Строительство сложной нулевой тетрады - Construction of a complex null tetrad

Расчеты в Формализм Ньюмана – Пенроуза (НП) из общая теория относительности обычно начинаются с построение сложной нулевой тетрады ${\displaystyle \{l^{a},n^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}}$, куда ${\displaystyle \{l^{a},n^{a}\}}$ пара настоящий нулевые векторы и ${\displaystyle \{m^{a},{\bar {m}}^{a}\}}$ пара сложный нулевые векторы. Эти тетрады векторов соблюдайте следующие условия нормализации и метрики, принимая пространственно-временную сигнатуру ${\displaystyle (-,+,+,+):}$

• ${\displaystyle l_{a}l^{a}=n_{a}n^{a}=m_{a}m^{a}={\bar {m}}_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,;}$
• ${\displaystyle l_{a}m^{a}=l_{a}{\bar {m}}^{a}=n_{a}m^{a}=n_{a}{\bar {m}}^{a}=0\,;}$
• ${\displaystyle l_{a}n^{a}=l^{a}n_{a}=-1\,,\;\;m_{a}{\bar {m}}^{a}=m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\,;}$
• ${\displaystyle g_{ab}=-l_{a}n_{b}-n_{a}l_{b}+m_{a}{\bar {m}}_{b}+{\bar {m}}_{a}m_{b}\,,\;\;g^{ab}=-l^{a}n^{b}-n^{a}l^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b}+{\bar {m}}^{a}m^{b}\,.}$

Только после тетрады ${\displaystyle \{l^{a},n^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}}$ построен, можно ли двигаться вперед, чтобы вычислить направленные производные, спиновые коэффициенты, коммутаторы, Скаляры Вейля-НП ${\displaystyle \Psi _{i}}$, Скаляры Риччи-NP ${\displaystyle \Phi _{ij}}$ и Скаляры Максвелла-NP ${\displaystyle \phi _{i}}$ и другие величины в формализме NP. Есть три наиболее часто используемых метода для построения сложной нулевой тетрады:

1. Все четыре тетрадных вектора равны неголономный комбинации ортонормированные голономные тетрады;^[1]
2. ${\displaystyle l^{a}}$ (или же ${\displaystyle n^{a}}$) выровнены с исходящим (или входящим) касательным векторным полем ноль радиальный геодезические, пока ${\displaystyle m^{a}}$ и ${\displaystyle {\bar {m}}^{a}}$ построены неголономным методом;^[2]
3. Тетрада, которая адаптирована к структуре пространства-времени с точки зрения 3 + 1, при этом предполагается ее общая форма и решаемые в ней функции тетрад.

В контексте ниже будет показано, как работают эти три метода.

Примечание: в дополнение к соглашению ${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$ используется в этой статье, другой используется ${\displaystyle \{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}}$.

Неголономная тетрада

Основной метод построения сложной нулевой тетрады - комбинация ортонормированных оснований.^[1] Для пространства-времени ${\displaystyle g_{ab}}$ с ортонормированной тетрадой ${\displaystyle \{\omega _{0}\,,\omega _{1}\,,\omega _{2}\,,\omega _{3}\}}$,

${\displaystyle g_{ab}=-\omega _{0}\omega _{0}+\omega _{1}\omega _{1}+\omega _{2}\omega _{2}+\omega _{3}\omega _{3}\,,}$

ковекторы ${\displaystyle \{l_{a}\,,n_{a}\,,m_{a}\,,{\bar {m}}_{a}\}}$ из неголономный комплексная нулевая тетрада может быть построена с помощью

${\displaystyle l_{a}dx^{a}={\frac {\omega _{0}+\omega _{1}}{\sqrt {2}}}\,,\quad n_{a}dx^{a}={\frac {\omega _{0}-\omega _{1}}{\sqrt {2}}}\,,}$
${\displaystyle m_{a}dx^{a}={\frac {\omega _{2}+i\omega _{3}}{\sqrt {2}}}\,,\quad {\bar {m}}_{a}dx^{a}={\frac {\omega _{2}-i\omega _{3}}{\sqrt {2}}}\,,}$

и тетрадные векторы ${\displaystyle \{l^{a}\,,n^{a}\,,m^{a}\,,{\bar {m}}^{a}\}}$ можно получить, подняв индексы ${\displaystyle \{l_{a}\,,n_{a}\,,m_{a}\,,{\bar {m}}_{a}\}}$ через обратную метрику ${\displaystyle g^{ab}}$.

