Конвей – Максвелл – биномиальное распределение - Conway–Maxwell–binomial distribution - Wikipedia

Конвей – Максвелл – бином

Параметры	${\displaystyle n\in \{1,2,\ldots \},}$ ${\displaystyle 0\leq p\leq 1,}$ ${\displaystyle -\infty <\nu <\infty }$
Поддерживать	${\displaystyle x\in \{0,1,2,\dots ,n\}}$
PMF	${\displaystyle {\frac {1}{C_{n,p,\nu }}}{\binom {n}{x}}^{\nu }p^{j}(1-p)^{n-x}}$
CDF	${\displaystyle \sum _{i=0}^{x}\Pr(X=i)}$
Иметь в виду	Нет в списке
Медиана	Нет закрытой формы
Режим	См. Текст
Дисперсия	Нет в списке
Асимметрия	Нет в списке
Бывший. эксцесс	Нет в списке
Энтропия	Нет в списке
MGF	См. Текст
CF	См. Текст

В теория вероятности и статистика, то Конвей – Максвелл – бином (CMB) распределение - это трехпараметрическое дискретное распределение вероятностей, которое обобщает биномиальное распределение аналогично тому, как Распределение Конвея – Максвелла – Пуассона. обобщает распределение Пуассона. Распределение реликтового излучения можно использовать для моделирования как положительной, так и отрицательной связи между Бернулли слагаемые ,.^[1][2]

В распределение был введен Шумели и др. (2005),^[1] и название Конвея – Максвелла – биномиальное распределение было независимо введено Кадейном (2016) ^[2] и Дейли и Гонт (2016).^[3]

Вероятностная функция масс

Биномиальное распределение Конвея – Максвелла (CMB) имеет функция массы вероятности

${\displaystyle \Pr(Y=j)={\frac {1}{C_{n,p,\nu }}}{\binom {n}{j}}^{\nu }p^{j}(1-p)^{n-j}\,,\qquad j\in \{0,1,\ldots ,n\},}$

куда ${\displaystyle n\in \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}$, ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ и ${\displaystyle -\infty <\nu <\infty }$. В нормализующая константа ${\displaystyle C_{n,p,\nu }}$ определяется

${\displaystyle C_{n,p,\nu }=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}^{\nu }p^{i}(1-p)^{n-i}.}$

Если случайная переменная ${\displaystyle Y}$ имеет указанную выше функцию масс, то мы пишем ${\displaystyle Y\sim \operatorname {CMB} (n,p,\nu )}$.

Дело ${\displaystyle \nu =1}$ обычное биномиальное распределение ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Bin} (n,p)}$.

Связь с распределением Конвея – Максвелла – Пуассона.

Следующая связь между случайными величинами Конвея – Максвелла – Пуассона (CMP) и CMB ^[1] обобщает известный результат о пуассоновских и биномиальных случайных величинах. Если ${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {CMP} (\lambda _{1},\nu )}$ и ${\displaystyle X_{2}\sim \operatorname {CMP} (\lambda _{2},\nu )}$ находятся независимый, тогда ${\displaystyle X_{1}\,|\,X_{1}+X_{2}=n\sim \operatorname {CMB} (n,\lambda _{1}/(\lambda _{1}+\lambda _{2}),\nu )}$.

Сумма возможных ассоциированных случайных величин Бернулли

Случайная величина ${\displaystyle Y\sim \operatorname {CMB} (n,p,\nu )}$ может быть написано ^[1] как сумма обмениваемый Случайные величины Бернулли ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{n}}$ удовлетворение

${\displaystyle \Pr(Z_{1}=z_{1},\ldots ,Z_{n}=z_{n})={\frac {1}{C_{n,p,\nu }}}{\binom {n}{k}}^{\nu -1}p^{k}(1-p)^{n-k},}$

куда ${\displaystyle k=z_{1}+\cdots +z_{n}}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle \operatorname {E} Z_{1}\not =p}$ в общем, если только ${\displaystyle \nu =1}$.

Производящие функции

Позволять

${\displaystyle T(x,\nu )=\sum _{k=0}^{n}x^{k}{\binom {n}{k}}^{\nu }.}$

Затем функция, производящая вероятность, функция, производящая момент и характеристическая функция даются соответственно:^[2]

${\displaystyle G(t)={\frac {T(tp/(1-p),\nu )}{T(p(1-p),\nu )}},}$

${\displaystyle M(t)={\frac {T(\mathrm {e} ^{t}p/(1-p),\nu )}{T(p(1-p),\nu )}},}$

${\displaystyle \varphi (t)={\frac {T(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}p/(1-p),\nu )}{T(p(1-p),\nu )}}.}$

Моменты

Для общего ${\displaystyle \nu }$, не существует выражений в закрытой форме для моменты распределения CMB. Следующие аккуратные формула доступен, однако.^[3] Позволять ${\displaystyle (j)_{r}=j(j-1)\cdots (j-r+1)}$ обозначить падающий факториал. Позволять ${\displaystyle Y\sim \operatorname {CMB} (n,p,\nu )}$, куда ${\displaystyle \nu >0}$. потом

${\displaystyle \operatorname {E} [((Y)_{r})^{\nu }]={\frac {C_{n-r,p,\nu }}{C_{n,p,\nu }}}((n)_{r})^{\nu }p^{r}\,,}$

за ${\displaystyle r=1,\ldots ,n-1}$.

