Чирп спектр - Chirp spectrum - Wikipedia

Спектр щебетать Pulse описывает свои характеристики с точки зрения его частотных составляющих. Это представление в частотной области является альтернативой более знакомой форме сигнала во временной области, и две версии математически связаны между собой преобразование Фурье.
Спектр представляет особый интерес, когда импульсы подвергаются воздействию обработка сигналов. Например, когда щебеточный импульс сжимается его согласованный фильтр, результирующая форма сигнала содержит не только основной узкий импульс, но также и множество нежелательных артефактов, многие из которых напрямую связаны с особенностями спектральных характеристик ЛЧМ-сигнала.
Самый простой способ получить спектр щебета теперь, когда компьютеры широко доступны, - это дискретизировать сигнал во временной области на частоте, значительно превышающей Предел Найквиста и вызвать БПФ алгоритм для получения желаемого результата. Поскольку этот подход не подходил для первых разработчиков, они прибегали к аналитическому анализу, где это было возможно, или к графическим или приближенным методам, в противном случае. Однако эти ранние методы все еще остаются полезными, поскольку они дают дополнительное представление о поведении и свойствах щебетания.

Щебетание пульса

Общее выражение колебательной формы волны с центром на частотеω₀ является

${\displaystyle s(t)=a(t)\cdot \exp[j(\omega _{0}\cdot t+\theta (t))]}$

куда ${\displaystyle a(t)}$ и θ(t) дают вариации амплитуды и фазы сигнала ${\displaystyle s}$, со временем.
Частотный спектр этого сигнала получается путем вычисления Преобразование Фурье из ${\displaystyle s(t)}$, т.е.

${\displaystyle S(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot \exp(-j\omega t)\cdot dt=\int _{-\infty }^{\infty }a(t)\cdot \exp[j(\omega _{0}t+\theta (t))]\cdot \exp(-j\omega t)\cdot dt}$
так
${\displaystyle S(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }a(t)\cdot \exp[j\left\{(\omega _{0}-\omega )\cdot t+\theta (t)\right\}]\cdot dt}$

В некоторых частных случаях интеграл можно решить, чтобы получить аналитическое выражение, но часто характеристики ${\displaystyle a(t)}$ и θ(t) таковы, что интеграл может быть вычислен только алгоритм аппроксимации или по численное интегрирование.

Линейный щебет

В частном случае, когда s (t) ограничен как нисходящий чирпированный импульс с плоской вершиной, мгновенная частота которого изменяется как линейная функция времени, тогда возможно аналитическое решение.

Для удобства считается, что импульс имеет единичную амплитуду и длительность T, причем амплитуда и фаза определяются в интервале времени от -T / 2 до + T / 2. Полная частота развертки равна ΔF, линейно изменяющееся от -ΔF / 2 до +ΔF / 2 в заданном временном интервале.

Когда частота является линейной функцией времени, фаза равна квадратичная функция, а s (t) можно записать

${\displaystyle s(t)=1\cdot \exp[j(\Delta \Omega \cdot t-{\frac {\Delta \Omega }{2T}}\cdot t^{2})]\qquad {\text{where}}\quad \Delta \Omega =2\pi \cdot \Delta F\qquad {\text{and}}\quad {\frac {-T}{2}}<t<{\frac {T}{2}}}$

Спектр этого линейного ЧМ-сигнала равен

${\displaystyle S(\omega )=\int _{-T/2}^{T/2}\exp \left[j(\Delta \Omega \cdot t+{\frac {\Delta \Omega }{2T}}\cdot t^{2})\right]\cdot \exp(-j\omega \cdot t)\cdot dt=\int _{-T/2}^{T/2}\exp \left[j\left\{(\Delta \Omega -\omega )\cdot t+{\frac {\Delta \Omega }{2T}}\cdot t^{2}\right\}\right]\cdot dt}$

К завершение квадрата и используя Интегралы Френеля C (X) и S (X),^{[1]:35[2]:300} определяется

${\displaystyle C(X)=\int _{0}^{X}\cos {\frac {\pi \cdot y^{2}}{2}}\cdot dy\qquad {\text{and}}\qquad S(X)=\int _{0}^{X}\sin {\frac {\pi \cdot y^{2}}{2}}\cdot dy}$

выражение можно оценить^{[3][4][5][6]:138[7]} давать:

${\displaystyle S(\omega )={\sqrt {\left({\frac {\pi \cdot T}{\Delta \Omega }}\right)}}\cdot \exp \left[-j\left((\omega -\Delta \Omega )^{2}\cdot {\frac {T}{2\cdot \Delta \Omega }}\right)\right]\cdot [C(X_{1})+j\cdot S(X_{1})+C(X_{2})+j\cdot S(X_{2})]}$