Замечание: неголономная конструкция действительно соответствует локальному световой конус структура.^[1]

Пример: неголономная тетрада.

Учитывая метрику пространства-времени в форме (в сигнатуре (-, +, +, +))

${\displaystyle g_{ab}=-g_{tt}dt^{2}+g_{rr}dr^{2}+g_{\theta \theta }d\theta ^{2}+g_{\phi \phi }d\phi ^{2}\,,}$

поэтому неголономные ортонормированные ковекторы

${\displaystyle \omega _{t}={\sqrt {g_{tt}}}dt\,,\;\;\omega _{r}={\sqrt {g_{rr}}}dr\,,\;\;\omega _{\theta }={\sqrt {g_{\theta \theta }}}d\theta \,,\;\;\omega _{\phi }={\sqrt {g_{\phi \phi }}}d\phi \,,}$

поэтому неголономные нулевые ковекторы равны

${\displaystyle l_{a}dx^{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {g_{tt}}}dt+{\sqrt {g_{rr}}}dr)\,,}$ ${\displaystyle n_{a}dx^{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {g_{tt}}}dt-{\sqrt {g_{rr}}}dr)\,,}$

${\displaystyle m_{a}dx^{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {g_{\theta \theta }}}d\theta +i{\sqrt {g_{\phi \phi }}}d\phi )\,,}$ ${\displaystyle {\bar {m}}_{a}dx^{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {g_{\theta \theta }}}d\theta -i{\sqrt {g_{\phi \phi }}}d\phi )\,.}$

л^а (п^а) выровнен с нулевыми радиальными геодезическими

В Пространство-время Минковского, неголономно построенные нулевые векторы ${\displaystyle \{l^{a}\,,n^{a}\}}$ соответственно соответствуют исходящему и входящему нулевой радиальный лучи. В качестве расширения этой идеи в общих искривленных пространствах-времени, ${\displaystyle \{l^{a}\,,n^{a}\}}$ все еще можно выровнять с касательным векторным полем нулевого радиального соответствие.^[2] Однако этот тип адаптации работает только для ${\displaystyle \{t,r,\theta ,\phi \}}$, ${\displaystyle \{u,r,\theta ,\phi \}}$ или же ${\displaystyle \{v,r,\theta ,\phi \}}$ координаты, где радиальный поведение можно хорошо описать с помощью ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ обозначают исходящую (запаздывающую) и входящую (опережающую) нулевую координату соответственно.

Пример: нулевая тетрада для метрики Шварцшильда в координатах Эддингтона-Финкельштейна

Метрика Шварцшильда в координатах Эддингтона-Финкельштейна имеет вид

${\displaystyle ds^{2}=-Fdv^{2}+2dvdr+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\phi ^{2})\,,\;\;{\text{with }}F\,:=\,{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}\,,}$

поэтому лагранжиан для нулевого радиального геодезические пространства-времени Шварцшильда равно

${\displaystyle L=-F{\dot {v}}^{2}+2{\dot {v}}{\dot {r}}\,,}$

который имеет входящий решение ${\displaystyle {\dot {v}}=0}$ и исходящее решение ${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {F}{2}}{\dot {v}}}$. Теперь можно построить сложную нулевую тетраду, которая адаптирована к входящим нулевым радиальным геодезическим:

${\displaystyle l^{a}=(1,{\frac {F}{2}},0,0)\,,\quad n^{a}=(0,-1,0,0)\,,\quad m^{a}={\frac {1}{{\sqrt {2}}\,r}}(0,0,1,i\,\csc \theta )\,,}$

поэтому ковекторы двойственного базиса

${\displaystyle l_{a}=(-{\frac {F}{2}},1,0,0)\,,\quad n_{a}=(-1,0,0,0)\,,\quad m_{a}={\frac {r}{\sqrt {2}}}(0,0,1,i\sin \theta )\,.}$

Здесь мы использовали условие кросс-нормализации ${\displaystyle l^{a}n_{a}=n^{a}l_{a}=-1}$ а также требование, чтобы ${\displaystyle g_{ab}+l_{a}n_{b}+n_{a}l_{b}}$ должна охватывать индуцированную метрику ${\displaystyle h_{AB}}$ для сечений {v = constant, r = constant}, где ${\displaystyle dv}$ и ${\displaystyle dr}$ не являются взаимно ортогональными. Кроме того, оставшиеся два тетрадных (со) вектора строятся неголономно. Определив тетраду, теперь можно найти соответственно спиновые коэффициенты, скаляры Вейля-Np и скаляры Риччи-NP, которые

