Уравнение Чепмена – Колмогорова. - Chapman–Kolmogorov equation

В математика, в частности в теории марковских случайные процессы в теория вероятности, то Уравнение Чепмена – Колмогорова. это личность, относящаяся к совместные распределения вероятностей различных наборов координат случайного процесса. Уравнение было независимо получено британскими математиками. Сидней Чепмен и русский математик Андрей Колмогоров.

Математическое описание

Предположим, что { ж_я } - это индексированный набор случайных величин, то есть случайный процесс. Позволять

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})}$

- совместная функция плотности вероятности значений случайных величин ж₁ к ж_п. Тогда уравнение Чепмена – Колмогорова имеет вид

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n-1}}(f_{1},\ldots ,f_{n-1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})\,df_{n}}$

то есть простой маргинализация над мешающая переменная.

(Обратите внимание, что еще ничего не предполагалось о временном (или любом другом) порядке случайных величин - приведенное выше уравнение в равной степени применимо к маргинализации любой из них.)

Приложение к цепям Маркова с замедленным временем

Когда рассматриваемый случайный процесс Марковский, уравнение Чепмена – Колмогорова эквивалентно тождеству по плотностям переходов. В установке цепи Маркова предполагается, что я₁ < ... < я_п. Затем из-за Марковская собственность,

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})=p_{i_{1}}(f_{1})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\cdots p_{i_{n};i_{n-1}}(f_{n}\mid f_{n-1}),}$

где условная вероятность ${\displaystyle p_{i;j}(f_{i}\mid f_{j})}$ это вероятность перехода между временами ${\displaystyle i>j}$. Итак, уравнение Чепмена – Колмогорова принимает вид

${\displaystyle p_{i_{3};i_{1}}(f_{3}\mid f_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{3};i_{2}}(f_{3}\mid f_{2})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\,df_{2}.}$

Неформально это говорит о том, что вероятность перехода из состояния 1 в состояние 3 может быть найдена из вероятностей перехода из состояния 1 в промежуточное состояние 2, а затем из состояния 2 в 3, суммируя все возможные промежуточные состояния 2.

Когда распределение вероятностей в пространстве состояний цепи Маркова дискретно, а цепь Маркова однородна, уравнения Чепмена – Колмогорова могут быть выражены через (возможно, бесконечномерные) матричное умножение, таким образом:

${\displaystyle P(t+s)=P(t)P(s)\,}$

куда п(т) - матрица перехода скачка т, т.е. п(т) - матрица такая, что элемент (я, j) содержит вероятность выхода цепи из состояния я заявить j в т шаги.

Как следствие, для вычисления переходной матрицы скачка т, достаточно возвести матрицу перехода первого скачка в степень т, то есть

${\displaystyle P(t)=P^{t}.\,}$

Дифференциальная форма уравнения Чепмена – Колмогорова известна как главное уравнение.

Смотрите также

• Уравнение Фоккера – Планка (также известное как прямое уравнение Колмогорова)
• Колмогорова обратное уравнение
• Примеры цепей Маркова

Рекомендации

• Вайсштейн, Эрик В. "Уравнение Чепмена – Колмогорова". MathWorld.

дальнейшее чтение

• Росс, Шелдон М. (2014). «Глава 4.2: Уравнения Чепмена – Колмогорова». Введение в вероятностные модели (11-е изд.). п. 187. ISBN  978-0-12-407948-9.