Правило делимости - Divisibility rule

А правило делимости это сокращенный способ определения того, целое число делится на фиксированный делитель без деления, обычно проверяя его цифры. Хотя есть тесты на делимость чисел в любом основание, или базы, а все они разные, в этой статье представлены правила и примеры только для десятичный, или десятичные числа. Мартин Гарднер объяснил и популяризировал эти правила в своем сентябрьском 1962 г. Рубрика «Математические игры» в Scientific American.^[1]

Правила делимости чисел 1–30

Правила, приведенные ниже, преобразуют данное число в обычно меньшее число, сохраняя при этом делимость на интересующий делитель. Поэтому, если не указано иное, полученное число следует оценить на делимость на тот же делитель. В некоторых случаях процесс можно повторять до тех пор, пока делимость не станет очевидной; для других (например, изучение последних п цифр) результат необходимо проверить другими способами.

Для делителей с несколькими правилами правила обычно сначала упорядочиваются для тех, которые подходят для чисел с большим количеством цифр, а затем для тех, которые полезны для чисел с меньшим количеством цифр.

Примечание: чтобы проверить делимость на любое число, которое может быть выражено как 2^п или 5^п, в котором п является положительным целым числом, просто изучите последнее п цифры.

Примечание: чтобы проверить делимость на любое число, выраженное как произведение простых множителей. ${ displaystyle p_ {1} ^ {n} p_ {2} ^ {m} p_ {3} ^ {q}}$ , мы можем отдельно проверить делимость на каждое простое число в соответствующей степени. Например, проверка делимости на 24 (24 = 8 * 3 = 2³* 3) эквивалентно проверке делимости на 8 (2³) и 3 одновременно, поэтому нам нужно только показать делимость на 8 и на 3, чтобы доказать делимость на 24.

Делитель	Условие делимости	Примеры
1	Никаких особых условий. Любое целое число делится на 1.	2 делится на 1.
2	Последняя цифра четная (0, 2, 4, 6 или 8).^[2]^[3]	1294: 4 - четное.
3	Просуммируйте цифры. Результат должен делиться на 3.^[2]^[4]^[5]	405 → 4 + 0 + 5 = 9 и 636 → 6 + 3 + 6 = 15, которые явно делятся на 3. 16,499,205,854,376 → 1 + 6 + 4 + 9 + 9 + 2 + 0 + 5 + 8 + 5 + 4 + 3 + 7 + 6 сумм до 69 → 6 + 9 = 15 → 1 + 5 = 6, что явно делится на 3.
3	Вычтите количество цифр 2, 5 и 8 в номере из количества цифр 1, 4 и 7 в номере. Результат должен делиться на 3.	В приведенном выше примере: 16 499 205 854 376 имеет четыре цифры 1, 4 и 7 и четыре цифры 2, 5 и 8; ∴ Поскольку 4-4 = 0 делится на 3, число 16 499 205 854 376 делится на 3.
4	Последние две цифры образуют число, которое делится на 4.^[2]^[3]	40,832: 32 делится на 4.
	Если цифра десятков четная, цифра единиц должна быть 0, 4 или 8. Если цифра десятков нечетная, цифра единиц должна быть 2 или 6.	40,832: 3 - нечетное число, а последняя цифра - 2.
	Двойная цифра десятков, плюс цифра единиц делится на 4.	40832: 2 × 3 + 2 = 8, что делится на 4.
5	Последняя цифра - 0 или 5.^[2]^[3]	495: последняя цифра 5.
6	Он делится на 2 и 3.^[6]	1458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18, поэтому оно делится на 3, а последняя цифра четная, следовательно, число делится на 6.
7	Формирование переменная сумма блоков по три справа налево дает число, кратное 7^[5]^[7]	1,369,851: 851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69
	Если сложить последнюю цифру 5 раз с остальными, получится число, кратное 7. (Работает, потому что 49 делится на 7.)	483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 × 9.
	Вычитая 2 раза последнюю цифру из оставшейся части, получаем число, кратное 7. (Работает, потому что 21 делится на 7.)	483: 48 − (3 × 2) = 42 = 7 × 6.
	Вычитание последней цифры из оставшейся цифры в 9 раз дает число, кратное 7.	483: 48 − (3 × 9) = 21 = 7 × 3.
	Если прибавить 3 раза первую цифру к следующей, а затем записать остальные, получится число, кратное 7. (Это работает, потому что 10а + б − 7а = 3а + б; остаток последнего числа равен 10а + б.)	483: 4×3 + 8 = 20, 203: 2×3 + 0 = 6,63: 6×3 + 3 = 21.
	Добавление двух последних цифр к удвоенному остатку дает число, кратное 7. (Работает, потому что 98 делится на 7.)	483,595: 95 + (2 × 4835) = 9765: 65 + (2 × 97) = 259: 59 + (2 × 2) = 63.
	Умножьте каждую цифру (справа налево) на цифру в соответствующей позиции в этом шаблоне (слева направо): 1, 3, 2, -1, -3, -2 (повторение для цифр за пределами сотен тысяч разряда). ). Сложение результатов дает число, кратное 7.	483,595: (4 × (-2)) + (8 × (-3)) + (3 × (-1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7.
	Вычислите остаток от каждой пары цифр (справа налево) при делении на 7. Умножьте самый правый остаток на 1, следующий слева на 2, а следующий на 4, повторяя шаблон для пар цифр за пределами сотен тысяч разрядов. . Сложение результатов дает число, кратное 7.	194 536: 19 \| 45 \| 36; (5x4) + (3x2) + (1x1) = 27, поэтому оно не делится на 7 204 540: 20 \| 45 \| 40; (6x4) + (3x2) + (5x1) = 35, поэтому оно делится на 7
8	Если цифра сотен четная, число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 8.	624: 24.
	Если цифра сотен нечетная, число, полученное из двух последних цифр плюс 4, должно делиться на 8.	352: 52 + 4 = 56.
	Добавьте последнюю цифру к двойному остатку. Результат должен делиться на 8.	56: (5 × 2) + 6 = 16.
	Последние три цифры делятся на 8.^[2]^[3]	34,152: исследуйте делимость всего 152: 19 × 8
	Прибавьте четырехкратную цифру сотен к удвоенной цифре десятков к единице. Результат должен делиться на 8.	34,152: 4 × 1 + 5 × 2 + 2 = 16
9	Просуммируйте цифры. Результат должен делиться на 9.^[2]^[4]^[5]	2880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
10	Цифра из единиц - 0.^[3]	130: единичная цифра 0.
11	Сформируйте переменную сумму цифр. Результат должен делиться на 11.^[2]^[5]	918,082: 9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22 = 2 × 11.
	Сложите цифры справа налево блоками по два. Результат должен делиться на 11.^[2]	627: 6 + 27 = 33 = 3 × 11.
	Вычтите последнюю цифру из остальных. Результат должен делиться на 11.	627: 62 − 7 = 55 = 5 × 11.
	Добавьте последнюю цифру к разряду сотен (прибавьте последнюю цифру в 10 раз к остатку). Результат должен делиться на 11.	627: 62 + 70 = 132: 13 + 20 = 33 = 3 × 11.
	Если количество цифр четное, добавьте первую и вычтите последнюю цифру из остальных. Результат должен делиться на 11.	918,082: количество цифр четное (6) → 1808 + 9-2 = 1815: 81 + 1-5 = 77 = 7 × 11
	Если количество цифр нечетное, вычтите первую и последнюю цифру из остальных. Результат должен делиться на 11.	14,179: количество цифр нечетное (5) → 417-1-9 = 407 = 37 × 11
12	Он делится на 3 и 4.^[6]	324: делится на 3 и 4.
12	Вычтите последнюю цифру из двойного остатка. Результат должен делиться на 12.	324: 32 × 2 − 4 = 60 = 5 × 12.
13	Сформировать переменная сумма блоков по три справа налево. Результат должен делиться на 13.^[7]	2,911,272: 272 - 911 + 2 = -637
	К остальным прибавьте 4 раза последнюю цифру. Результат должен делиться на 13.	637: 63 + 7 × 4 = 91, 9 + 1 × 4 = 13.
	Вычтите две последние цифры из четырехкратного остатка. Результат должен делиться на 13.	923: 9 × 4 - 23 = 13.
	Вычтите 9 раз последнюю цифру из оставшейся части. Результат должен делиться на 13.	637: 63 - 7 × 9 = 0.
14	Он делится на 2 и 7.^[6]	224: делится на 2 и 7.
14	Добавьте последние две цифры к двойному остатку. Результат должен делиться на 14.	364: 3 × 2 + 64 = 70. 1764: 17 × 2 + 64 = 98.
15	Он делится на 3 и 5.^[6]	390: делится на 3 и 5.
16	Если цифра тысяч четная, число, образованное последними тремя цифрами, должно делиться на 16.	254,176: 176.
	Если цифра тысяч нечетная, число, образованное последними тремя цифрами плюс 8, должно делиться на 16.	3408: 408 + 8 = 416.
	Добавьте последние две цифры к четырехкратному остатку. Результат должен делиться на 16.	176: 1 × 4 + 76 = 80. 1168: 11 × 4 + 68 = 112.
	Последние четыре цифры должны делиться на 16.^[2]^[3]	157,648: 7,648 = 478 × 16.
17	Вычтите 5 раз последнюю цифру из оставшейся части.	221: 22 − 1 × 5 = 17.
	Вычтите две последние цифры из двойного остатка.	4,675: 46 × 2 - 75 = 17.
	Добавьте 9 раз последнюю цифру к 5-кратному остатку. Отбросьте конечные нули.	4,675: 467 × 5 + 5 × 9 = 2380; 238: 23 × 5 + 8 × 9 = 187.
18	Он делится на 2 и 9.^[6]	342: делится на 2 и 9.
19	К остальным прибавьте дважды последнюю цифру.	437: 43 + 7 × 2 = 57.
19	К остальным прибавьте 4 раза последние две цифры.	6935: 69 + 35 × 4 = 209.
20	Он делится на 10, а цифра десятков четная.	360: делится на 10, а 6 - четно.
20	Число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.^[3]	480: 80 делится на 20.
21	Двойное вычитание последней цифры из оставшейся дает число, кратное 21.	168: 16 − 8 × 2 = 0.
21	Он делится на 3 и 7.^[6]	231: делится на 3 и 7.
22	Он делится на 2 и 11.^[6]	352: делится на 2 и 11.
23	К остатку прибавьте 7 раз последнюю цифру.	3128: 312 + 8 × 7 = 368. 36 + 8 × 7 = 92.
23	К остальным прибавьте 3 раза последние две цифры.	1725: 17 + 25 × 3 = 92.
24	Он делится на 3 и 8.^[6]	552: делится на 3 и 8.
25	Изучите число, образованное двумя последними цифрами.^[3]	134,250: 50 делится на 25.
26	Он делится на 2 и 13.^[6]	156: делится на 2 и 13.
26	Вычитание 5-кратной последней цифры из 2-кратного остатка числа дает число, кратное 26.	1248 : (124 ×2) - (8×5) =208=26×8
27	Суммируйте цифры в блоках по три справа налево.	2,644,272: 2 + 644 + 272 = 918.
	Вычтите 8 раз последнюю цифру из оставшейся части.	621: 62 − 1 × 8 = 54.
	Вычтите две последние цифры из 8-кратного остатка.	6507: 65 × 8 - 7 = 520 - 7 = 513 = 27 × 19.
28	Он делится на 4 и 7.^[6]	140: делится на 4 и 7.
29	К остатку прибавьте трижды последнюю цифру.	348: 34 + 8 × 3 = 58.
29	К остальным прибавьте 9 раз последние две цифры.	5510: 55 + 10 × 9 = 145 = 5 × 29.
30	Он делится на 3 и 10.^[6]	270: делится на 3 и 10.

