Компактная квантовая группа - Compact quantum group

В математика, а компактная квантовая группа абстрактная структура на единичном отделимом C * -алгебра аксиоматизированы из существующих на коммутативной C * -алгебре «непрерывных комплекснозначных функций» на компактной квантовой группе.

Основная мотивация этой теории исходит из следующей аналогии. Пространство комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве образует коммутативный C * -алгебра. С другой стороны, Теорема Гельфанда коммутативная C * -алгебра изоморфна C * -алгебре непрерывных комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве, а топологическое пространство однозначно определяется C * -алгеброй с точностью до гомеоморфизм.

С. Л. Воронович ^[1] представил важную концепцию компактные матричные квантовые группы, которую он первоначально называл компактные псевдогруппы. Компактные матричные квантовые группы представляют собой абстрактные структуры, на которых «непрерывные функции» на структуре задаются элементами C * -алгебры. Геометрия компактной матричной квантовой группы является частным случаем некоммутативная геометрия.

Формулировка

Для компактного топологическая группа, грамм, существует гомоморфизм C * -алгебр

${displaystyle Delta :C(G) o C(G)otimes C(G)}$

куда C(грамм) ⊗ C(грамм) минимальное тензорное произведение C * -алгебры - пополнение алгебраической тензорное произведение из C(грамм) и C(грамм)) - такие, что

${displaystyle Delta (f)(x,y)=f(xy)}$

для всех ${displaystyle fin C(G)}$, и для всех ${displaystyle x,yin G}$, куда

${displaystyle (fotimes g)(x,y)=f(x)g(y)}$

для всех ${displaystyle f,gin C(G)}$ и все ${displaystyle x,yin G}$. Также существует линейное мультипликативное отображение

${displaystyle kappa :C(G) o C(G)}$,

такой, что

${displaystyle kappa (f)(x)=f(x^{-1})}$

для всех ${displaystyle fin C(G)}$ и все ${displaystyle xin G}$. Строго говоря, это не делает C(грамм) в Алгебра Хопфа, пока не грамм конечно.

С другой стороны, конечномерное представление из грамм может использоваться для создания * -подалгебра из C(грамм) которая также является * -алгеброй Хопфа. В частности, если

${displaystyle gmapsto (u_{ij}(g))_{i,j}}$

является п-мерное представление грамм, тогда

${displaystyle u_{ij}in C(G)}$

для всех я, j, и

${displaystyle Delta (u_{ij})=sum _{k}u_{ik}otimes u_{kj}}$

для всех я, j. Отсюда следует, что *-алгебра создано ${displaystyle u_{ij}}$ для всех я, j и ${displaystyle kappa (u_{ij})}$ для всех я, j является * -алгеброй Хопфа: число определяется

${displaystyle epsilon (u_{ij})=delta _{ij}}$

для всех ${displaystyle i,j}$ (куда ${displaystyle delta _{ij}}$ это Дельта Кронекера ) антипод κ, а единица равна

${displaystyle 1=sum _{k}u_{1k}kappa (u_{k1})=sum _{k}kappa (u_{1k})u_{k1}.}$

Компактные матричные квантовые группы

В качестве обобщения компактная матричная квантовая группа определяется как пара (C, ты), куда C является C * -алгеброй и

${displaystyle u=(u_{ij})_{i,j=1,dots ,n}}$

матрица с элементами в C такой, что

• * -Подалгебра, C₀, из C, который порождается матричными элементами ты, плотно в C;
• Существует гомоморфизм С * -алгебр, называемый коумножением, Δ: C → C ⊗ C (здесь C ⊗ C является тензорным произведением C * -алгебры - пополнением алгебраического тензорного произведения C и C) такие, что

${displaystyle forall i,j:qquad Delta (u_{ij})=sum _{k}u_{ik}otimes u_{kj};}$

• Существует линейная антимультипликативная карта, называемая коинверсой, κ : C₀ → C₀ такой, что ${displaystyle kappa (kappa (v*)*)=v}$ для всех ${displaystyle vin C_{0}}$ и ${displaystyle sum _{k}kappa (u_{ik})u_{kj}=sum _{k}u_{ik}kappa (u_{kj})=delta _{ij}I,}$ куда я является элементом идентичности C. С κ антимультипликативный, κ(vw) = κ(ш)κ(v) для всех ${displaystyle v,win C_{0}}$.

Как следствие непрерывности, коумножение на C коассоциативный.

В целом, C биалгебра и C₀ является * -алгеброй Хопфа.

Неофициально C можно рассматривать как * -алгебру непрерывных комплекснозначных функций над компактной матричной квантовой группой, а ты можно рассматривать как конечномерное представление компактной матричной квантовой группы.

