Распределение (теория чисел) - Distribution (number theory)

В алгебра и теория чисел, а распределение - функция на системе конечных множеств в абелева группа который аналогичен интегралу: таким образом, это алгебраический аналог распределение в смысле обобщенная функция.

Исходные примеры распределений встречаются безымянно как функции φ на Q/Z удовлетворение^[1]

${\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}\phi \left(x+{\frac {r}{N}}\right)=\phi (Nx)\ .}$

Такие распределения называются обычными.^[2] Они также встречаются в п-адическая теория интеграции в Теория Ивасавы.^[3]

Пусть ... → Икс_п+1 → Икс_п → ... быть проективная система конечных множеств с сюръекциями, индексированных натуральными числами, и пусть Икс быть их проективный предел. Мы даем каждому Икс_п то дискретная топология, так что Икс является компактный. Пусть φ = (φ_п) - семейство функций на Икс_п принимая значения в абелевой группе V и совместим с проективной системой:

${\displaystyle w(m,n)\sum _{y\mapsto x}\phi (y)=\phi (x)}$

для некоторых весовая функция ш. Тогда семейство φ является распределение на проективной системе Икс.

Функция ж на Икс является "локально постоянной" или "ступенчатой ​​функцией", если она учитывает некоторые Икс_п. Мы можем определить интеграл ступенчатой ​​функции относительно φ как

${\displaystyle \int f\,d\phi =\sum _{x\in X_{n}}f(x)\phi _{n}(x)\ .}$

Определение распространяется на более общие проективные системы, например, индексированные положительными целыми числами, упорядоченными по делимости. В качестве важного частного случая рассмотрим проективную систему Z/п‌Z индексируется положительными целыми числами, упорядоченными по делимости. Мы отождествляем это с системой (1 /п)Z/Z с лимитом Q/Z.

За Икс в р мы позволяем ⟨Икс⟩ Обозначают дробную часть Икс нормализовано к 0 ≤ ⟨Икс⟩ <1, и пусть {Икс} обозначают дробную часть, нормированную на 0 <{Икс} ≤ 1.

Примеры

Дзета-функция Гурвица

В теорема умножения для Дзета-функция Гурвица

${\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }(n+a)^{-s}}$

дает соотношение распределения

${\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa)\ .}$

Следовательно, для данного s, карта ${\displaystyle t\mapsto \zeta (s,\{t\})}$ это распределение на Q/Z.

Распределение Бернулли

Напомним, что Полиномы Бернулли B_п определены

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose n-k}b_{k}x^{n-k}\ ,}$

за п ≥ 0, где б_k являются Числа Бернулли, с производящая функция

${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\ .}$

Они удовлетворяют отношение распределения

${\displaystyle B_{k}(x)=n^{k-1}\sum _{a=0}^{n-1}b_{k}\left({\frac {x+a}{n}}\right)\ .}$

Таким образом, карта

${\displaystyle \phi _{n}:{\frac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Q} }$

определяется

${\displaystyle \phi _{n}:x\mapsto n^{k-1}B_{k}(\langle x\rangle )}$

это раздача.^[4]

Циклотомические единицы

В циклотомические единицы удовлетворить отношения распределения. Позволять а быть элементом Q/Z премьер к п и разреши грамм_а обозначим exp (2πiа) −1. Тогда для а≠ 0 имеем^[5]

${\displaystyle \prod _{pb=a}g_{b}=g_{a}\ .}$

Универсальное распространение

Рассматриваются распределения на Z со значениями в некоторой абелевой группе V и искать "универсальное" или наиболее общее возможное распространение.

Распределения Стикельбергера

Позволять час быть обычным распределением на Q/Z получение значений в поле F. Позволять грамм(N) обозначают мультипликативную группу Z/N‌Z, и для любой функции ж на грамм(N) мы расширяем ж к функции на Z/N‌Z принимая ж быть нулевым грамм(N). Определите элемент групповой алгебры F[грамм(N)] к

${\displaystyle g_{N}(r)={\frac {1}{|G(N)|}}\sum _{a\in G(N)}h\left({\left\langle {\frac {ra}{N}}\right\rangle }\right)\sigma _{a}^{-1}\ .}$

Групповые алгебры образуют проективную систему с пределом Икс. Тогда функции грамм_N сформировать распределение на Q/Z со значениями в Икс, то Распределение Stickelberger связана с час.

p-адические меры

Рассмотрим частный случай, когда группа значений V распределения φ на Икс принимает значения в местное поле K, конечный над Q_пили, в более общем смысле, в конечномерномп-адическое банахово пространство W над K, с оценкой | · |. Назовем φ a мера если | φ | ограничена на компактных открытых подмножествах Икс.^[6] Позволять D кольцо целых чисел K и L решетка в W, то есть бесплатный D-подмодуль W с K⊗L = W. До масштабирования мера может иметь значения в L.

Операторы Гекке и меры

Позволять D фиксированное целое простое число с п и рассмотреть Z_D, предел системы Z/п^пD. Рассмотрим любые собственная функция из Оператор Гекке Т^п с собственным значением λ_п премьер к п. Опишем процедуру получения меры Z_D.

Исправить целое число N премьер к п и чтобы D. Позволять F быть D-модуль всех функций от рациональных чисел со знаминателем, взаимно простым с N. Для любого прайма л не делящий N мы определяем Оператор Гекке Т_л к

${\displaystyle (T_{l}f)\left({\frac {a}{b}}\right)=f\left({\frac {la}{b}}\right)+\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {a+kb}{lb}}\right)-\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {k}{l}}\right)\ .}$

Позволять ж собственная функция для Т_п с собственным значением λ_п в D. Квадратное уравнение Икс² - λ_пИкс + п = 0 имеет корни π₁, π₂ с π₁ единица и π₂ делится на п. Определите последовательность а₀ = 2, а₁ = π₁+ π₂ = λ_п и

${\displaystyle a_{k+2}=\lambda _{p}a_{k+1}-pa_{k}\ ,}$

так что

${\displaystyle a_{k}=\pi _{1}^{k}+\pi _{2}^{k}\ .}$

Рекомендации

1. Куберт и Ланг (1981) стр.1
2. Лэнг (1990) стр.53
3. Мазур и Суиннертон-Дайер (1972) стр. 36
4. Лэнг (1990) стр.36
5. Лэнг (1990) стр.157
6. Мазур и Суиннертон-Дайер (1974) стр.37.

• Куберт, Даниэль С.; Ланг, Серж (1981). Модульные блоки. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 244. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90517-0. Zbl  0492.12002.
• Ланг, Серж (1990). Циклотомические поля I и II. Тексты для выпускников по математике. 121 (второе объединенное изд.). Springer Verlag. ISBN  3-540-96671-4. Zbl  0704.11038.
• Мазур, Б.; Суиннертон-Дайер, П. (1974). «Арифметика кривых Вейля». Inventiones Mathematicae. 25: 1–61. Дои:10.1007 / BF01389997. Zbl  0281.14016.