Пошаговые примеры

Делимость на 2

Сначала возьмите любое число (в данном примере это 376) и запишите последнюю цифру в номере, отбрасывая остальные цифры. Затем возьмите эту цифру (6), игнорируя остальную часть числа, и определите, делится ли оно на 2. Если оно делится на 2, то исходное число делится на 2.

Пример

376 (исходный номер)
37 6 (Возьмите последнюю цифру)
6 ÷ 2 = 3 (проверьте, делится ли последняя цифра на 2)
376 ÷ 2 = 188 (если последняя цифра делится на 2, то все число делится на 2)

Делимость на 3 или 9

Сначала возьмите любое число (в этом примере это будет 492) и сложите каждую цифру числа (4 + 9 + 2 = 15). Затем возьмите эту сумму (15) и определите, делится ли она на 3. Исходное число делится на 3 (или 9) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (или 9).

Если число является умножением 3 последовательных чисел, то это число всегда делится на 3. Это полезно, когда число принимает форму (п × (п − 1) × (п + 1))

Пример.

492 (исходный номер)
4 + 9 + 2 = 15 (сложите каждую цифру отдельно)
15 делится на 3, и мы можем остановиться. В качестве альтернативы мы можем продолжить использовать тот же метод, если число все еще слишком велико:
1 + 5 = 6 (сложите каждую цифру отдельно)
6 ÷ 3 = 2 (проверьте, делится ли полученное число на 3)
492 ÷ 3 = 164 (если число, полученное с помощью правила, делится на 3, то целое число делится на 3)

Пример.

336 (исходный номер)
6 × 7 × 8 = 336
336 ÷ 3 = 112

Делимость на 4

Основное правило делимости на 4 состоит в том, что если число, образованное двумя последними цифрами числа, делится на 4, исходное число делится на 4;^[2]^[3] это потому, что 100 делится на 4, и поэтому добавление сотен, тысяч и т. д. - это просто добавление другого числа, которое делится на 4. Если какое-либо число заканчивается двузначным числом, которое, как вы знаете, делится на 4 (например, 24, 04, 08 и т. Д.), То все число будет делиться на 4 независимо от того, что стоит перед двумя последними цифрами.