куда ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$ даны

${\displaystyle \quad X_{1}={\frac {{\frac {\Delta \Omega }{2}}+(\omega -\Delta \Omega )}{\sqrt {\frac {\pi \cdot \Delta \Omega }{T}}}}\quad {\text{and}}\quad X_{2}={\frac {{\frac {\Delta \Omega }{2}}+(\Delta \Omega -\omega )}{\sqrt {\frac {\pi \cdot \Delta \Omega }{T}}}}}$

Можно считать, что линейный FM-спектр состоит из трех основных компонентов, а именно:

• амплитудный член, ${\displaystyle |S(\omega )|={\sqrt {\frac {\pi \cdot T}{\Delta \Omega }}}\cdot \left[\left(C(X_{1})+C(X_{2})\right)^{2}+\left(S(X_{1})+S(X_{2})\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}$
• член фазы квадратичного закона, ${\displaystyle \quad -\Phi _{1}(\omega )=(\omega -\Delta \Omega )^{2}\cdot {\frac {T}{2\cdot \Delta \Omega }}}$
• и остаточный срок фазы ${\displaystyle \quad \Phi _{2}(\omega )=\arctan \left[{\frac {S(X_{1})+S(X_{2})}{C(X_{1})+C(X_{2})}}\right]}$

Соотношение ${\displaystyle \left[{\frac {S(X_{1})+S(X_{2})}{C(X_{1})+C(X_{2})}}\right]}$ приблизительно равна единице в большей части интересующего диапазона частот, поэтому Φ₂ приближается к постоянному фазовому углу π/ 4, если ввести член масштабирования частоты n, где ${\displaystyle n=2\cdot {\frac {(\omega -\omega _{0})}{\Delta \Omega }}}$, то выражения для аргументов Френеля принимают вид

${\displaystyle X_{1}={\frac {\sqrt {T\cdot \Delta F}}{\sqrt {2}}}\cdot (1+n)}$ и

${\displaystyle X_{2}={\frac {\sqrt {T\cdot \Delta F}}{\sqrt {2}}}\cdot (1-n)}$

Теперь спектры являются функциями произведения T.ΔF, независимо от каких-либо конкретных значений центральной частоты и полосы пропускания. Этот продукт T.ΔF, часто называют произведением частотно-частотной полосы частот щебета.

Опубликованы таблицы интегралов Френеля,^{[1]:32–35[2]:321–322} вместе с математическими процедурами для вычисления интегралов вручную или с помощью компьютерной программы. Кроме того, ряд математических программ, таких как Mathcad, MATLAB и Mathematica имеют встроенные процедуры для вычисления интегралов либо как стандартные функции, либо в пакетах расширений.

Некоторые графики спектра мощности | S (ω)|² как функция частоты показаны для произведений ширины полосы частот 25, 100, 250 и 1000. Когда произведение маленькое, рябь Френеля очень заметна, но спектр действительно имеет тенденцию к более прямоугольному профилю для больших значений. .

В случае графиков остаточной фазы Φ2(ω), профили имеют тенденцию быть очень похожими в широком диапазоне продуктов временного диапазона. Ниже показаны два примера для TxB = 100 и 250. У них фазовый угол близок к значению π/ 4 в диапазоне chirp ${\displaystyle \omega _{0}\pm \Delta \Omega /2}$ и они начинают существенно меняться только для частот за пределами этого диапазона.

Следовательно, для частот в диапазоне развертки чирпа это квадратичный фазовый член Φ1(ω) и его функция групповой задержки (= -dΦ1 / д (ω)), которые представляют наибольший интерес. Ниже показан график групповой задержки. И эта функция, и фаза Φ1(ω) не зависят от значения произведения времени на полосу пропускания. Как и ожидалось, групповая задержка является линейной функцией с длительностью T сек при развертке частоты ΔΩ рад.

Член остаточной фазы добавляет лишь незначительные возмущения к этой характеристике в диапазоне частот ${\displaystyle \Delta \Omega \pm \Delta \Omega /2}$. На частотах вне этого диапазона Φ2(ω) быстро отклоняется от π/ 4, и поэтому полная фаза там будет серьезно отклоняться от квадратичного закона. К счастью, на этих частотах содержание энергии в спектре ЛЧМ очень мало (как показано в следующем разделе).

Нелинейное чириканье

Когда частотно-временная характеристика нелинейна, интеграл Фурье трудно оценить. В таких случаях можно прибегнуть к методу аппроксимации, например приближение стационарной фазы, или использовать численные методы.