${\displaystyle \kappa =\sigma =\tau =0\,,\quad \nu =\lambda =\pi =0\,,\quad \gamma =0}$
${\displaystyle \rho ={\frac {-r+2M}{2r^{2}}}\,,\quad \mu =-{\frac {1}{r}}\,,\quad \alpha =-\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta }{4r}}\,,\quad \varepsilon ={\frac {M}{2r^{2}}}\,;}$

${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {M}{r^{3}}}\,,}$

${\displaystyle \Phi _{00}=\Phi _{10}=\Phi _{20}=\Phi _{11}=\Phi _{12}=\Phi _{22}=\Lambda =0\,.}$

Пример: нулевая тетрада для экстремальной метрики Рейсснера – Нордстрёма в координатах Эддингтона-Финкельштейна

Метрика Рейсснера – Нордстрёма в входящих координатах Эддингтона-Финкельштейна имеет вид

${\displaystyle ds^{2}=-Gdv^{2}+2dvdr+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\!\theta \,d\phi ^{2}\,,\;\;{\text{with }}G\,:=\,{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{2}\,,}$

так что лагранжиан

${\displaystyle 2L=-G{\dot {v}}^{2}+2{\dot {v}}{\dot {r}}+r^{2}({\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\,.}$

Для нулевых радиальных геодезических с ${\displaystyle \{L=0\,,{\dot {\theta }}=0\,,{\dot {\phi }}=0\}}$, есть два решения

${\displaystyle {\dot {v}}=0}$ (входящий) и ${\displaystyle {\dot {r}}=2F{\dot {v}}}$ (исходящий),

и поэтому тетраду для входящего наблюдателя можно настроить как

${\displaystyle l^{a}\partial _{a}\,=\,{\Big (}1\,,{\frac {F}{2}}\,,0\,,0{\Big )}\,,\quad n^{a}\partial _{a}\,=\,{\Big (}0\,,-1\,,0\,,0{\Big )}\,,}$

${\displaystyle l_{a}dx^{a}\,=\,{\Big (}-{\frac {F}{2}}\,,1\,,0,0{\Big )}\,,\quad n_{a}dx^{a}\,=\,{\Big (}-1\,,0\,,0\,,0{\Big )}\,,}$

${\displaystyle m^{a}\partial _{a}\,=\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\Big (}0\,,0\,,{\frac {1}{r}}\,,{\frac {i}{r\sin \theta }}{\Big )}\,,\quad m_{a}dx^{a}\,=\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,{\Big (}0\,,0\,,r\,,i\sin \theta {\Big )}\,.}$

Определив тетраду, мы теперь можем вычислить спиновые коэффициенты, скаляры Вейля-NP и скаляры Риччи-NP, которые

${\displaystyle \kappa =\sigma =\tau =0\,,\quad \nu =\lambda =\pi =0\,,\quad \gamma =0}$
${\displaystyle \rho ={\frac {(r-M)^{2}}{2r^{3}}}\,,\quad \mu =-{\frac {1}{r}}\,,\quad \alpha =-\beta ={\frac {-{\sqrt {2}}\cot \theta }{4r}}\,,\quad \varepsilon ={\frac {M(r-M)}{2r^{3}}}\,;}$

${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0\,,\quad \Psi _{2}=-{\frac {(Mr-M)}{r^{4}}}\,,}$

${\displaystyle \Phi _{00}=\Phi _{10}=\Phi _{20}=\Phi _{12}=\Phi _{22}=\Lambda =0\,,\quad \Phi _{11}=-{\frac {M^{2}}{2r^{4}}}\,.}$

Тетрады адаптированы к пространственно-временной структуре

В некоторых типичных пограничных областях, таких как ноль бесконечность, подобная времени бесконечность, космический бесконечность, черная дыра горизонты и космологические горизонты, нуль-тетрады, адаптированные к пространственно-временным структурам, обычно используются для достижения наиболее кратких Ньюман – Пенроуз описания.