В качестве альтернативы можно просто разделить число на 2, а затем проверить результат, чтобы определить, делится ли оно на 2. Если да, то исходное число делится на 4. Кроме того, результат этого теста такой же, как и результат исходное число разделенное на 4.

Пример.
Общее правило

2092 (исходный номер)
20 92 (Возьмите две последние цифры номера, отбрасывая все остальные цифры)
92 ÷ 4 = 23 (проверьте, делится ли число на 4)
2092 ÷ 4 = 523 (если полученное число делится на 4, то исходное число делится на 4)

Альтернативный пример

1720 (исходный номер)
1720 ÷ 2 = 860 (исходное число разделить на 2)
860 ÷ 2 = 430 (проверьте, делится ли результат на 2)
1720 ÷ 4 = 430 (если результат делится на 2, то исходное число делится на 4)

Делимость на 5

Делимость на 5 легко определить, проверив последнюю цифру числа (475) и проверяем, равно ли оно 0 или 5. Если последнее число равно 0 или 5, все число делится на 5.^[2]^[3]

Если последней цифрой в номере является 0, то результатом будут оставшиеся цифры, умноженные на 2. Например, число 40 оканчивается нулем (0), поэтому возьмите оставшиеся цифры (4) и умножьте их на два ( 4 × 2 = 8). Результат такой же, как результат деления 40 на 5 (40/5 = 8).

Если последняя цифра в номере 5, то результатом будут оставшиеся цифры, умноженные на два (2) плюс один (1). Например, число 125 оканчивается на 5, поэтому возьмите оставшиеся цифры (12), умножьте их на два (12 × 2 = 24), затем сложите один (24 + 1 = 25). Результат такой же, как результат деления 125 на 5 (125/5 = 25).

Пример.
Если последняя цифра 0

110 (исходный номер)
11 0 (Возьмите последнюю цифру числа и проверьте, 0 или 5)
11 0 (Если он равен 0, возьмите оставшиеся цифры, отбрасывая последние)
11 × 2 = 22 (умножить результат на 2)
110 ÷ 5 = 22 (результат такой же, как исходное число, деленное на 5)

Если последняя цифра 5

85 (исходный номер)
8 5 (Возьмите последнюю цифру числа и проверьте, 0 или 5)
8 5 (Если это 5, возьмите оставшиеся цифры, отбрасывая последнюю)
8 × 2 = 16 (результат умножить на 2)
16 + 1 = 17 (прибавьте 1 к результату)
85 ÷ 5 = 17 (результат такой же, как исходное число, деленное на 5)

Делимость на 6

Делимость на 6 определяется путем проверки исходного числа, чтобы убедиться, что они оба четные числа (делится на 2 ) и делится на 3.^[6] Это лучший тест для использования.

Если число делится на шесть, возьмите исходное число (246) и разделите его на два (246 ÷ 2 = 123). Затем возьмите этот результат и разделите его на три (123 ÷ 3 = 41). Этот результат совпадает с исходным числом, деленным на шесть (246 ÷ 6 = 41).

Пример.

Общее правило

324 (исходный номер)
324 ÷ 3 = 108 (проверьте, делится ли исходное число на 3)
324 ÷ 2 = 162 ИЛИ ЖЕ 108 ÷ 2 = 54 (проверьте, делится ли исходное число или результат предыдущего уравнения на 2)
324 ÷ 6 = 54 (если любой из тестов на последнем шаге верен, то исходное число делится на 6. Кроме того, результат второго теста возвращает тот же результат, что и исходное число, деленное на 6)

Нахождение остатка от деления числа на 6: (1, −2, −2, −2, −2 и −2 продолжаются для остальных) Нет периода. - Минимальная величина последовательности; (1, 4, 4, 4, 4 и 4 продолжаются для остальных) - Положительная последовательность; Умножьте самую правую цифру на самую левую цифру в последовательности и умножьте вторую самую правую цифру на вторую самую левую цифру в последовательности и так далее.; Затем вычислите сумму всех значений и возьмите остаток от деления на 6.

Пример: каков остаток от деления 1036125837 на 6?

Умножение самой правой цифры = 1 × 7 = 7

Умножение второй крайней правой цифры = 3 × −2 = −6

Третья самая правая цифра = −16

Четвертая правая цифра = −10

Пятая правая цифра = −4

Крайняя правая шестая цифра = −2

Седьмая правая цифра = −12

Восьмая правая цифра = −6

Крайняя девятая цифра = 0

Крайняя правая десятая цифра = −2

Сумма = −51

−51 ≡ 3 (мод. 6)

Остаток = 3

Делимость на 7

Делимость на 7 можно проверить рекурсивным методом. Номер формы 10Икс + y делится на 7 тогда и только тогда, когда Икс − 2y делится на 7. Другими словами, дважды вычтите последнюю цифру из числа, образованного оставшимися цифрами. Продолжайте делать это до тех пор, пока не будет получено число, для которого известно, делится ли оно на 7. Исходное число делится на 7 тогда и только тогда, когда число, полученное с помощью этой процедуры, делится на 7. Например, число 371: 37 - (2 × 1) = 37 - 2 = 35; 3 - (2 × 5) = 3 - 10 = −7; таким образом, поскольку −7 делится на 7, 371 делится на 7.

Аналогично число вида 10Икс + y делится на 7 тогда и только тогда, когда Икс + 5y делится на 7. Итак, прибавьте пять раз последнюю цифру к числу, образованному оставшимися цифрами, и продолжайте делать это до тех пор, пока не будет получено число, для которого известно, делится ли оно на 7.^[8]

Другой метод - умножение на 3. Число вида 10Икс + y имеет тот же остаток при делении на 7 как 3Икс + y. Нужно умножить крайнюю левую цифру исходного числа на 3, добавить следующую цифру, взять остаток при делении на 7 и продолжить с начала: умножить на 3, добавить следующую цифру и т. Д. Например, число 371: 3 × 3 + 7 = 16, остаток 2 и 2 × 3 + 1 = 7. Этот метод можно использовать, чтобы найти остаток от деления на 7.

Более сложный алгоритм проверки делимости на 7 использует тот факт, что 10⁰ ≡ 1, 10¹ ≡ 3, 10² ≡ 2, 10³ ≡ 6, 10⁴ ≡ 4, 10⁵ ≡ 5, 10⁶ ≡ 1, ... (мод 7). Возьмите каждую цифру числа (371) в обратном порядке (173), последовательно умножая их на цифры. 1, 3, 2, 6, 4, 5, повторяя эту последовательность множителей столько, сколько необходимо (1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, ...), и складывая произведения (1 ×1 + 7×3 + 3×2 = 1 + 21 + 6 = 28). Исходное число делится на 7 тогда и только тогда, когда число, полученное с помощью этой процедуры, делится на 7 (следовательно, 371 делится на 7, так как 28).^[9]

Этот метод можно упростить, убрав необходимость умножать. Все, что потребуется для этого упрощения, - это запомнить приведенную выше последовательность (132645 ...), а также сложить и вычесть, но всегда работать с однозначными числами.

