Кубическое поле - Cubic field

В математика, в частности, район алгебраическая теория чисел, а кубическое поле является поле алгебраических чисел из степень три.

Определение

Если K это расширение поля рациональных чисел Q из степень [K:Q] = 3, тогда K называется кубическое поле. Любое такое поле изоморфно полю вида

{displaystyle mathbf {Q} [x] / (f (x))}

куда ж является несводимый кубический многочлен с коэффициентами в Q. Если ж имеет три настоящий корни, тогда K называется полностью реальное кубическое поле и это пример полностью реальное поле. Если же, с другой стороны, ж имеет ненастоящий корень, тогда K называется сложное кубическое поле.

Кубическое поле K называется циклическое кубическое поле, если он содержит все три корня своего порождающего многочлена ж. Эквивалентно, K является циклическим кубическим полем, если оно Расширение Галуа из Q, в этом случае его Группа Галуа над Q является циклический из порядок три. Это может произойти, только если K абсолютно реально. Это редкое явление в том смысле, что если набор кубических полей упорядочен по дискриминант, то доля кубических полей, которые являются циклическими, стремится к нулю, поскольку граница дискриминанта приближается к бесконечности.^[1]

Кубическое поле называется чистое кубическое поле, если его можно получить присоединением действительного кубического корня ${displaystyle {sqrt [{3}] {n}}}$ положительного целого числа без кубов п в поле рациональных чисел Q. Такие поля всегда являются комплексными кубическими полями, поскольку каждое положительное число имеет два комплексных невещественных кубических корня.

Примеры

Присоединение действительного кубического корня из 2 к рациональным числам дает кубическое поле ${displaystyle mathbf {Q} ({sqrt [{3}] {2}})}$ . Это пример чистого кубического поля и, следовательно, комплексного кубического поля. Фактически, из всех чистых кубических полей оно имеет наименьший дискриминант (в абсолютная величина ), а именно −108.^[2]
Комплексное кубическое поле, полученное присоединением к Q корень Икс³ + Икс² − 1 не чисто. У него самый маленький дискриминант (по модулю) из всех кубических полей, а именно −23.^[3]
Примыкание к корню Икс³ + Икс² − 2Икс − 1 к Q дает циклическое кубическое поле и, следовательно, вполне реальное кубическое поле. У него самый маленький дискриминант из всех вполне реальных кубических полей, а именно 49.^[4]
Поле, полученное присоединением к Q корень Икс³ + Икс² − 3Икс − 1 является примером полностью реального кубического поля, которое не является циклическим. Его дискриминант равен 148, наименьший дискриминант нециклического вполне вещественного кубического поля.^[5]
Нет циклотомические поля кубичны, поскольку степень кругового поля равна φ (п), где φ - Функция Эйлера, который принимает только четные значения (кроме φ (1) = φ (2) = 1).

Замыкание Галуа

Циклическое кубическое поле K свой собственный Замыкание Галуа с группой Галуа Gal (K/Q), изоморфная циклической группе третьего порядка. Однако любое другое кубическое поле K является расширением без галуа Q и имеет расширение поля N степени два как ее замыкание Галуа. Группа Галуа Gal (N/Q) изоморфна симметричная группа S₃ на трех буквах.

Связанное квадратичное поле

Дискриминант кубического поля K можно записать однозначно как df² куда d это основной дискриминант. Потом, K циклично тогда и только тогда, когда d = 1, и в этом случае единственное подполе K является Q сам. Если d ≠ 1, то замыкание Галуа N из K содержит уникальный квадратичное поле k чей дискриминант d (в случае d = 1, подполе Q иногда рассматривается как «вырожденное» квадратичное поле дискриминанта 1). В дирижер из N над k является ж, и ж² это относительный дискриминант из N над K. Дискриминант N является d³ж⁴.^[6]^[7]

Поле K является чисто кубическим полем тогда и только тогда, когда d = −3. Это тот случай, когда квадратичное поле, содержащееся в замыкании Галуа K - круговое поле кубических корней из единицы.^[7]

Дискриминантный

Синие крестики - это количество вполне вещественных кубических полей ограниченного дискриминанта. Черная линия - это асимптотическое распределение первого порядка, а зеленая линия включает член второго порядка.^[8]

Синие крестики - это количество комплексных кубических полей ограниченного дискриминанта. Черная линия - это асимптотическое распределение первого порядка, а зеленая линия включает член второго порядка.^[8]

Поскольку знак дискриминант числового поля K равно (−1)^р₂, куда р₂ - количество сопряженных пар комплексных вложений K в C, дискриминант кубического поля будет положительным именно тогда, когда поле полностью вещественно, и отрицательным, если это комплексное кубическое поле.