Тетрада Ньюмана-Унти для нулевой бесконечности

Для нулевой бесконечности классическая тетрада Ньюмана-Унти (NU)^[3][4][5] используется для обучения асимптотическое поведение в нулевая бесконечность,

${\displaystyle l^{a}\partial _{a}=\partial _{r}:=D\,,}$
${\displaystyle n^{a}\partial _{a}=\partial _{u}+U\partial _{r}+X\partial _{\varsigma }+{\bar {X}}\partial _{\bar {\varsigma }}:=\Delta \,,}$
${\displaystyle m^{a}\partial _{a}=\omega \partial _{r}+\xi ^{3}\partial _{\varsigma }+\xi ^{4}\partial _{\bar {\varsigma }}:=\delta \,,}$
${\displaystyle {\bar {m}}^{a}\partial _{a}={\bar {\omega }}\partial _{r}+{\bar {\xi }}^{3}\partial _{\bar {\varsigma }}+{\bar {\xi }}^{4}\partial _{\varsigma }:={\bar {\delta }}\,,}$

куда ${\displaystyle \{U,X,\omega ,\xi ^{3},\xi ^{4}\}}$ - решаемые тетрадные функции. Для тетрады NU листы слоения параметризованы исходящий (расширенный) нулевая координата ${\displaystyle u}$ с ${\displaystyle l_{a}=du}$, и ${\displaystyle r}$ нормализованный аффинный координировать ${\displaystyle l^{a}}$ ${\displaystyle (Dr=l^{a}\partial _{a}r=1)}$; входящий нулевой вектор ${\displaystyle n^{a}}$ действует как нулевой генератор в нулевой бесконечности с ${\displaystyle \Delta u=n^{a}\partial _{a}u=1}$. Координаты ${\displaystyle \{u,r,\varsigma ,{\bar {\varsigma }}\}}$ содержат две действительные аффинные координаты ${\displaystyle \{u,r\}}$ и два сложных стереографический координаты ${\displaystyle \{\varsigma :=e^{i\phi }\cot {\frac {\theta }{2}},{\bar {\varsigma }}=e^{-i\phi }\cot {\frac {\theta }{2}}\}}$, куда ${\displaystyle \{\theta ,\phi \}}$ - обычные сферические координаты на поперечном сечении ${\displaystyle {\hat {\Delta }}_{u}=S_{u}^{2}}$ (как показано в ссылке,^[5] сложный стереографический скорее, чем настоящий изотермический координаты используются только для удобства полного решения уравнений NP).

Также для тетрады NU основными калибровочными условиями являются

${\displaystyle \kappa =\pi =\varepsilon =0\,,\quad \rho ={\bar {\rho }}\,,\quad \tau ={\bar {\alpha }}+\beta \,.}$

Адаптированная тетрада для экстерьеров и ближнего приближения изолированных горизонтов

Для более полного представления черных дыр в квазилокальных определениях адаптированы тетрады, которые можно плавно переходить от внешнего к внешнему. ближняя близость и к горизонтам требуются. Например, для изолированные горизонты описывая черные дыры, находящиеся в равновесии с их внешней стороной, можно построить такую ​​тетраду и связанные с ней координаты.^{[6][7][8][9][10][11]} Выберите первый настоящий нулевой ковектор ${\displaystyle n_{a}}$ как градиент слоения уходит

${\displaystyle n_{a}\,=-dv\,,}$
куда ${\displaystyle v}$ это входящий (отсталый) Эддингтона – Финкельштейна нулевая координата, которая помечает сечения слоения и действует как аффинный параметр по отношению к исходящему нулевому векторному полю ${\displaystyle l^{a}\partial _{a}}$, т.е.

${\displaystyle Dv=1\,,\quad \Delta v=\delta v={\bar {\delta }}v=0\,.}$
Введите вторую координату ${\displaystyle r}$ в качестве аффинного параметра вдоль входящего нулевого векторного поля ${\displaystyle n^{a}}$, который подчиняется нормировке

${\displaystyle n^{a}\partial _{a}r\,=\,-1\;\Leftrightarrow \;n^{a}\partial _{a}\,=\,-\partial _{r}\,.}$

Теперь первый действительный вектор нулевой тетрады ${\displaystyle n^{a}}$ фиксированный. Чтобы определить оставшиеся тетрадные векторы ${\displaystyle \{l^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}}$ и их ковекторов, помимо основных условий кросс-нормализации, также требуется, чтобы: (i) исходящее нулевое нормальное поле ${\displaystyle l^{a}}$ действует как нулевые генераторы; (ii) нулевой фрейм (ковекторы) ${\displaystyle \{l_{a},n_{a},m_{a},{\bar {m}}_{a}\}}$ параллельно распространяются по ${\displaystyle n^{a}\partial _{a}}$; (iii) ${\displaystyle \{m^{a},{\bar {m}}^{a}\}}$ охватывает сечения {t = constant, r = constant}, отмеченные настоящий изотермические координаты ${\displaystyle \{y,z\}}$.