Упрощение выглядит следующим образом:

Возьмем, к примеру, число 371
Измените все вхождения 7, 8 или же 9 в 0, 1 и 2, соответственно. В этом примере мы получаем: 301. Этот второй шаг можно пропустить, за исключением крайней левой цифры, но его выполнение может облегчить вычисления в дальнейшем.
Теперь преобразуйте первую цифру (3) в следующую цифру в последовательности 13264513... В нашем примере 3 становится 2.
Добавьте результат предыдущего шага (2) ко второй цифре числа и замените результат на обе цифры, оставив все оставшиеся цифры без изменений: 2 + 0 = 2. Итак 301 становится 21.
Повторяйте процедуру до тех пор, пока у вас не будет узнаваемого числа, кратного 7, или, чтобы убедиться, что число от 0 до 6. Итак, начиная с 21 (которое является узнаваемым кратным 7), возьмите первую цифру (2) и преобразуйте ее в следующее в приведенной выше последовательности: 2 становится 6. Затем добавьте это ко второй цифре: 6 + 1 =7.
Если в любой момент первая цифра будет 8 или 9, они станут 1 или 2 соответственно. Но если это 7, оно должно стать 0, только если не последуют другие цифры. В противном случае его следует просто отбросить. Это связано с тем, что 7 превратилось бы в 0, а числа, содержащие как минимум две цифры перед десятичной точкой, не начинаются с 0, что бесполезно. В соответствии с этим наша 7 становится0.

Если с помощью этой процедуры вы получите 0 или любое распознаваемое число, кратное 7, тогда исходное число кратно 7. Если вы получите любое число из 1 к 6, который укажет, сколько вы должны вычесть из исходного числа, чтобы получить число, кратное 7. Другими словами, вы найдете остаток деления числа на 7. Например, возьмите число186:

Сначала замените 8 на 1: 116.
Теперь замените 1 на следующую цифру в последовательности (3), прибавьте ее ко второй цифре и запишите результат вместо обоих: 3 + 1 =4. Так 116 становится сейчас 46.
Повторите процедуру, так как число больше 7. Теперь 4 становится 5, которое нужно добавить к 6. То есть11.
Повторите процедуру еще раз: 1 становится 3, которое прибавляется ко второй цифре (1): 3 + 1 =4.

Теперь у нас есть число меньше 7, и это число (4) является остатком от деления 186/7. Итак, 186 минус 4, то есть 182, должно быть кратно 7.

Примечание. Причина, по которой это работает, заключается в том, что если у нас есть: а + Ь = с и б кратно любому заданному числу п, тогда а и c обязательно даст такой же остаток при делении на п. Другими словами, в 2 + 7 = 9, 7 делится на 7. Таким образом, 2 и 9 должны иметь одно и то же напоминание при делении на 7. Остаток равен 2.

Следовательно, если число п кратно 7 (т. е .: остаток от п/ 7 равно 0), то добавление (или вычитание) кратных 7 не может изменить это свойство.

Эта процедура, как объяснено выше для большинства правил делимости, просто вычитает понемногу, кратные 7, из исходного числа до тех пор, пока не будет достигнуто число, достаточно маленькое, чтобы мы могли запомнить, кратно ли оно 7. Если 1 становится числом 3 в следующей десятичной позиции, это то же самое, что преобразовать 10 × 10^п в 3 × 10^п. И это на самом деле то же самое, что вычесть 7 × 10^п (явно кратное 7) из 10 × 10^п.

Точно так же, когда вы превращаете 3 в 2 в следующей десятичной позиции, вы получаете 30 × 10^п в 2 × 10^п, что аналогично вычитанию 30 × 10^п−28×10^п, и это снова вычитание числа, кратного 7. Та же причина применяется ко всем остальным преобразованиям:

20×10^п − 6×10^п=14×10^п
60×10^п − 4×10^п=56×10^п
40×10^п − 5×10^п=35×10^п
50×10^п − 1×10^п=49×10^п

Пример первого метода
1050 → 105 - 0 = 105 → 10 - 10 = 0. ОТВЕТ: 1050 делится на 7.

Пример второго метода
1050 → 0501 (назад) → 0 ×1 + 5×3 + 0×2 + 1×6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (умножить и сложить). ОТВЕТ: 1050 делится на 7.

Ведический метод деления на оскал
Делимость на семь можно проверить умножением на Эхадика. Преобразуйте делитель семь в семейство девять, умножив на семь. 7 × 7 = 49. Добавьте единицу, отбросьте цифру единиц и возьмите 5, Эхадика, как множитель. Начните справа. Умножьте на 5, прибавьте произведение к следующей цифре слева. Запишите результат в строку под этой цифрой. Повторите этот метод умножения цифры единиц на пять и прибавления этого произведения к числу десятков. Добавьте результат к следующей цифре слева. Запишите результат под цифрой. Продолжайте до конца. Если конечный результат равен нулю или кратен семи, тогда да, число делится на семь. В противном случае это не так. Это следует ведическому идеалу - однострочной записи.^[10]^{[ненадежный источник? ]}

Пример ведического метода:

Делится ли 438,722,025 на семь? Множитель = 5. 4 3 8 7 2 2 0 2 542 37 46 37 6 40 37 27 ДА

Метод делимости Полмана – Масса на 7
Метод Полмана – Масса обеспечивает быстрое решение, которое может определить, делятся ли большинство целых чисел на семь за три шага или меньше. Этот метод может быть полезен на соревнованиях по математике, таких как MATHCOUNTS, где время является фактором для определения решения без калькулятора в раунде спринта.

Шаг A: Если целое число равно 1000 или меньше, дважды вычтите последнюю цифру из числа, образованного оставшимися цифрами. Если результат кратен семи, то будет исходное число (и наоборот). Например:

112 -> 11 - (2 × 2) = 11 - 4 = 7 ДА 98 -> 9 - (8 × 2) = 9 - 16 = −7 ДА 634 -> 63 - (4 × 2) = 63 - 8 = 55 НЕТ

Поскольку 1 001 делится на семь, возникает интересный паттерн для повторяющихся наборов из 1, 2 или 3 цифр, которые образуют 6-значные числа (допускаются начальные нули), поскольку все такие числа делятся на семь. Например:

001 001 = 1,001 / 7 = 143010 010 = 10,010 / 7 = 1,430011 011 = 11,011 / 7 = 1,573100 100 = 100,100 / 7 = 14,300101 101 = 101,101 / 7 = 14,443110 110 = 110,110 / 7 = 15,730

01 01 01 = 10,101 / 7 = 1,44310 10 10 = 101,010 / 7 = 14,430

111,111 / 7 = 15,873222,222 / 7 = 31,746999,999 / 7 = 142,857

576,576 / 7 = 82,368

Для всех приведенных выше примеров вычитание первых трех цифр из последних трех дает число, кратное семи. Обратите внимание, что ведущие нули могут образовывать 6-значный шаблон.