С помощью метода стационарной фазы

Часто (как в радиолокационных приложениях) a (t) - это медленно меняющаяся функция времени и фазы. θ(t) является колебательным и быстро изменяется в диапазоне интегрирования. С такими сигналами приближение стационарной фазы можно использовать для исследования спектра.^{[6]:34[8][9][10]} Метод основан на том факте, что основной вклад в интеграл Фурье вносится из области, где скорость изменения фазы минимальна, т.е. когда

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}[(\omega _{0}-\omega )t+\theta (t)]=0\qquad or\qquad (\omega -\omega _{0})-\theta '(t)=0}$

Пока не θ(t) - константа, момент времени t_s при которой фаза является стационарной, будет изменяться в зависимости от мгновенной частоты ω_s.
Выражая разницу между (ω_s-ω₀) .t и θ(t) как Серия Тейлор о времени t_s, но отбрасывая все, кроме первых трех членов (из которых второй член здесь равен нулю), интеграл Фурье можно приблизительно записать как

${\displaystyle S(\omega )\approxeq a(t_{s})\int _{t_{s}-\delta }^{t_{s}+\delta }\exp \left[-j\left\{(\omega _{s}-\omega _{0})\cdot t-\theta (t_{s})-{\frac {\theta ''(t_{s})}{2}}\cdot (t-t_{s})^{2}\right\}\right]\cdot dt}$

В этом уравнении t_s представляет собой постоянный момент времени, поэтому члены, зависящие от t_s только можно вынести за пределы интеграла. Выражение упрощается до^[6]:39[10]
${\displaystyle S(\omega )\approxeq {\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {a(t_{s})}{\sqrt {|\theta ''(t)|}}}\cdot \exp \left[j\left\{(\omega _{0}-\omega _{s})t+\theta (t_{s})+{\frac {\pi }{4}}\right\}\right]}$
так
${\displaystyle |S(\omega _{t})|^{2}\approxeq 2\pi \cdot {\frac {a^{2}(t)}{|\theta ''(t)|}}}$

куда ω_т используется для обозначения зависимости частотной переменной от t.
Это очень полезное выражение, связывающее профиль спектра с амплитудными и фазовыми характеристиками чирпа.

Для выполнения обратного процесса, то есть для нахождения функции s (t) во временной области по данным частотной области, выводится обратное преобразование Фурье.

${\displaystyle s(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|S(\omega )|\cdot \exp[j(\Phi (\omega )+\omega \cdot t)]\cdot d\omega }$

куда Φ(x) - фазовая функция спектра. Точки стационарной фазы для этого подынтегрального выражения расположены в

${\displaystyle \Phi '(\omega )=-t}$

и следующее соотношение, эквивалентное полученному для спектра, может быть получено методом стационарной фазы и имеет вид

${\displaystyle a^{2}(t_{\omega })\approxeq {\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {|S(\omega )|^{2}}{|\Phi ''(\omega )|}}}$

Фактически, стационарный фазовый анализ дает следующие (приблизительные) парные отношения Фурье:^[6]:43
${\displaystyle a(t)\cdot \exp[j\theta (t)]\approxeq {\frac {1}{2\pi }}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }S(\omega )|\cdot \exp[j\{\Phi (\omega )+\omega \cdot t\}]\cdot d\omega }$
и
${\displaystyle |S(\omega )|\cdot \exp[j\Phi (\omega )]\approxeq \int _{-\infty }^{\infty }a(t)\cdot \exp[-j\{\omega t-\theta (t)\}]dt}$

Следовательно, приближенные выражения для a (t) и θ(t) можно получить, когда спектр, включая его фазовую функцию Φ(ω) дано и аналогично приближенные выражения для | S (ω| и Φ(ω) можно получить, задав характеристики сигнала. Некоторые примеры процедуры приведены в литературе.^{[6]:43[8][10]}

Хотя отношения являются только приблизительными, их точность улучшается по мере увеличения произведения времени и полосы пропускания. В случаях, когда огибающая сигнала и модуль спектра определяются плавным изменением Функция Гаусса затем Т.ΔПродукт F всего 15 даст приемлемые результаты, но если и a (t), и | S (ω) | определяются прямоугольными функциями, то произведение T.ΔF должно быть намного больше, обычно больше 100.^[6]:49

Примеры

Как правило, в случае с радаром a (t) является постоянной величиной на протяжении сигнала и для удобства здесь принимается равной единице. Таким образом, фазовые и амплитудные характеристики в частотной области связаны соотношением

${\displaystyle \Phi ''(\omega )=\pm {\frac {1}{2\pi }}\cdot |S(\omega )|^{2}}$

Есть два решения для Φ(ω), которые являются комплексно сопряженными друг другу. Два фильтра с этими характеристиками могут использоваться как фильтры передатчика и приемника радиолокационной системы и являются взаимозаменяемыми.
В групповая задержка характеристика D (ω), (где D(ω) = - dΦ/ дω), является

