Теорема Крамерса (алгебраические кривые) - Cramers theorem (algebraic curves) - Wikipedia

В математика, Теорема Крамера об алгебраических кривых дает необходимо и достаточно количество очков в реальном самолет падение на алгебраическая кривая для однозначного определения кривой в невырожденных случаях. Это число

${\displaystyle {\frac {n(n+3)}{2}},}$

куда п это степень кривой. Теорема связана с Габриэль Крамер, опубликовавший его в 1750 году.^[1]

Например, линия (степени 1) определяется двумя различными точками на ней: одна и только одна линия проходит через эти две точки. Точно так же невырожденная коника (полиномиальное уравнение в Икс и у с суммой их степеней в любом члене, не превышающей 2, следовательно, со степенью 2) однозначно определяется 5 баллами в общая позиция (никакие три из которых не находятся на прямой).

Интуиция конического случая такова: предположим, что данные точки падают, в частности, на эллипс. Тогда для идентификации эллипса необходимо и достаточно пяти частей информации: горизонтальное положение центра эллипса, вертикальное положение центра, большая ось (длина самого длинного аккорд ), малая ось (длина самой короткой хорды через центр, перпендикуляр к большой оси), а эллипса вращательная ориентация (степень отклонения большой оси от горизонтали). Пяти баллов в общей позиции достаточно, чтобы предоставить эти пять частей информации, а четырех - нет.

Вывод формулы

Количество различных членов (в том числе с нулевым коэффициентом) в п-уравнение степени с двумя переменными есть (п + 1)(п + 2) / 2. Это потому, что птермины-й степени ${\displaystyle x^{n},\,x^{n-1}y^{1},\,\dots ,\,y^{n},}$ нумерация п + 1 всего; (п - 1) термины степени являются ${\displaystyle x^{n-1},\,x^{n-2}y^{1},\,\dots ,\,y^{n-1},}$ нумерация п в итоге; и так далее до первой степени ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y,}$ нумерация всего 2 и единственный член нулевой степени (константа). Их сумма равна (п + 1) + п + (п – 1) + ... + 2 + 1 = (п + 1)(п + 2) / 2 члена, каждый со своим коэффициент. Однако один из этих коэффициентов является избыточным при определении кривой, потому что мы всегда можем разделить полиномиальное уравнение на любой из коэффициентов, получив эквивалентное уравнение с одним коэффициентом, установленным на 1, и, таким образом, [(п + 1)(п + 2) / 2] − 1 = п(п + 3) / 2 оставшихся коэффициента.

Например, уравнение четвертой степени имеет общий вид

${\displaystyle x^{4}+c_{1}x^{3}y+c_{2}x^{2}y^{2}+c_{3}xy^{3}+c_{4}y^{4}+c_{5}x^{3}+c_{6}x^{2}y+c_{7}xy^{2}+c_{8}y^{3}+c_{9}x^{2}+c_{10}xy+c_{11}y^{2}+c_{12}x+c_{13}y+c_{14}=0,}$

с коэффициентами 4 (4 + 3) / 2 = 14.

Определение алгебраической кривой через набор точек состоит из определения значений этих коэффициентов в алгебраическом уравнении, так что каждая из точек удовлетворяет уравнению. Данный п(п + 3) / 2 балла (Икс_я, у_я) каждая из этих точек может быть использована для создания отдельного уравнения, подставив его в общее полиномиальное уравнение степени п, давая п(п + 3) / 2 уравнения, линейных относительно п(п + 3) / 2 неизвестных коэффициента. Если эта система невырождена в смысле наличия ненулевого детерминант, неизвестные коэффициенты определяются однозначно и, следовательно, полиномиальное уравнение и его кривая определены однозначно. Больше, чем это количество точек будет избыточным, и меньшего будет недостаточно для однозначного решения системы уравнений для коэффициентов.

Вырожденные случаи

Пример вырожденного случая, когда п(п + 3) / 2 точки на кривой недостаточны для однозначного определения кривой, было предоставлено Крамером как часть Парадокс Крамера. Пусть степень будет п = 3, и пусть девять точек - это все комбинации Икс = –1, 0, 1 и у = –1, 0, 1. Более чем одна кубика содержит все эти точки, а именно все кубики уравнения ${\displaystyle a(x^{3}-x)+b(y^{3}-y)=0.}$ Таким образом, эти точки не определяют единственную кубику, даже если есть п(п + 3) / 2 = 9 из них. В более общем смысле существует бесконечное множество кубик, которые проходят через девять точек пересечения двух кубик (Теорема Безу означает, что две кубики имеют, в общем, девять точек пересечения)

Аналогично, для конического случая п = 2, если три из пяти заданных точек попадают на одну прямую, они не могут однозначно определять кривую.

Ограниченные случаи

Если кривая должна быть в определенной подкатегории пполиномиальных уравнений -й степени, то меньше чем п(п + 3) / 2 точки могут быть необходимы и достаточны для определения уникальной кривой. Например, общий круг дается уравнением ${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}$ где центр расположен в (а, б) и радиус является р. Эквивалентно, расширяя квадраты членов, общее уравнение ${\displaystyle x^{2}-2ax+y^{2}-2by=k,}$ куда ${\displaystyle k=r^{2}-a^{2}-b^{2}.}$ Здесь наложены два ограничения по сравнению с общим коническим случаем п = 2: коэффициент при члене в ху ограничивается равным 0, а коэффициент при у² ограничивается равным коэффициенту Икс². Таким образом, вместо пяти точек нужно всего 5 - 2 = 3, что совпадает с 3 параметрами. а, б, k (эквивалентно а, б, р), которые необходимо идентифицировать.

Смотрите также

• Пять точек определяют конус

Рекомендации

1. * Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques в Google Книги. Женева: Frères Cramer & Cl. Филибер, 1750 г.