Это явление лежит в основе шагов B и C.

Шаг B: если целое число находится в диапазоне от 1001 до одного миллиона, найдите повторяющийся образец из 1, 2 или 3 цифр, который образует 6-значное число, близкое к целому (начальные нули разрешены и могут помочь вам визуализировать образец ). Если положительная разница меньше 1000, примените шаг A. Это можно сделать, вычтя первые три цифры из последних трех цифр. Например:

341 355 - 341 341 = 14 -> 1 - (4 × 2) = 1 - 8 = −7 ДА 67 326 - 067 067 = 259 -> 25 - (9 × 2) = 25 - 18 = 7 ДА

Тот факт, что 999 999 кратно 7, можно использовать для определения делимости целых чисел, превышающих один миллион, путем уменьшения целого числа до 6-значного числа, которое может быть определено с помощью шага B. Это легко сделать, добавив цифры слева от от первых шести до последних шести и следуйте шагу А.

Шаг C: Если целое число больше одного миллиона, вычтите ближайшее кратное 999 999 и затем примените шаг B. Для еще больших чисел используйте более крупные наборы, такие как 12-значные (999 999 999 999) и так далее. Затем разбейте целое число на меньшее число, которое можно решить с помощью шага B. Например:

22,862,420 - (999,999 × 22) = 22,862,420 - 21,999,978 -> 862,420 + 22 = 862,442 862,442 -> 862-442 (Шаг B) = 420 -> 42 - (0 × 2) (Шаг A) = 42 ДА

Это позволяет складывать и вычитать чередующиеся наборы из трех цифр для определения делимости на семь. Понимание этих шаблонов позволяет быстро вычислить делимость семи, как показано в следующих примерах:

Метод Полмана – Масса делимости на 7, примеры:

Делится ли 98 на семь? 98 -> 9 - (8 × 2) = 9-16 = −7 ДА (шаг A)

Делится ли 634 на семь? 634 -> 63 - (4 × 2) = 63-8 = 55 НЕТ (шаг A)

Делится ли 355 341 на семь? 355 341 - 341 341 = 14 000 (Шаг B) -> 014 - 000 (Шаг B) -> 14 = 1 - (4 × 2) (Шаг A) = 1 - 8 = −7 ДА

Делится ли 42 341 530 на семь? 42 341 530 -> 341 530 + 42 = 341 572 (Шаг C) 341 572 - 341 341 = 231 (Шаг B) 231 -> 23 - (1 × 2) = 23-2 = 21 ДА (Шаг A)

Использование быстрых чередующихся сложений и вычитаний: 42,341,530 -> 530 - 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 - (1 × 2) = 21 ДА

Умножение на 3, метод делимости на 7, примеры:

Делится ли 98 на семь? 98 -> остаток 9 2 -> 2 × 3 + 8 = 14 ДА

Делится ли 634 на семь? 634 -> 6 × 3 + 3 = 21 -> остаток 0 -> 0 × 3 + 4 = 4 НЕТ

Делится ли 355,341 на семь? 3 * 3 + 5 = 14 -> остаток 0 -> 0 × 3 + 5 = 5 -> 5 × 3 + 3 = 18 -> остаток 4 -> 4 × 3 + 4 = 16 -> остаток 2 -> 2 × 3 + 1 = 7 ДА

Найти остаток от 1036125837, деленный на 71 × 3 + 0 = 33 × 3 + 3 = 12 остаток 55 × 3 + 6 = 21 остаток 00 × 3 + 1 = 11 × 3 + 2 = 55 × 3 + 5 = 20 остаток 66 × 3 + 8 = 26 остаток 55 × 3 + 3 = 18 остаток 44 × 3 + 7 = 19 остаток 5 Ответ 5

Нахождение остатка от деления числа на 7

7 - (1, 3, 2, −1, −3, −2, цикл повторяется для следующих шести цифр) Период: 6 цифр. Повторяющиеся числа: 1, 3, 2, −1, −3, −2
Последовательность минимальной величины
(1, 3, 2, 6, 4, 5, цикл повторяется для следующих шести цифр) Период: 6 цифр Повторяющиеся числа: 1, 3, 2, 6, 4, 5
Положительная последовательность

Умножьте самую правую цифру на самую левую цифру в последовательности и умножьте вторую самую правую цифру на вторую самую левую цифру в последовательности и так далее, и так далее. Затем вычислите сумму всех значений и возьмите модуль 7.
Пример: каков остаток от деления 1036125837 на 7?

Умножение самой правой цифры = 1 × 7 = 7

Умножение второй крайней правой цифры = 3 × 3 = 9

Третья самая правая цифра = 8 × 2 = 16

Четвертая правая цифра = 5 × −1 = −5

Пятая правая цифра = 2 × −3 = −6

Крайняя правая шестая цифра = 1 × −2 = −2

Седьмая правая цифра = 6 × 1 = 6

Крайняя восьмая цифра = 3 × 3 = 9

Крайняя девятая цифра = 0

Крайняя правая десятая цифра = 1 × −1 = −1

Сумма = 33

33 модуль 7 = 5

Остаток = 5

Метод парных цифр делимости на 7

Этот метод использует 1, −3, 2 узор на пары цифр. То есть, делимость любого числа на семь можно проверить, сначала разделив число на пары цифр, а затем применив алгоритм к трех парам цифр (шести цифрам). Если число меньше шести цифр, заполняйте ноль справа, пока не будет шесть цифр. Если число больше шести цифр, повторите цикл для следующей шестизначной группы и затем сложите результаты. Повторяйте алгоритм, пока результат не будет небольшим числом. Исходное число делится на семь тогда и только тогда, когда число, полученное с помощью этого алгоритма, делится на семь. Этот метод особенно подходит для больших чисел.

Пример 1:
Проверяемое число - 157514. Сначала разделим число на три пары цифр: 15, 75 и 14.
Затем применяем алгоритм: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182
Так как полученное число 182 меньше шести цифр, мы добавляем ноль с правой стороны, пока не получится шесть цифр.
Затем снова применяем наш алгоритм: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = −42
Результат -42 делится на семь, поэтому исходное число 157514 делится на семь.

Пример 2:
Номер для тестирования: 15751537186.
(1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + (1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77
Результат −77 делится на семь, поэтому исходное число 15751537186 делится на семь.