${\displaystyle D(\omega )=-\Phi '(\omega )=-\int _{0}^{\infty }\Phi ''(\omega )\cdot d\omega +K}$
так
${\displaystyle D(\omega )=\pm {\frac {1}{2\pi }}\cdot \int _{0}^{\infty }|S(\omega )|^{2}\cdot d\omega +K}$

Таким образом, в случае прямоугольной временной огибающей характеристика дисперсионной задержки задается интегралом от квадрата огибающей.^[10] Если знак положительный, то групповая задержка увеличивается с увеличением частоты и наоборот. Результат является приблизительным, но он более точен для больших значений произведения временной полосы.
Рассмотрим, в качестве примера, случай спектра, который однороден в диапазоне -ω_{Максимум}/ 2 к ω_{Максимум}/ 2, то

${\displaystyle |S(\omega )|^{2}=A\qquad for\qquad |\omega |<{\frac {\omega _{max}}{2}}}$
так
${\displaystyle D(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\cdot \int A\cdot d\omega +K={\frac {A}{2\pi }}\cdot \omega +K}$

Положим D (-ω_{Максимум}/ 2) = 0 и D (ω_{Максимум}/ 2) = T, где T - длительность импульса, тогда K = T / 2 и A = (2πТ) /ω_{Максимум}
итак, наконец
${\displaystyle D(\omega )=T\cdot \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{\omega _{max}}}\right]}$

Как и ожидалось, частотный спектр с плоской вершиной соответствует линейной развертке частоты.

Линейный чирп - это лишь один частный случай, который в любом случае можно более точно рассчитать методами, описанными в предыдущем разделе. Особая полезность метода стационарной фазы заключается в его способности обеспечивать результаты при нелинейной развертке частоты. В таких случаях спектральный отклик может быть сформирован в соответствии с некоторыми желательными критериями проектирования, например, с низкими боковыми лепестками при сжатии ЛЧМ. Одно такое семейство спектральных функций, которое было изучено^[6]:51 дан кем-то

${\displaystyle |S(\omega )|^{2}=A_{n}\cdot cos^{n}\left({\frac {\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)\qquad where\qquad |\omega |<{\frac {\omega _{max}}{2}}\qquad and\ n\ is\ an\ integer}$

Можно найти характеристики групповой задержки этих функций аналогично тому, как это было выполнено выше, и результаты для n = от 1 до 4 были рассчитаны.^[6]:51
Хотя эти косинусные функции поддаются математической обработке, на практике их редко выбирают для определения спектральных характеристик ЛЧМ, поскольку при сжатии они дают широкие основные импульсы с высокими уровнями боковых лепестков. Лучшая характеристика (среди многих)^[11] - функция Хэмминга, заданная формулой

${\displaystyle |S(\omega )|^{2}=A\cdot \left[0.54+0.46\cdot cos\left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)\right]=A\cdot \left[0.08+0.92\cdot cos^{2}\left({\frac {\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)\right]}$

Показан график этой характеристики, нанесенный в диапазоне -ω_{Максимум}/ 2 к ω_{Максимум}/2.

Применяя приведенные выше уравнения, можно получить характеристику групповой задержки, которая достигает этой спектральной формы. это

${\displaystyle D_{H}(\omega )=T\cdot \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{\omega _{max}}}+{\frac {1.7037}{4\pi }}\cdot sin\left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)\right]}$

Теперь, поскольку принцип стационарной фазы показывает, что существует прямая зависимость между прошедшим временем и мгновенной задержкой сигнала, тогда для окна Хэмминга t / T может быть связано с ω/ω_{Максимум} к

${\displaystyle {\frac {t}{T}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{\omega _{max}}}+{\frac {1.7037}{4\pi }}\cdot sin\left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)}$

Эта характеристика, которая является функцией времени как функция частоты, показана здесь. Инвертирование графика дает более обычный (и более полезный) график зависимости частоты от времени, который также показан.

Таким же образом можно исследовать другие формы спектра, и результаты, хотя и приблизительные, на удивление точны, особенно когда произведение ширины полосы импульса велико.

Метод стационарной фазы не предсказывает и не имеет дело с рябью Френелла, поэтому он не может предложить никаких средств, с помощью которых эти колебания могут быть минимизированы. В качестве примера на рисунке ниже показан спектр чирпа с T.ΔF = 250, полученное для нелинейного щебета, направленного на совпадение с окном Хэмминга, с использованием методов, описанных выше. Рисунок показывает, что спектральный профиль достаточно хорошо соответствует характеристике Хэмминга, но рябь Френелла, не предсказываемая этим методом, очень очевидна.