Компактные квантовые группы

Для C * -алгебр А и B действующие на гильбертовых пространствах ЧАС и K соответственно, их минимальное тензорное произведение определяется как пополнение по норме алгебраического тензорного произведения А ⊗ B в B(ЧАС ⊗ K); пополнение нормы также обозначается А ⊗ B.

Компактная квантовая группа^[2][3] определяется как пара (C, Δ), куда C является унитальной сепарабельной C * -алгеброй и

• Δ: C → C ⊗ C является унитальным гомоморфизмом C * -алгебр, удовлетворяющим (Δ ⊗ id) Δ = (id ⊗ Δ) Δ;
• наборы {(C ⊗ 1) Δ (C)} и {(1 ⊗ C) Δ (C)} плотно в C ⊗ C.

Представления

Представление компактной матричной квантовой группы дается основная презентация * -алгебры Хопфа^[4] Кроме того, представление, v, называется унитарной, если матрица для v унитарен, или, что то же самое, если

${displaystyle forall i,j:qquad kappa (v_{ij})=v_{ji}^{*}.}$

Пример

Примером компактной матричной квантовой группы является SU_μ(2),^[5] где параметр μ положительное действительное число.

Первое определение

SU_μ(2) = (C(SU_μ(2)), ты), куда C(SU_μ(2)) C * -алгебра, порожденная α и γ, при условии

${displaystyle gamma gamma ^{*}=gamma ^{*}gamma , alpha gamma =mu gamma alpha , alpha gamma ^{*}=mu gamma ^{*}alpha , alpha alpha ^{*}+mu gamma ^{*}gamma =alpha ^{*}alpha +mu ^{-1}gamma ^{*}gamma =I,}$

и

${displaystyle u=left({egin{matrix}alpha &gamma -gamma ^{*}&alpha ^{*}end{matrix}}ight),}$

так что коумножение определяется ${displaystyle Delta (alpha )=alpha otimes alpha -gamma otimes gamma ^{*},Delta (gamma )=alpha otimes gamma +gamma otimes alpha ^{*}}$, а коинверс определяется ${displaystyle kappa (alpha )=alpha ^{*},kappa (gamma )=-mu ^{-1}gamma ,kappa (gamma ^{*})=-mu gamma ^{*},kappa (alpha ^{*})=alpha }$. Обратите внимание, что ты это представление, но не унитарное представительство. ты эквивалентно унитарному представлению

${displaystyle v=left({egin{matrix}alpha &{sqrt {mu }}gamma -{frac {1}{sqrt {mu }}}gamma ^{*}&alpha ^{*}end{matrix}}ight).}$

Второе определение

SU_μ(2) = (C(SU_μ(2)), ш), куда C(SU_μ(2)) C * -алгебра, порожденная α и β, при условии

${displaystyle eta eta ^{*}=eta ^{*}eta , alpha eta =mu eta alpha , alpha eta ^{*}=mu eta ^{*}alpha , alpha alpha ^{*}+mu ^{2}eta ^{*}eta =alpha ^{*}alpha +eta ^{*}eta =I,}$

и

${displaystyle w=left({egin{matrix}alpha &mu eta -eta ^{*}&alpha ^{*}end{matrix}}ight),}$

так что коумножение определяется ${displaystyle Delta (alpha )=alpha otimes alpha -mu eta otimes eta ^{*},Delta (eta )=alpha otimes eta +eta otimes alpha ^{*}}$, а коинверс определяется ${displaystyle kappa (alpha )=alpha ^{*},kappa (eta )=-mu ^{-1}eta ,kappa (eta ^{*})=-mu eta ^{*}}$, ${displaystyle kappa (alpha ^{*})=alpha }$. Обратите внимание, что ш является унитарным представлением. Реализации можно идентифицировать, приравняв ${displaystyle gamma ={sqrt {mu }}eta }$.

Предельный случай

Если μ = 1, тогда SU_μ(2) равна конкретной компактной группе SU (2).

Рекомендации

1. Воронович, С. «Компактные матричные псевдоконференции», Комм. Математика. Phys. 111 (1987), 613-665
2. Воронович, С. «Компактные квантовые группы». Примечания от http://www.fuw.edu.pl/~slworono/PDF-y/CQG3.pdf
3. van Daele, A. и Maes, Ann. «Заметки о компактных квантовых группах», arXiv: math / 9803122
4. корпредставление коассативной коассативной коалгебры А квадратная матрица

   ${displaystyle v=(v_{ij})_{i,j=1,dots ,n}}$

   с записями в А (так что v ∈ M (п, А)) такие, что

   ${displaystyle forall i,j:qquad Delta (v_{ij})=sum _{k=1}^{n}v_{ik}otimes v_{kj}}$

   ${displaystyle forall i,j:qquad epsilon (v_{ij})=delta _{ij}.}$

5. ван Дэле, А. и Ван, С. «Универсальные квантовые группы» Int. J. Math. (1996), 255-263.