Другой метод пары цифр делимости на 7

Метод

Это нерекурсивный метод нахождения остатка, оставшегося от числа при делении на 7:

Разделите число на пары цифр, начиная с разряда единиц. При необходимости добавьте число с 0 для завершения последней пары.
Вычислите остатки, оставшиеся от каждой пары цифр после деления на 7.
Умножьте остатки на соответствующий множитель из последовательности 1, 2, 4, 1, 2, 4,…: остаток от пары цифр, состоящей из разряда единиц и разряда десятков, следует умножить на 1, сотни и тысячи на 2, десять тысяч и сотен тысяч на 4, миллионы и десять миллионов снова на 1 и так далее.
Вычислите остатки, оставшиеся от каждого продукта после деления на 7.
Добавьте эти остатки.
Остаток суммы при делении на 7 - это остаток от заданного числа при делении на 7.

Например:

Число 194 536 оставляет остаток от 6 при делении на 7.

В числе 510 517 813 остается 1 при делении на 7.

Доказательство правильности метода

Этот метод основан на наблюдении, что 100 оставляет остаток 2 при делении на 7. И поскольку мы разбиваем число на пары цифр, у нас фактически есть степени 100.

1 мод 7 = 1

100 мод 7 = 2

10,000 мод 7 = 2 ^ 2 = 4

1000000 мод 7 = 2 ^ 3 = 8; 8 мод 7 = 1

10,0000,000 по модулю 7 = 2 ^ 4 = 16; 16 мод 7 = 2

1 000 000 000 000 mod 7 = 2 ^ 5 = 32; 32 мод 7 = 4

И так далее.

Затем правильность метода устанавливается следующей цепочкой равенств:

Пусть N - данное число ${ displaystyle { overline {a_ {2n} a_ {2n-1} ... a_ {2} a_ {1}}}}$ .

${ displaystyle { overline {a_ {2n} a_ {2n-1} ... a_ {2} a_ {1}}} mod 7}$

= ${ displaystyle [ сумма _ {к = 1} ^ {n} (a_ {2k} a_ {2k-1}) times 10 ^ {2k-2}] { bmod {7}}}$

= ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {2k} a_ {2k-1} times 10 ^ {2k-2}) { bmod {7}}}$

= ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {2k} a_ {2k-1} { bmod {7}}) times (10 ^ {2k-2} { bmod {7} })}$

Делимость на 13

Остаток Test13 (1, −3, −4, −1, 3, 4, цикл продолжается.) Если вас не устраивают отрицательные числа, используйте эту последовательность. (1, 10, 9, 12, 3, 4)

Умножьте крайнюю правую цифру числа на крайнее левое число в последовательности, показанной выше, и вторую крайнюю правую цифру на вторую крайнюю левую цифру числа в последовательности. Цикл продолжается.

Пример: каков остаток от деления 321 на 13?
Используя первую последовательность,
Ответ: 1 × 1 + 2 × −3 + 3 × −4 = −17
Остаток = −17 мод 13 = 9

Пример: каков остаток от деления 1234567 на 13?
Используя вторую последовательность,
Отвечать: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 мод 13 = 9
Остаток = 9

За 30

Свойства делимости можно определить двумя способами, в зависимости от типа делителя.

Составные делители

Число делится на данный делитель, если оно делится на наибольшую степень каждого из его основной факторы. Например, чтобы определить делимость на 36, проверьте делимость на 4 и 9.^[6] Обратите внимание, что проверки 3 и 12 или 2 и 18 будет недостаточно. А таблица основных факторов может быть полезно.

А составной divisor также может иметь правило, сформированное с использованием той же процедуры, что и для простого делителя, приведенного ниже, с оговоркой, что вовлеченные манипуляции не могут вводить какой-либо фактор, который присутствует в делителе. Например, нельзя составить правило для 14, которое включает умножение уравнения на 7. Это не проблема для простых делителей, потому что они не имеют меньших множителей.

Простые делители

Цель состоит в том, чтобы найти обратное к 10 по модулю рассматриваемое простое число (не работает для 2 или 5) и используйте его как множитель, чтобы делимость исходного числа на это простое число зависела от делимости нового (обычно меньшего) числа на то же простое число. Например, поскольку 10 × (−3) = −30 = 1 mod 31, мы получаем правило использования y − 3Икс в таблице выше. Точно так же, поскольку 10 × (28) = 280 = 1 mod 31, мы получаем дополнительное правило y + 28Икс того же вида - наш выбор сложения или вычитания продиктован арифметическим удобством меньшего значения. Фактически, это правило для простых делителей, кроме 2 и 5, является В самом деле правило делимости на любое целое число, относительно простое с 10 (включая 33 и 39; см. таблицу ниже). Вот почему последнее условие делимости в таблицах выше и ниже для любого числа, относительно простого до 10, имеет одинаковую форму (добавление или вычитание некоторого кратного последней цифры из остальной части числа).

Известные примеры

В следующей таблице приведены правила для некоторых более известных делителей:

Делитель	Условие делимости	Примеры
31	Вычтите три раза последнюю цифру из оставшейся части.	837: 83 − 3×7 = 62
32	Число, образованное последними пятью цифрами, делится на 32.^[2]^[3]	25,135,520: 35,520=1110×32
	Если цифра десяти тысяч четная, проверьте число, образованное последними четырьмя цифрами.	41,312: 1312.
	Если цифра десяти тысяч нечетная, проверьте число, образованное последними четырьмя цифрами плюс 16.	254,176: 4176+16 = 4192.
	Добавьте последние две цифры к 4-кратному остатку.	1312: (13×4) + 12 = 64.
33	К остатку прибавьте 10 раз последнюю цифру.	627: 62 + 10×7 = 132, 13 + 10×2 = 33.
	Сложите цифры справа налево блоками по два.	2145: 21 + 45 = 66.
	Он делится на 3 и 11.	627: 62 - 7 = 55 и 6 + 2 + 7 = 15 = 3 × 5
35	Число должно делиться на 7 и оканчиваться на 0 или 5.
37	Возьмите цифры в блоках по три справа налево и сложите каждый блок.	2,651,272: 2 + 651 + 272 = 925. 925 = 37×25.
37	Вычтите 11 раз последнюю цифру из оставшейся части.	925: 92 − (5×11) = 37.
39	Он делится на 3 и 13.	351: 35 - 1 = 34 и 3 + 5 + 4 = 12 = 3 × 4
39	К остальным прибавьте 4 раза последнюю цифру.	351: 35 + (1 × 4) = 39
41	Просуммируйте цифры в блоках по пять справа налево.	72,841,536,727: 7 + 28,415 + 36,727 = 65,149 = 41×1,589.
41	Вычтите 4 раза последнюю цифру из оставшейся части.	738: 73 − 8 × 4 = 41.
43	К оставшейся части прибавьте 13 раз последнюю цифру.	36,249: 3624 + 9 × 13 = 3741, 374 + 1 × 13 = 387, 38 + 7 × 13 = 129, 12 + 9 × 13 = 129 = 43 × 3.
43	Вычтите 3 раза последние две цифры из остальных.	36,249: 362 - 49 × 3 = 215 = 43 × 5.
45	Число должно делиться на 9 и оканчиваться на 0 или 5.^[6]	2025: заканчивается через 5 и 2 + 0 + 2 + 5 = 9.
47	Вычтите 14 раз последнюю цифру из оставшейся части.	1,642,979: 164297 − 9 × 14 = 164171, 16417 − 14 = 16403, 1640 − 3 × 14 = 1598, 159 − 8 × 14 = 47.
47	Добавьте последние две цифры к 6-кратному остатку.	705: 7 × 6 + 5 = 47.
49	К остатку прибавьте 5 раз последнюю цифру.	1,127: 112+(7×5)=147. 147: 14 + (7×5) = 49
49	Добавьте последние две цифры к 2-кратному остатку.	588: 5 × 2 + 88 = 98.
50	Последние две цифры - 00 или 50.	134,250: 50.
51	Число должно делиться на 3 и 17.	459: 4 × 2 - 59 = -51 и 4 + 5 + 9 = 18 = 3 × 6
	Вычтите 5 раз последнюю цифру из оставшейся части.	204: 20-(4×5)=0
	Вычтите две последние цифры из 2-кратного остатка.	459: 4 × 2 - 59 = -51.
53	К оставшейся части прибавьте 16 раз последнюю цифру.	3657: 365+(7×16)=477 = 9 × 53
53	Вычтите две последние цифры из 6-кратного остатка.	5777: 57 × 6 - 77 = 265.
55	Число должно делиться на 11 и оканчиваться на 0 или 5.^[6]
57	Число должно делиться на 3 и 19.	3591: 359 + 1 × 2 = 361 = 19 × 19 и 3 + 5 + 9 + 1 = 15 = 3 × 5
57	Вычтите 17 раз последнюю цифру из оставшейся части.	3591: 359 − 17 = 342, 34 − 2 × 17 = 0.
59	К оставшейся части прибавьте 6 раз последнюю цифру.	295: 29 + 5×6= 59
61	Вычтите 6 раз последнюю цифру из оставшейся части.	732: 73-(2×6)=61
64	Число, образованное последними шестью цифрами, должно делиться на 64.^[2]^[3]	2640000 делится на 64.
65	Число должно делиться на 13 и оканчиваться на 0 или 5.^[6]
67	Дважды вычтите последние две цифры из остальных.	9112: 91 - 12×2= 67
67	Вычтите 20 раз последнюю цифру из оставшейся части.	4489: 448-9×20=448-180=268.
69	Число должно делиться на 3 и 23.	345: 3 + 4 + 5 = 12 = 3 × 4 и 34 + 5 × 9 = 69 = 3 × 23
69	К остатку прибавьте 7 раз последнюю цифру.	345: 34 + 5×7 = 69
71	Вычтите 7 раз последнюю цифру из оставшейся части.	852: 85-(2×7)=71
73	Сформируйте переменную сумму блоков по четыре справа налево.	220,241: 241 - 22 = 219.
73	Сложите 22 раза последнюю цифру из остальных.	5329: 532 + 22 × 9 = 730, 7 + 22 × 3 = 73.
75	Число должно делиться на 3 и оканчиваться на 00, 25, 50 или 75.^[6]
77	Число делится на 7 и 11.	693: 69 - 3 = 66 = 11 × 6 и 69 - (6 × 2) = 63 = 7 × 9
77	Сформируйте чередующуюся сумму блоков по три справа налево.	76,923: 923 - 76 = 847.
79	К остатку прибавьте 8 раз последнюю цифру.	711: 71 + 1×8= 79
81	Вычтите 8 раз последнюю цифру из оставшейся части.	162: 16-(2×8)=0
83	К остатку прибавьте 25 раз последнюю цифру.	581: 58+(1×25)=83
83	Сложите последние три цифры к четырехкратному остатку.	38,014: (4×38) + 14 = 166
85	Число должно делиться на 17 и оканчиваться на 0 или 5.	30 855: 3085 - 25 = 3060 = 17 × 18. И число заканчивается на 5.
87	Вычтите 26 раз последнюю цифру из оставшейся части.	15138: 1513 − 8 × 26 = 1305, 130 − 5 × 26 = 0.
89	К оставшейся части прибавьте 9 раз последнюю цифру.	801: 80 + 1×9 = 89
89	Сложите последние две цифры к одиннадцатикратному остатку.	712: 12 + (7×11) = 89
91	Вычтите 9 раз последнюю цифру из оставшейся части.	182: 18 - (2×9) = 0
	Сформируйте чередующуюся сумму блоков по три справа налево.	5,274,997: 5 - 274 + 997 = 728
	Число делится на 7 и 13.	8281: 828+4 = 832. 83+8=91 828-2=826. 82-12=70.
95	Число должно делиться на 19 и оканчиваться на 0 или 5.	51,585: 5158 + 10 = 5168, 516 + 16 = 532, 53 + 4 = 57 = 19 × 3. И число заканчивается на 5.
97	Вычтите 29 раз последнюю цифру из оставшейся части.	291: 29 - (1×29) = 0
97	Добавьте последние две цифры к 3-кратному остатку.	485: (3×4)+ 85 = 97
99	Число делится на 9 и 11.	891: 89 - 1 = 88. 8 + 9 + 1 = 18.
99	Сложите цифры справа налево блоками по два.	144,837: 14 + 48 + 37 = 99.
100	Заканчивается минимум двумя нулями.	14100: В конце два нуля.
101	Сформируйте чередующуюся сумму блоков по два справа налево.	40,299: 4 - 2 + 99 = 101.
103	К остальным прибавьте 31 раз последнюю цифру.	585658: 58565 + (8×31) = 58813. 58813 : 103 = 571
103	Вычтите две последние цифры из трехкратного остатка.	5356: (53×3) - 56 = 103
107	Вычтите 32 раза последнюю цифру из оставшейся части.	428: 42 - (8×32) = -214