Учитывая какое-то реальное число N > 0 кубических полей конечное число K чей дискриминант D_K удовлетворяет |D_K| ≤ N.^[9] Известны формулы, вычисляющие разложение на простые числа D_K, поэтому его можно вычислить явно.^[10]

В отличие от квадратичных полей, несколько неизоморфных кубических полей K₁, ..., K_м может иметь один и тот же дискриминант D. Номер м этих полей называется множественность^[11] дискриминанта D. Вот несколько небольших примеров. м = 2 для D = −1836, 3969, м = 3 для D = −1228, 22356, м = 4 для D = −3299, 32009 и м = 6 для D = −70956, 3054132.

Любое кубическое поле K будет иметь форму K = Q(θ) для некоторого числа θ, являющегося корнем неприводимого многочлена

{displaystyle f (X) = X ^ {3} -aX + b}

с а и б оба являются целыми числами. В дискриминант из ж равно Δ = 4а³ − 27б². Обозначая дискриминант K к D, то индекс я(θ) точки θ тогда определяется как Δ =я(θ)²D.

В случае нециклического кубического поля K эта формула индекса может быть объединена с формулой проводника D = ж²d чтобы получить разложение полиномиального дискриминанта ∆ = я(θ)²ж²d в квадрат изделия я(θ)ж и дискриминант d квадратичного поля k связанный с кубическим полем K, куда d свободна от квадратов с точностью до множителя 2² или 2³. Георгий Вороной дал метод разделения я(θ) и ж в квадратной части Δ.^[12]

Изучение числа кубических полей, дискриминант которых меньше заданной границы, является актуальной областью исследований. Позволять N⁺(Икс) (соответственно N⁻(Икс)) обозначают количество вполне вещественных (соответственно комплексных) кубических полей, дискриминант которых ограничен Икс по абсолютной величине. В начале 1970-х гг. Гарольд Давенпорт и Ханс Хайльбронн определил первый член асимптотики N^±(Икс) (т.е. как Икс уходит в бесконечность).^[13]^[14] Путем анализа остаток из Дзета-функция Синтани, в сочетании с изучением таблиц кубических полей, составленных Каримом Белабасом (Белабас 1997 ) и немного эвристика Дэвид П. Робертс предположил более точную асимптотическую формулу:^[15]

{displaystyle N ^ {pm} (X) sim {frac {A_ {pm}} {12zeta (3)}} X + {frac {4zeta ({frac {1} {3}}) B_ {pm}} {5Gamma ( {frac {2} {3}}) ^ {3} zeta ({frac {5} {3}})}} X ^ {frac {5} {6}}}

куда А_± = 1 или 3, B_± = 1 или ${displaystyle {sqrt {3}}}$ , в вполне вещественном или комплексном случае ζ (s) это Дзета-функция Римана, и Γ (s) это Гамма-функция. Доказательства этой формулы опубликованы Бхаргава, Шанкар и Цимерман (2013) используя методы, основанные на более ранних работах Бхаргавы, а также Танигучи и Торн (2013) на основе дзета-функции Синтани.

Группа единиц

В соответствии с Теорема Дирихле о единицах, звено без кручения р поля алгебраических чисел K с р₁ настоящие вложения и р₂ пар сопряженных комплексных вложений определяется по формуле р = р₁ + р₂ - 1. Следовательно, вполне вещественное кубическое поле K с р₁ = 3, р₂ = 0 имеет две независимые единицы ε₁, ε₂ и сложное кубическое поле K с р₁ = р₂ = 1 имеет единственную фундаментальную единицу ε₁. Эти фундаментальные системы единиц могут быть вычислены с помощью обобщенных алгоритмов цепной дроби: Вороной,^[16] которые были интерпретированы геометрически Делоне и Фаддеев.^[17]

