}}$ равна сумме квадратов элементов в строке п треугольника Паскаля.^[1]

Связанные последовательности

Тесно связанные Каталонские числа C_п даны:

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}{\text{ for all }}n\geq 0.}$

Небольшое обобщение центральных биномиальных коэффициентов состоит в том, чтобы принять их как${\displaystyle {\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\mathrm {B} (n+1,n)}}}$, с соответствующими действительными числами п, куда ${\displaystyle \Gamma (x)}$ это гамма-функция и ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}$ это бета-функция.

В силы двух которые делят центральные биномиальные коэффициенты, даются Последовательность Гулда, чей пth элемент - это количество нечетных целых чисел в строке п треугольника Паскаля.

Рекомендации

1. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A000984 (центральные биномиальные коэффициенты)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
2. Казаринов, Н. Геометрические неравенства, Нью-Йорк: Random House, 1961.
3. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A000120». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.

• Коши, Томас (2008), Каталонские номера с приложениями, Издательство Оксфордского университета, ISBN  978-0-19533-454-8.

внешняя ссылка

• Центральный биномиальный коэффициент в PlanetMath.
• Биномиальный коэффициент в PlanetMath.
• Треугольник Паскаля в PlanetMath.
• Каталонские числа в PlanetMath.

В этой статье использованы материалы из Центральный биномиальный коэффициент на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.