Численными методами

Отбор проб

Когда интеграл Фурье не может быть вычислен аналитическими средствами, приближенное решение обычно возможно с помощью числовой анализ. Такая процедура требует, чтобы функция была отобранный, обычно через равные промежутки времени.
Одним из следствий дискретизации является то, что результирующий спектр является периодическим в частотной области. В дополнение к (желаемому) спектру основной полосы частот возникают дополнительные версии спектра, сосредоточенные на кратных частотах дискретизации. Чтобы гарантировать отсутствие перекрытия частотных данных (т.е. сглаживание ) Найквист теорема выборки должна выполняться. На практике рекомендуется частота дискретизации существенно выше, чем диктуется теоремой дискретизации.^[12]:11

Спектр дискретизированного сигнала - преобразование Фурье дискретного временного сигнала

Простой способ аппроксимировать интеграл, такой как интеграл Фурье, - это использовать стандартныйправило прямоугольника 'для численного интегрирования. Метод предполагает, что значение сигнала, полученное в момент выборки, остается постоянным в течение одного интервала выборки, пока не будет взята следующая выборка. Эту процедуру иногда называют «генератором прямоугольной последовательности» или выборкой и хранением нулевого порядка.^{[13]:114[14]:34} Если временной интервал между отсчетами W, то s_п = s (nW), и искомый интеграл получается приблизительно путем суммирования прямоугольных площадей.
Полученный таким образом результат представляет собой свертку прямоугольного импульса с размером шага W с импульсами, расположенными в моменты выборки, с весами, равными значениям выборки.^[12]:12 Вследствие этого на интересующий спектр будет наложена частотная характеристика образца и удерживать,^{[13]:135[14]:36} а спектр отобранных одиночных Ss определяется выражением:^[12]:12

${\displaystyle Ss(\omega ))=W{\frac {\sin(\omega W/2)}{\omega W/2}}\cdot \left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }s_{n}\cdot \exp(-jn\omega W)\right]}$

Первая часть выражения, то есть часть 'sin (x) / x', является частотной характеристикой образца и удержания. Его амплитуда уменьшается с частотой, и она падает до 63% от своего пикового значения на половине частоты дискретизации и равна нулю при кратной этой частоте (поскольку f_s = 1 / Вт).
Второй член в уравнении называется преобразованием Фурье дискретного сигнала s_п.^[12]:12[15] Это непрерывная функция по всем ω и включает бесконечное количество суммирований. На практике процесс суммирования может быть усечен до конечного числа выборок N, возможно, потому, что форма волны является периодической или нулевой за пределами диапазона выборок. Более того, поскольку один и тот же спектр бесконечно повторяется, можно ограничить интерес спектральными данными в диапазоне -ω_s/ 2 в +ω_s/2.

В качестве примера экспоненциальный щебет (с его верхней частотой значительно ниже предела Найквиста) дискретизируется в 256 точках, как показано.

Спектр дискретизации Ss (ω) этого сигнала, рассчитанного с использованием приведенного выше уравнения. Чтобы упростить график, отображены только результаты с положительными частотами. Влияние частотного спектра цепи удержания нулевого порядка хорошо видно на диаграмме.

Часть спектра основной полосы частот показана более подробно на следующем рисунке, а отклик показывает отчетливый наклон, который значительно ниже на более высоких частотах.

Хотя характеристика удержания нулевого порядка имеет небольшое влияние на этот результат, наклон в основном обусловлен свойствами чирпа. Форма волны относительно быстро перемещается по высоким частотам и тратит больше времени на качание низких частот, следовательно, меньше энергии на высоких частотах и ​​больше на нижних. (С другой стороны, линейный чирп имеет номинально плоский спектр, потому что его частоты изменяются с той же скоростью, как показано на некоторых более ранних графиках).

Через дискретное преобразование Фурье

Если мы ограничим интерес к выходному спектру конечным числом дискретных точек данных (= N), на частотах ω_м данный
${\displaystyle \omega _{m}={\frac {2\pi m}{NW}}\qquad for\qquad m=0,1,2,...N-1}$

то формула для расчета дискретное преобразование Фурье является

${\displaystyle Ss_{m}\quad =Ss\left(j{\frac {2\pi m}{NW}}\right)\quad =\quad \sum _{n=0}^{N-1}s_{n}\cdot exp(-j\left({\frac {2\pi mn}{N}}\right)}$

Расчеты могут быть выполнены с помощью простого компьютерного алгоритма,^[12]:21 но это не очень эффективно при использовании компьютера. Следовательно, были разработаны более эффективные алгоритмы, особенно Быстрые преобразования Фурье (БПФ). Компьютерные программы, реализующие БПФ, широко доступны в литературе.^{[12]:54[15]:119,412[16]} и в проприетарных программах САПР, таких как Mathcad, MATLAB, и Mathematica.
В следующем примере линейный щебет с произведением 25 временной полосы дискретизируется в 128 точках (то есть N = 128). На рисунке показаны образцы реальной части сигнала - обратите внимание, что это образцы во временной области. Процесс БПФ предполагает, что форма сигнала является циклической, поэтому эти 128 точек данных можно рассматривать как часть бесконечно повторяющейся во времени последовательности.