Режим

Позволять ${\displaystyle Y\sim \operatorname {CMB} (n,p,\nu )}$ и определить

${\displaystyle a={\frac {n+1}{1+\left({\frac {1-p}{p}}\right)^{1/\nu }}}.}$

Тогда Режим из ${\displaystyle Y}$ является ${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$ если ${\displaystyle a}$ не является целое число. В противном случае режимы ${\displaystyle Y}$ находятся ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle a-1}$.^[3]

Характеристика Штейна

Позволять ${\displaystyle Y\sim \operatorname {CMB} (n,p,\nu )}$, и предположим, что ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{+}\mapsto \mathbb {R} }$ таково, что ${\displaystyle \operatorname {E} |f(Y+1)|<\infty }$ и ${\displaystyle \operatorname {E} |Y^{\nu }f(Y)|<\infty }$. потом ^[3]

${\displaystyle \operatorname {E} [p(n-Y)^{\nu }f(Y+1)-(1-p)Y^{\nu }f(Y)]=0.}$

Аппроксимация распределением Конвея – Максвелла – Пуассона.

Исправить ${\displaystyle \lambda >0}$ и ${\displaystyle \nu >0}$ и разреши ${\displaystyle Y_{n}\sim \mathrm {CMB} (n,\lambda /n^{\nu },\nu )}$ потом ${\displaystyle Y_{n}}$ сходится в раздаче ${\displaystyle \mathrm {CMP} (\lambda ,\nu )}$ распространение как ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$.^[3] Этот результат обобщает классическое пуассоновское приближение биномиального распределения.

Биномиальное распределение Конвея – Максвелла – Пуассона.

Позволять ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ - случайные величины Бернулли с совместное распределение данный

${\displaystyle \Pr(X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{n}=x_{n})={\frac {1}{C_{n}'}}{\binom {n}{k}}^{\nu -1}\prod _{j=1}^{n}p_{j}^{x_{j}}(1-p_{j})^{1-x_{j}},}$

куда ${\displaystyle k=x_{1}+\cdots +x_{n}}$ и нормирующая постоянная ${\displaystyle C_{n}^{\prime }}$ дан кем-то

${\displaystyle C_{n}'=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{\nu -1}\sum _{A\in F_{k}}\prod _{i\in A}p_{i}\prod _{j\in A^{c}}(1-p_{j}),}$

куда

${\displaystyle F_{k}=\left\{A\subseteq \{1,\ldots ,n\}:|A|=k\right\}.}$

Позволять ${\displaystyle W=X_{1}+\cdots +X_{n}}$. потом ${\displaystyle W}$ имеет функцию массы

${\displaystyle \Pr(W=k)={\frac {1}{C_{n}'}}{\binom {n}{k}}^{\nu -1}\sum _{A\in F_{k}}\prod _{i\in A}p_{i}\prod _{j\in A^{c}}(1-p_{j}),}$

за ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,n}$. Это распределение обобщает Биномиальное распределение Пуассона способом, аналогичным обобщениям CMP и CMB пуассоновского и биномиального распределений. Поэтому такая случайная величина называется ^[3] следовать биномиальному распределению Конвея – Максвелла – Пуассона (CMPB). Это не следует путать с довольно неудачной терминологией Конвея – Максвелла – Пуассона – бинома, которая использовалась ^[1] для распределения CMB.

Дело ${\displaystyle \nu =1}$ - обычное биномиальное распределение Пуассона и случай ${\displaystyle p_{1}=\cdots =p_{n}=p}$ это ${\displaystyle \operatorname {CMB} (n,p,\nu )}$ распределение.

Рекомендации

1. Шмуэли Г., Минка Т., Кадане Дж. Б., Борле С., Боутрайт П. Б. «Полезное распределение для подгонки дискретных данных: возрождение распределения Конвея – Максвелла – Пуассона». Журнал Королевского статистического общества: Серия C (Прикладная статистика) 54.1 (2005): 127–142.[1]
2. Кадане, Дж. Б. «Суммы возможных связанных переменных Бернулли: биномиальное распределение Конвея – Максвелла». Байесовский анализ 11 (2016): 403–420.
3. Дейли Ф. и Гонт Р. «Распределение Конвея – Максвелла – Пуассона: теория распределений и приближение». Латиноамериканский журнал вероятностей и математической статистики ALEA 13 (2016): 635–658.