Проблема покрытия диска - Disk covering problem

В диск проблема покрытия просит самых маленьких настоящий номер ${displaystyle r(n)}$ такой, что ${displaystyle n}$ диски радиуса ${displaystyle r(n)}$ могут быть устроены таким образом, чтобы закрывать единичный диск. Двойно для заданного радиуса ε, нужно найти наименьшее целое число п такой, что п диски радиуса ε может накрыть единичный диск.^[1]

Лучшие решения, известные на сегодняшний день, следующие, хотя обновленные границы можно найти [здесь |https://mathworld.wolfram.com/DiskCoveringProblem.html ].

п	г (п)	Симметрия
1	1	Все
2	1	Все (2 диска в стопке)
3	${displaystyle {sqrt {3}}/2}$ = 0.866025...	120 °, 3 отражения
4	${displaystyle {sqrt {2}}/2}$ = 0.707107...	90 °, 4 отражения
5	0.609382... OEIS: A133077	1 отражение
6	0.555905... OEIS: A299695	1 отражение
7	${displaystyle 1/2}$ = 0.5	60 °, 6 отражений
8	0.445041...	~ 51,4 °, 7 отражений
9	0.414213...	45 °, 8 отражений
10	0.394930...	36 °, 9 отражений
11	0.380083...	1 отражение
12	0.361141...	120 °, 3 отражения

Метод

На следующем рисунке показан пример пунктирного диска радиуса 1, покрытого шестью сплошными дисками радиуса ~ 0,6. Один из покрывающих дисков расположен в центре, а остальные пять симметрично вокруг него.

Хотя это не лучшая компоновка для r (6), аналогичное расположение шести, семи, восьми и девяти дисков вокруг центрального диска, имеющих одинаковый радиус, приводит к лучшим стратегиям компоновки для r (7), r (8), r (9) и r (10) соответственно. Соответствующие углы θ записаны в столбце «Симметрия» в приведенной выше таблице. Фотографии, показывающие эти устройства, можно найти на Фридман, Эрих. "круги, покрывающие круги". Получено 2016-05-04.

Рекомендации

1. Кершнер, Ричард (1939), «Число кругов, покрывающих множество», Американский журнал математики, 61: 665–671, Дои:10.2307/2371320, МИСТЕР  0000043.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Проблема покрытия диска». MathWorld.
• Финч, С. Р. "Круговые константы покрытия". §2.2 в Математических константах. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, стр. 484–489, 2003.
• Иллюстрации из круги, покрывающие круги