Посредством вычисления N-точечного БПФ этих данных получается дискретный спектр последовательности. Величина этого спектра показана на прилагаемом рисунке, где эти точки данных являются выборками по частоте. Данные являются циклическими, поэтому на графике точка нулевой частоты находится при n = 0, а также при n = 128 (т.е. обе точки имеют одинаковую частоту). Точка n = 64 соответствует + fs / 2 (а также -fs / 2).

Чтобы отобразить спектр более подробно (но не обязательно с большим разрешением^[17]) временная последовательность может быть расширена нулевым заполнением.^{[15]:80–85[18][19]} Например, расширение временной последовательности из 128 точек нулями для получения N = 4096 результатов в той части спектра, которая первоначально была представлена ​​в 16 выборках, а теперь представлена ​​в 512 выборках, как показано.

Спектральный разброс

За пределами диапазона частот развертки ЛЧМ-импульса очень мало спектрального содержания, и это особенно верно для сигналов, где произведение времени на ширину полосы велико. Сплошная линия на графике соседнего рисунка показывает результаты для линейных чирпов. Он показывает, например, что только около 2% общей мощности приходится на частоты вне диапазона развертки. ΔF, когда ширина полосы пропускания равна 100, и меньше 1/2%, когда T.ΔF - 500.
В случае нелинейного щебета или линейного щебета, сформированного взвешиванием амплитуды, доля мощности вне ΔF еще меньше, как показано на графике, где пунктирная линия соответствует спектрам с профилями Хэмминга.
Этот низкий спектральный разброс особенно важен, когда сигналы основной полосы частот должны быть оцифрованы, поскольку он позволяет выбирать частоту дискретизации, которая лишь немного превышает удвоенное максимальное отклонение частоты ЛЧМ.

Уменьшение спектральной пульсации

Пульсация Френеля на спектре частотной модуляции очень навязчива, особенно когда продукты временного диапазона низкие (скажем, менее 50), и их присутствие приводит к высоким уровням боковых лепестков, когда щебетание подвержено влиянию сжатие импульса как в радар и сонар системы. Они возникают из-за внезапных разрывов формы волны ЛЧМ-сигнала в начале и в конце импульса.
Хотя существует ряд процедур, которые можно применить для уменьшения уровней пульсации, не все они одинаково эффективны. Кроме того, некоторые из методов требуют формирования амплитуды или амплитудной модуляции ЛЧМ-импульса, и это делает эти методы непригодными, когда, например, ЛЧМ-импульсы должны передаваться усилителем мощности, работающим в почти предельных условиях. Для таких систем подходят только методы, использующие предыскажения частоты (или фазы).

Представляем времена нарастания и спада конечной продолжительности

Если переходы в начале и в конце щебета сделаны менее резкими (или более «округленными»), то достигается уменьшение амплитуды пульсаций.^{[6]:213[20][21]} Длительности двух переходных областей должны составлять лишь небольшую часть длительности импульса, а предлагаемые значения находятся в диапазоне 2 /ΔF и 3 /ΔF ^[20] но, как и ожидалось, когда произведение импульса на ширину полосы частот мало, необходимы более длительные переходные периоды. Фактические профили этих областей нарастания и спада импульса не кажутся критическими и могут быть обеспечены, например, фильтрами ограничения полосы в аналоговых реализациях и линейным наклоном в цифровых.
Два примера показывают спектры линейных чирпов с конечными временами нарастания. Первый предназначен для щебета с полосой времени 250, где время нарастания и спада составляют 4% от общей длительности импульса, а второй - для щебета с полосой времени 25, где времена нарастания и спада составляют 10%. от общей суммы. Эти два спектра показывают заметное уменьшение амплитуды пульсаций по сравнению со спектрами неизмененных линейных щебетаний, показанными ранее.