Примечания

^ Харви Кон вычислил асимптотику для числа циклических кубических полей (Кон 1954 ), пока Гарольд Давенпорт и Ханс Хайльбронн вычислил асимптотику для всех кубических полей (Давенпорт и Хайльброн, 1971 г. ).
^ Коэн 1993, §B.3 содержит таблицу комплексных кубических полей
^ Коэн 1993, §B.3
^ Коэн 1993, §B.4 содержит таблицу вполне вещественных кубических полей и указывает, какие из них являются циклическими.
^ Коэн 1993, §B.4
^ Хассе 1930
^ ^а ^б Коэн 1993, §6.4.5
^ ^а ^б Точные подсчеты были рассчитаны Мишелем Оливье и доступны на сайте [1]. Асимптотика первого порядка обусловлена Гарольд Давенпорт и Ханс Хайльбронн (Давенпорт и Хайльброн, 1971 г. ). Член второго порядка предположил Дэвид П. Робертс (Робертс 2001 ), а доказательство опубликовано Манджул Бхаргава, Арул Шанкар и Яков Цимерман (Бхаргава, Шанкар и Цимерман, 2013 г. ).
^ Х. Минковский, Diophantische Approximationen, глава 4, §5.
^ Llorente, P .; Нарт, Э. (1983). «Эффективное определение разложения рациональных простых чисел в кубическом поле». Труды Американского математического общества. 87 (4): 579–585. Дои:10.1090 / S0002-9939-1983-0687621-6.
^ Майер, Д. К. (1992). «Кратности двугранных дискриминантов». Математика. Комп. 58 (198): 831–847 и S55 – S58. Bibcode:1992MaCom..58..831M. Дои:10.1090 / S0025-5718-1992-1122071-3.
^ Г. Ф. Вороной, О целых алгебраических числах, получаемых из корня уравнения третьей степени, Магистр. СПб., 1894.
^ Давенпорт и Хайльброн, 1971 г.
^ Их работу также можно интерпретировать как вычисление среднего размера 3-торсионный часть классная группа из квадратичное поле, и, таким образом, представляет собой один из немногих доказанных случаев Гипотезы Коэна – Ленстры: см., например Бхаргава, Манджул; Варма, Ила (2014), Среднее число элементов 3-кручения в группах классов и группах идеалов квадратичных порядков, arXiv:1401.5875, Bibcode:2014arXiv1401.5875B, Эта теорема [Дэвенпорта и Хейльбронна] дает только два доказанных случая эвристики Коэна-Ленстры для групп классов квадратичных полей.
^ Робертс 2001, Гипотеза 3.1
^ Вороной, Г. Ф. (1896). Об одном обобщении алгоритма цепных дробей (на русском). Варшава: докторская диссертация.
^ Delone, B.N .; Фаддеев, Д. К. (1964). Теория иррациональностей третьей степени. Переводы математических монографий. 10. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.

внешняя ссылка

СМИ, связанные с Кубическое поле в Wikimedia Commons

[1] Харви Кон вычислил асимптотику для числа циклических кубических полей (Кон 1954 ), пока Гарольд Давенпорт и Ханс Хайльбронн вычислил асимптотику для всех кубических полей (Давенпорт и Хайльброн, 1971 г. ).

[2] Коэн 1993, §B.3 содержит таблицу комплексных кубических полей

[3] Коэн 1993, §B.3

[4] Коэн 1993, §B.4 содержит таблицу вполне вещественных кубических полей и указывает, какие из них являются циклическими.

[5] Коэн 1993, §B.4

[6] Хассе 1930

[Cohen_1993_loc=§6.4.5-7] а ^б Коэн 1993, §6.4.5

[discdata-8] а ^б Точные подсчеты были рассчитаны Мишелем Оливье и доступны на сайте [1]. Асимптотика первого порядка обусловлена Гарольд Давенпорт и Ханс Хайльбронн (Давенпорт и Хайльброн, 1971 г. ). Член второго порядка предположил Дэвид П. Робертс (Робертс 2001 ), а доказательство опубликовано Манджул Бхаргава, Арул Шанкар и Яков Цимерман (Бхаргава, Шанкар и Цимерман, 2013 г. ).

[9] Х. Минковский, Diophantische Approximationen, глава 4, §5.

[10] Llorente, P .; Нарт, Э. (1983). «Эффективное определение разложения рациональных простых чисел в кубическом поле». Труды Американского математического общества. 87 (4): 579–585. Дои:10.1090 / S0002-9939-1983-0687621-6.

[11] Майер, Д. К. (1992). «Кратности двугранных дискриминантов». Математика. Комп. 58 (198): 831–847 и S55 – S58. Bibcode:1992MaCom..58..831M. Дои:10.1090 / S0025-5718-1992-1122071-3.

[12] Г. Ф. Вороной, О целых алгебраических числах, получаемых из корня уравнения третьей степени, Магистр. СПб., 1894.

[13] Давенпорт и Хайльброн, 1971 г.

[14] Их работу также можно интерпретировать как вычисление среднего размера 3-торсионный часть классная группа из квадратичное поле, и, таким образом, представляет собой один из немногих доказанных случаев Гипотезы Коэна – Ленстры: см., например Бхаргава, Манджул; Варма, Ила (2014), Среднее число элементов 3-кручения в группах классов и группах идеалов квадратичных порядков, arXiv:1401.5875, Bibcode:2014arXiv1401.5875B, Эта теорема [Дэвенпорта и Хейльбронна] дает только два доказанных случая эвристики Коэна-Ленстры для групп классов квадратичных полей.

[15] Робертс 2001, Гипотеза 3.1

[16] Вороной, Г. Ф. (1896). Об одном обобщении алгоритма цепных дробей (на русском). Варшава: докторская диссертация.

[17] Delone, B.N .; Фаддеев, Д. К. (1964). Теория иррациональностей третьей степени. Переводы математических монографий. 10. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]