Тетрады, удовлетворяющие указанным ограничениям, можно выразить в общем виде:

${\displaystyle l^{a}\partial _{a}=\partial _{v}+U\partial _{r}+X^{3}\partial _{y}+X^{4}\partial _{z}\,:=\,D\,,}$
${\displaystyle n^{a}\partial _{a}=-\partial _{r}\,:=\,\Delta \,,}$
${\displaystyle m^{a}\partial _{a}=\Omega \partial _{r}+\xi ^{3}\partial _{y}+\xi ^{4}\partial _{z}\,:=\,\delta \,,}$
${\displaystyle {\bar {m}}^{a}\partial _{a}={\bar {\Omega }}\partial _{r}+{\bar {\xi }}^{3}\partial _{y}+{\bar {\xi }}^{4}\partial _{z}\,:=\,{\bar {\delta }}\,.}$

Калибровочные условия в этой тетраде следующие:

${\displaystyle \nu =\tau =\gamma =0\,,\quad \mu ={\bar {\mu }}\,,\quad \pi =\alpha +{\bar {\beta }}\,,}$

Примечание: в отличие от Координаты типа Шварцшильда, здесь r = 0 представляет горизонт, а r> 0 (r <0) соответствует внешнему (внутреннему) изолированному горизонту. Люди часто Тейлор развернуть скаляр ${\displaystyle Q}$ функция относительно горизонта r = 0,

${\displaystyle Q=\sum _{i=0}Q^{(i)}r^{i}=Q^{(0)}+Q^{(1)}r+\cdots +Q^{(n)}r^{n}+\ldots }$

куда ${\displaystyle Q^{(0)}}$ относится к его значению на горизонте. Сами координаты, использованные в приведенной выше адаптированной тетраде, на самом деле являются Гауссовские нулевые координаты используется при изучении ближней геометрии и механики черных дыр.

Смотрите также

• Формализм Ньюмана – Пенроуза

Рекомендации

1. Дэвид МакМахон. Демистификация теории относительности - Руководство для самообучения. Глава 9: Нулевые тетрады и классификация Петрова. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, 2006.
2. Субраманян Чандрасекар. Математическая теория черных дыр. Раздел ξ20, Раздел ξ21, Раздел ξ41, Раздел ξ56, Раздел ξ63 (b). Чикаго: Университет Чикаго Пресс, 1983.
3. Эзра Т. Ньюман, Теодор В. Дж. Унти. Поведение асимптотически плоских пустых пространств. Журнал математической физики, 1962 г., 3(5): 891-901.
4. Эзра Т. Ньюман, Роджер Пенроуз. Подход к гравитационному излучению методом спиновых коэффициентов. Раздел IV. Журнал математической физики, 1962 г., 3(3): 566-768.
5. E. Т. Ньюман, К. П. Тод. Асимптотически плоское пространство-время, Приложение Б. В (Редактор): Общая теория относительности и гравитация: сто лет после рождения Альберта Эйнштейна. Том (2), страницы 1-34. Нью-Йорк и Лондон: Plenum Press, 1980.
6. Сяонин Ву, Сиджи Гао. Эффект туннелирования вблизи слабо изолированного горизонта. Physical Review D, 2007 г., 75(4): 044027. arXiv: gr-qc / 0702033v1
7. Сяонин Ву, Чао-Гуан Хуан, Цзя-Жуй Сунь. О гравитационной аномалии и излучении Хокинга у слабоизолированного горизонта. Physical Review D, 2008 г., 77(12): 124023. arXiv: 0801.1347v1 (gr-qc)
8. Ю-Хуэй Ву, Чи-Хунг Ван. Гравитационное излучение типичных изолированных горизонтов. arXiv: 0807.2649v1 (gr-qc)
9. Сяо-Нин Ву, Ю Тянь. Экстремальный изолированный горизонт / соответствие CFT. Physical Review D, 2009 г., 80(2): 024014. arXiv: 0904.1554 (hep-th)
10. Ю-Хуэй Ву, Чи-Хунг Ван. Гравитационные излучения типичных изолированных горизонтов и невращающихся динамических горизонтов из асимптотических разложений. Physical Review D, 2009 г., 80(6): 063002. arXiv: 0906.1551v1 (gr-qc)
11. Бадри Кришнан. Пространство-время в окрестности общей изолированной черной дыры. arXiv: 1204.4345v1 (gr-qc)