Применение фазовых или частотных искажений к чирпу-импульсу

Аналогичный метод может быть применен к частотной характеристике ЛЧМ-сигнала путем добавления сегментов линейного ЧМ-искажения (квадратичное искажение фазовой модуляции) к частотной характеристике ЛЧМ-сигнала, как показано. Этот метод эффективен, потому что амплитудные и фазовые искажения, имеющие функциональное подобие, могут давать аналогичные эффекты, когда коэффициенты искажения малы.^[20][22]

Предлагаемые значения для этих областей искажения, чтобы дать хорошие результаты:
${\displaystyle \Delta f_{p}=0.75\Delta F\qquad and\qquad \delta =1/\Delta F}$

Позже работа^[23] предложены несколько иные значения, а именно:
${\displaystyle \Delta f_{p}=0.73\Delta F\qquad and\qquad \delta =0.86/\Delta F}$
но результат, несомненно, можно улучшить, оптимизируя значения для каждой конкретной ситуации.
Два графика показывают эффекты предварительной коррекции частоты и могут быть сравнены с результатами в предыдущих разделах.

Снижение пульсаций, достигаемое с помощью предварительной коррекции частоты, хотя и значительно, но оказывается менее успешным, чем то, которое достигается методами амплитудной модуляции из предыдущего раздела. Однако было предложено^[21] что, применяя предварительную коррекцию кубической (а не квадратичной) фазы, можно достичь сопоставимых результатов.

Получение формы волны из целевого частотного спектра

В этом методе используется обратное преобразование Фурье для получения формы волны, которая имеет спектр с фазовой характеристикой выбранного чирпа, но новый профиль амплитуды, который является прямоугольным и свободным от пульсаций. Этот метод очень эффективен, но, к сожалению, полученная таким образом форма волны имеет полубесконечную продолжительность. Если для удобства вновь полученная форма волны усечена до практической длины, тогда в спектр снова появится некоторая пульсация.
В качестве примера показан линейный сигнал с частотной полосой 25 и его амплитуда спектра (показана сплошной линией), который, как было показано ранее, имеет большую составляющую пульсаций. С помощью обратного БПФ можно найти форму волны ЛЧМ, которая в частотной области имеет ту же фазовую характеристику, что и раньше, но с прямоугольной характеристикой амплитуды, показанной на графике пунктирной линией. Форма волны ЛЧМ-сигнала, возникающая в результате этого процесса, имеет очень большую продолжительность, но когда она сокращается до, скажем, длины 2T, спектр снова приобретает некоторую рябь, как показано.

Применение оконных функций

Есть много приложений, в которых спектр с прямоугольным профилем амплитуды не идеален. Например, когда сигнал ЛЧМ сжимается с помощью согласованного фильтра, то результирующая форма сигнала приближается к грех функции и, следовательно, имеет досадно высокие боковые лепестки. Часто для улучшения характеристик импульса и снижения уровней боковых лепестков его спектр модифицируют, как правило, до колоколообразного профиля. цифровая обработка сигналов где спектральное формирование обеспечивается оконная функция, процесс, который иногда называют аподизация. В случае антенной решетки аналогичное профилирование с помощью «весовых функций» используется для уменьшения пространственных боковых лепестков диаграммы направленности.
Хотя формирование спектра ЛЧМ может применяться в частотной области, лучшие результаты получаются, если формирование выполняется во временной области.^[24][25]
Примеры этого процесса показаны для линейных чирпов с произведением временного диапазона 250 и 25. Они были сформированы с помощью окна Блэкмана-Харриса с тремя элементами.^[11] данный
${\displaystyle |U(\omega )|^{2}=0.42323-0.49755\cos \left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)+0.07922\cos \left({\frac {4\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)}$
Видно, что спектры, которые теперь имеют форму колокола, не имеют ряби.

Можно разработать нелинейный щебет, который имеет колоколообразный спектр, такой как только что обсужденное окно Блэкмана-Харриса, и, следовательно, будет демонстрировать меньшую пульсацию по сравнению с линейным щебетанием. С помощью метода стационарной фазы, описанного ранее, можно получить приблизительное соотношение между временем и частотой, которое составляет:
${\displaystyle {\frac {t}{T}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{\omega _{max}}}+0.1871\sin \left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)+0.014895\sin \left({\frac {4\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)}$

Переставив уравнение, можно построить график зависимости частоты от времени, как показано.

В качестве примеров ниже показаны графики спектральных величин нелинейных чирпов со спектральными профилями окон Блэкмана-Харриса и с произведениями ширины полосы 250 и 25 во времени. Как можно видеть, наблюдается некоторое уменьшение пульсаций, но неутешительные характеристики можно отнести к тому факту, что эти щебетания, хотя и имеют пониженное энергосодержание во внешних частотных областях, все же имеют профили амплитуды с быстрым нарастанием и спадом.

Смотрите также

• Сжатие импульса, процесс, в котором используются сигналы с частотным или фазовым кодированием для улучшения соотношения сигнал / шум принимаемых сигналов.
• Сжатие щебета, процесс сжатия только для чириканья.

