Плотный подмодуль - Dense submodule

В абстрактная алгебра особенно в теория модулей, а плотный подмодуль модуля является уточнением понятия существенный подмодуль. Если N является плотным подмодулем в M, можно также сказать, что "N ⊆ M это рациональное расширение". Плотные подмодули связаны с кольцами частных в некоммутативной теории колец. Большинство результатов, появляющихся здесь, были впервые установлены в (Джонсон 1951 ), (Утуми 1956 ) и (Финдли и Ламбек 1958 ).

Следует отметить, что эта терминология отличается от понятия плотное подмножество в общая топология. Для определения плотного подмодуля топология не требуется, а плотный подмодуль может быть или не быть топологически плотным в модуле с топологией.

Определение

Эта статья изменяет экспозиция появляется в (Сторрер 1972 ) и (Лам 1999, п. 272). Позволять р быть кольцом, и M быть правым р модуль с подмодулем N. Для элемента у из M, определять

{ displaystyle y ^ {- 1} N = {r in R mid yr in N } ,}

Обратите внимание, что выражение у⁻¹ является только формальным, так как не имеет смысла говорить о модуле-элементе у существование обратимый, но обозначения помогают предположить, что у⋅(у⁻¹N) ⊆ N. Набор у ⁻¹N всегда право идеальный из р.

Подмодуль N из M считается плотный подмодуль если для всех Икс и у в M с Икс ≠ 0 существует р в р такой, что xr ≠ {0} и год в N. Другими словами, используя введенные обозначения, множество

{ Displaystyle х (у ^ {- 1} N) neq {0 } ,}

В этом случае связь обозначается как

{ Displaystyle N substeq _ {d} M ,}

Другое эквивалентное определение: гомологический в природе: N плотно в M если и только если

{ Displaystyle mathrm {Hom} _ {R} (М / Н, Е (М)) = {0 } ,}

куда E(M) это инъективная оболочка из M.

Характеристики

Можно показать, что N является существенным подмодулем M если и только если для всех у ≠ 0 дюйм M, набор у⋅(у ⁻¹N) ≠ {0}. Ясно, что каждый плотный подмодуль является существенным подмодулем.
Если M это неособый модуль, тогда N плотно в M тогда и только тогда, когда это необходимо в M.
Кольцо - это право неособое кольцо тогда и только тогда, когда его основные правые идеалы суть все плотные правые идеалы.
Если N и N ' плотные подмодули M, то так N ∩ N ' .
Если N плотный и N ⊆ K ⊆ M, тогда K также плотный.
Если B плотный правый идеал в р, то так у⁻¹B для любого у в р.

Примеры

Если Икс не является нулевым делителем в центр из р, тогда xR плотный правый идеал р.
Если я это двусторонний идеал р, я плотен как правый идеал тогда и только тогда, когда оставили аннигилятор из я равен нулю, то есть ${ Displaystyle ell cdot mathrm {Ann} (I) = {0 } ,}$ . В частности, в коммутативных кольцах плотные идеалы - это в точности идеалы, которые верные модули.

Приложения

Рациональная оболочка модуля

Все права р модуль M имеет максимальное существенное расширение E(M) что является его инъективная оболочка. Аналогичная конструкция с использованием максимального плотного расширения приводит к рациональный корпус Ẽ(M) который является подмодулем E(M). Когда модуль не имеет надлежащего рационального расширения, так что Ẽ(M) = M, модуль называется рационально полный. Если р верно неособое, тогда конечно Ẽ(M) = E(M).

Рациональная оболочка легко идентифицируется внутри инъективной оболочки. Позволять S= Конец_р(E(M)) быть кольцо эндоморфизмов инъективной оболочки. Тогда элемент Икс инъективной оболочки находится в рациональной оболочке тогда и только тогда, когда Икс отправляется в ноль всеми картами в S которые равны нулю на M. В символах

{ Displaystyle { тильда {E}} (M) = {x in E (M) mid forall f in S, f (M) = 0 подразумевает, что f (x) = 0 } , }

В общем, карты могут быть в S которые равны нулю на M и все же отличны от нуля для некоторых Икс не в M, и такой Икс не было бы в рациональном корпусе.

Максимальное правое кольцо частных

Максимальное правое кольцо частных можно описать двумя способами в связи с плотными правыми идеалами р.

Одним методом Ẽ(р) показано, что модуль изоморфен некоторому кольцу эндоморфизмов, и структура кольца берется через этот изоморфизм, чтобы наделить Ẽ(р) с кольцевой структурой максимального правого кольца частных. (Лам 1999, п. 366)
Во втором методе максимальное правое кольцо частных отождествляется с набором классы эквивалентности гомоморфизмов плотных правых идеалов р в р. Отношение эквивалентности говорит, что две функции эквивалентны, если они согласовывают плотный правый идеал р. (Лам 1999, п. 370)