Компактная квантовая группа - Compact quantum group
Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка.Декабрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) ( |
В математика, а компактная квантовая группа абстрактная структура на единичном отделимом C * -алгебра аксиоматизированы из существующих на коммутативной C * -алгебре «непрерывных комплекснозначных функций» на компактной квантовой группе.
Основная мотивация этой теории исходит из следующей аналогии. Пространство комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве образует коммутативный C * -алгебра. С другой стороны, Теорема Гельфанда коммутативная C * -алгебра изоморфна C * -алгебре непрерывных комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве, а топологическое пространство однозначно определяется C * -алгеброй с точностью до гомеоморфизм.
С. Л. Воронович [1] представил важную концепцию компактные матричные квантовые группы, которую он первоначально называл компактные псевдогруппы. Компактные матричные квантовые группы представляют собой абстрактные структуры, на которых «непрерывные функции» на структуре задаются элементами C * -алгебры. Геометрия компактной матричной квантовой группы является частным случаем некоммутативная геометрия.
Формулировка
Для компактного топологическая группа, грамм, существует гомоморфизм C * -алгебр
куда C(грамм) ⊗ C(грамм) минимальное тензорное произведение C * -алгебры - пополнение алгебраической тензорное произведение из C(грамм) и C(грамм)) - такие, что
для всех , и для всех , куда
для всех и все . Также существует линейное мультипликативное отображение
- ,
такой, что
для всех и все . Строго говоря, это не делает C(грамм) в Алгебра Хопфа, пока не грамм конечно.
С другой стороны, конечномерное представление из грамм может использоваться для создания * -подалгебра из C(грамм) которая также является * -алгеброй Хопфа. В частности, если
является п-мерное представление грамм, тогда
для всех я, j, и
для всех я, j. Отсюда следует, что *-алгебра создано для всех я, j и для всех я, j является * -алгеброй Хопфа: число определяется
для всех (куда это Дельта Кронекера ) антипод κ, а единица равна
Компактные матричные квантовые группы
В качестве обобщения компактная матричная квантовая группа определяется как пара (C, ты), куда C является C * -алгеброй и
матрица с элементами в C такой, что
- * -Подалгебра, C0, из C, который порождается матричными элементами ты, плотно в C;
- Существует гомоморфизм С * -алгебр, называемый коумножением, Δ: C → C ⊗ C (здесь C ⊗ C является тензорным произведением C * -алгебры - пополнением алгебраического тензорного произведения C и C) такие, что
- Существует линейная антимультипликативная карта, называемая коинверсой, κ : C0 → C0 такой, что для всех и куда я является элементом идентичности C. С κ антимультипликативный, κ(vw) = κ(ш)κ(v) для всех .
Как следствие непрерывности, коумножение на C коассоциативный.
В целом, C биалгебра и C0 является * -алгеброй Хопфа.
Неофициально C можно рассматривать как * -алгебру непрерывных комплекснозначных функций над компактной матричной квантовой группой, а ты можно рассматривать как конечномерное представление компактной матричной квантовой группы.
Компактные квантовые группы
Для C * -алгебр А и B действующие на гильбертовых пространствах ЧАС и K соответственно, их минимальное тензорное произведение определяется как пополнение по норме алгебраического тензорного произведения А ⊗ B в B(ЧАС ⊗ K); пополнение нормы также обозначается А ⊗ B.
Компактная квантовая группа[2][3] определяется как пара (C, Δ), куда C является унитальной сепарабельной C * -алгеброй и
- Δ: C → C ⊗ C является унитальным гомоморфизмом C * -алгебр, удовлетворяющим (Δ ⊗ id) Δ = (id ⊗ Δ) Δ;
- наборы {(C ⊗ 1) Δ (C)} и {(1 ⊗ C) Δ (C)} плотно в C ⊗ C.
Представления
Представление компактной матричной квантовой группы дается основная презентация * -алгебры Хопфа[4] Кроме того, представление, v, называется унитарной, если матрица для v унитарен, или, что то же самое, если
Пример
Примером компактной матричной квантовой группы является SUμ(2),[5] где параметр μ положительное действительное число.
Первое определение
SUμ(2) = (C(SUμ(2)), ты), куда C(SUμ(2)) C * -алгебра, порожденная α и γ, при условии
и
так что коумножение определяется , а коинверс определяется . Обратите внимание, что ты это представление, но не унитарное представительство. ты эквивалентно унитарному представлению
Второе определение
SUμ(2) = (C(SUμ(2)), ш), куда C(SUμ(2)) C * -алгебра, порожденная α и β, при условии
и
так что коумножение определяется , а коинверс определяется , . Обратите внимание, что ш является унитарным представлением. Реализации можно идентифицировать, приравняв .
Предельный случай
Если μ = 1, тогда SUμ(2) равна конкретной компактной группе SU (2).
Рекомендации
- ^ Воронович, С. «Компактные матричные псевдоконференции», Комм. Математика. Phys. 111 (1987), 613-665
- ^ Воронович, С. «Компактные квантовые группы». Примечания от http://www.fuw.edu.pl/~slworono/PDF-y/CQG3.pdf
- ^ van Daele, A. и Maes, Ann. «Заметки о компактных квантовых группах», arXiv: math / 9803122
- ^ корпредставление коассативной коассативной коалгебры А квадратная матрица
- ^ ван Дэле, А. и Ван, С. «Универсальные квантовые группы» Int. J. Math. (1996), 255-263.