Рекомендации

1. Янке Э. и Эмде Ф., "Таблицы функций", Dover Publications, Нью-Йорк, 1945 г.
2. Абрамовиц М., Стегун И. А., «Справочник по математическим функциям», Nat. Бур. Стандарты 1964 г., перепечатано Dover Publications, штат Нью-Йорк, 1965 г. (9-е изд. 1972 г.)
3. Клаудер Дж. Р., Прайс А. К., Дарлингтон С. и Альберсхайм В. Дж., Теория и конструкция чирп-радаров », Технический журнал системы Белла, том 39, июль 1960 г. (стр. 745-809)
4. Чин Дж. Э. и Кук С. Э., Математика сжатия импульсов ", Sperry Eng. Review, Vol.12, Oct 1959. (стр. 11-16)
5. Кук С.Е., Сжатие импульсов - ключ к более эффективной радиолокационной передаче », Proc.IRE, март 1960 г. (стр.312)
6. Кук С.Е. и Бернфельд М., "Радиолокационные сигналы - Введение в теорию и применение", Academic Press, 1967,1987, перепечатано Artech House 1993.
7. Вархней Л.Р. и Томас Д., "Снижение боковых лепестков для обработки диапазона согласованных фильтров", Конференция IEEE Radar, 2003 г.
8. Фаул E.N., "Разработка сигналов сжатия импульсов FM", IEEE Trans. ИТ-10, 1964, (стр.61-67)
9. Key E.L., Fowle E.N., Haggarty R.D .., "Метод сжатия импульсов, использующий нелинейную частотную модуляцию", M.I.T. Lincoln Lab., Лексингтон, Массачусетс, Tech. Реп.207, 1959.
10. Ки Э.Л., Фаул Э.Н., Хаггарти Р.Д .., "Метод проектирования сигналов продукта с большой шириной полосы частот", Proc. IRE Int. Против. Рек. Часть 4, март 1961 г. (стр. 146-154)
11. Харрис Ф.Дж., "Об использовании окон для гармонического анализа с дискретным преобразованием Фурье", Proc. IEEE Vol.66, январь 1978 г.
12. Буррус К.С. и Паркс Т.В., "Алгоритмы DFT / FFT и свертки", Wiley & Sons, Interscience 1985.
13. Ту Дж. Т., "Системы управления цифровыми и дискретными данными", МакГроу-Хилл, штат Нью-Йорк, 1959 г.
14. Рагаццини Дж. Р. и Франклин Г. Ф., "Системы управления выборочными данными", Макгроу-Хилл, штат Нью-Йорк, 1958 г.
15. Стернс С.Д. и Хаш Д.Р., "Анализ цифровых сигналов", Прентис-Холл, 1990 г. (стр.61)
16. Харрис Ф.Дж. «Быстрые преобразования Фурье», San Diego State Univ. Cal. 1984
17. Анон, «Zero Padding не покупает Spectral Resolution» National Instruments 2006, http: //www.ni.comwhite-paper/4880/en/^{[постоянная мертвая ссылка ]}
18. Харрис Ф.Дж. "Обработка сигналов с использованием единиц и нулей и БПФ", Университет штата Сан-Диего, Калифорния. 1984
19. Лайонс Р., "Как интерполировать во временной области с помощью нулевого заполнения в частотной области", http://www.dspguru.com/dsp/how-to-interpolate-in-time-domain-by-zero-padding-inthe-frequency-domain
20. Кук С.Е. и Паолилло Дж., "Функция предыскажения импульсной компрессии для эффективного уменьшения боковых лепестков в мощном радаре", Proc. IEEE Vol.52, апрель 1964 г. (стр. 377-384)
21. Ковач М. и Стокер Х. Р., «Влияние пульсаций Френеля на подавление боковых лепестков при сжатии линейных ЧМ-импульсов с малой шириной полосы частот», IEE Proc. Vol. 129, стр. F, No 1, февраль 1982 г.
22. Уилер Х.А., "Интерпретация амплитудных и фазовых искажений в терминах парных эхо-сигналов", Proc. IRE, июнь 1939 г.
23. Солал М., «Высокопроизводительные линии задержки на ПАВ для малой полосы пропускания по времени с использованием датчиков с периодической выборкой», Симпозиум по ультразвуку, IEEE, ноябрь 1988 г.
24. Джадд Г.В., "Методика реализации малых временных уровней боковых лепестков в формах сигналов ЛЧМ-сигнала с малой степенью сжатия", Proc. Симпозиум IEEE Ultrasonics, 1973, стр. 478-483
25. МакКью Дж. Дж. Дж., "Заметка о взвешивании по Хэммингу импульсов линейной ЧМ", Proc. IEEE, Vol. 67, No. 11, Nov 1979, pp. 1575-1577.