107	Вычтите последние две цифры из 7-кратного остатка.	1712: 17 × 7 - 12 = 107
109	К оставшейся части прибавьте 11 раз последнюю цифру.	654: 65 + (11×4) = 109
111	Сложите цифры справа налево блоками по три.	1,370,184: 1 + 370 + 184 = 555
113	Складываем последнюю цифру из остальных в 34 раза.	3842: 384 + 34 × 2 = 452, 45 + 34 × 2 = 113.
121	Вычтите 12 раз последнюю цифру из оставшейся части.	847: 84 - 12 × 7 = 0
125	Число, образованное последними тремя цифрами, должно делиться на 125.^[3]	2125 делится на 125.
127	Вычтите 38 раз последнюю цифру из оставшейся части.	4953: 495 - 38 × 3 = 381, 38 - 38 × 1 = 0.
128	Число, образованное последними семью цифрами, должно делиться на 128.^[2]^[3]	11,280,000 делится на 128.
131	Вычтите 13 раз последнюю цифру из оставшейся части.	1834: 183 - 13 × 4 = 131, 13 - 13 = 0.
137	Сформируйте переменную сумму блоков по четыре справа налево.	340,171: 171 - 34 = 137.
139	Добавьте 14 раз последнюю цифру из остальных.	1946: 194 + 14 × 6 = 278, 27 + 14 × 8 = 139.
143	Сформируйте чередующуюся сумму блоков по три справа налево.	1,774,487: 1 - 774 + 487 = -286
143	К остальным прибавьте 43 раза последнюю цифру.	6149: 614 + 43 × 9 = 1001, 100 + 43 = 143.
149	Добавьте 15 раз последнюю цифру из оставшейся части.	2235: 223 + 15 × 5 = 298, 29 + 15 × 8 = 149.
151	Вычтите 15 раз последнюю цифру из оставшейся части.	66,893: 6689 - 15 × 3 = 6644 = 151×44.
157	Вычтите 47 раз последнюю цифру из оставшейся части.	7536: 753 - 47 × 6 = 471, 47 - 47 = 0.
163	К оставшейся части прибавьте 49 раз последнюю цифру.	26,569: 2656 + 441 = 3097 = 163×19.
167	Вычтите 5 раз последние две цифры из остальных.	53,774: 537 - 5 × 74 = 167.
173	К оставшейся части прибавьте 52 раза последнюю цифру.	8996: 899 + 52 × 6 = 1211, 121 + 52 = 173.
179	К оставшейся части прибавьте 18 раз последнюю цифру.	3222: 322 + 18 × 2 = 358, 35 + 18 × 8 = 179.
181	Вычтите 18 раз последнюю цифру из оставшейся части.	3258: 325 - 18 × 8 = 181, 18 - 18 = 0.
191	Вычтите последнюю цифру 19 раз из оставшейся части.	3629: 362 - 19 × 9 = 191, 19 - 19 = 0.
193	К оставшейся части прибавьте 58 раз последнюю цифру.	11194: 1119 + 58 × 4 = 1351, 135 + 58 = 193.
197	Из оставшейся части вычтите 59 раз последнюю цифру.	11820: 118 - 59 × 2 = 0.
199	К остатку прибавьте 20 раз последнюю цифру.	3980: 39 + 20 × 8 = 199.
200	Последние две цифры номера - «00», а третья последняя цифра - четное число.	34 400: третья последняя цифра - 4, а последние две цифры - нули.
211	Вычтите 21 раз последнюю цифру из оставшейся части.	44521: 4452 - 21 × 1 = 4431, 443 - 21 × 1 = 422, 42 - 21 × 2 = 0.
223	Добавьте 67 раз последнюю цифру к остатку.	49729: 4972 + 67 × 9 = 5575, 557 + 67 × 5 = 892, 89 + 67 × 2 = 223.
225	Последние две цифры номера - «00», «25», «50» или «75», а сумма цифр кратна 9.	15075: 75 в конце и 1 + 5 + 0 + 7 + 5 = 18 = 2 × 9.
227	Вычтите 68 раз последнюю цифру из оставшейся части.	51756: 5175 - 68 × 6 = 4767, 476 - 68 × 7 = 0.
229	К остатку прибавьте 23 раза последнюю цифру.	52441: 5244 + 23 × 1 = 5267, 526 + 23 × 7 = 687, 68 + 23 × 7 = 229.
233	К оставшейся части прибавьте 70 раз последнюю цифру.	54289: 5428 + 70 × 9 = 6058, 605 + 70 × 8 = 1165, 116 + 70 × 5 = 466, 46 + 70 × 6 = 466 = 233 × 2.
239	Возьмите цифры в блоках по семь справа налево и сложите каждый блок.	1,560,000,083: 156 + 83 = 239.
239	К оставшейся части прибавьте 24 раза последнюю цифру.	57121: 5712 + 24 × 1 = 5736, 573 + 24 × 6 = 717, 71 + 24 × 7 = 239.
241	Вычтите 24 раза последнюю цифру из оставшейся части.	58081: 5808 - 24 × 1 = 5784, 578 - 24 × 4 = 482, 48 - 24 × 2 = 0.
250	Число, образованное последними тремя цифрами, должно делиться на 250.^[2]^[3]	1,327,750 делится на 250.
251	Вычтите последнюю цифру 25 раз из оставшейся части.	63001: 6300 - 25 × 1 = 6275, 627 - 25 × 5 = 502, 50 - 25 × 2 = 0.
256	Число, образованное последними восемью цифрами, должно делиться на 256.^[2]^[3]	225 600 000 делятся на 256.
257	Вычтите 77 раз последнюю цифру из оставшейся части.	66049: 6604 - 77 × 9 = 5911, 591 - 77 × 1 = 514 = 257 × 2.
263	К остатку прибавьте 79 раз последнюю цифру.	69169: 6916 + 79 × 9 = 7627, 762 + 79 × 7 = 1315, 131 + 79 × 5 = 526, 52 + 79 × 6 = 526 = 263 × 2.
269	К остатку прибавьте 27 раз последнюю цифру.	72361: 7236 + 27 × 1 = 7263, 726 + 27 × 3 = 807, 80 + 27 × 7 = 269.
271	Возьмите цифры в блоках по пять справа налево и сложите каждый блок.	77,925,613,961: 7 + 79,256 + 13,961 = 93,224 = 271×344.
271	Вычтите 27 раз последнюю цифру из оставшейся части.	73441: 7344 - 27 × 1 = 7317, 731 - 27 × 7 = 542, 54 - 27 × 2 = 0.
277	Вычтите 83 раза последнюю цифру из остатка.	76729: 7672 - 83 × 9 = 6925, 692 - 83 × 5 = 277.
281	Вычтите 28 раз последнюю цифру из оставшейся части.	78961: 7896 - 28 × 1 = 7868, 786 - 28 × 8 = 562, 56 - 28 × 2 = 0.
283	К остатку прибавьте 85 раз последнюю цифру.	80089: 8008 + 85 × 9 = 8773, 877 + 85 × 3 = 1132, 113 + 85 × 2 = 283.
293	К остатку прибавьте 88 раз последнюю цифру.	85849: 8584 + 88 × 9 = 9376, 937 + 88 × 6 = 1465, 146 + 88 × 5 = 586, 58 + 88 × 6 = 586 = 293 × 2.
300	Последние две цифры числа - «00», а результат суммирования цифр должен делиться на 3.	3,300: результат суммирования цифр - 6, а последние две цифры - нули.
329	К остатку прибавьте 33 раза последнюю цифру.	9541:954+1×33=954+33=987. 987=3×329.
331	Вычтите 33 раза последнюю цифру из оставшейся части.	22177: 2217-231=1986. 1986=6×331.
333	Сложите цифры по три справа налево.	410,922: 410 + 922 = 1,332
369	Возьмите цифры в блоках по пять справа налево и сложите каждый блок.	50243409: 43409+502=43911. 43911=369×119.
369	К оставшейся части прибавьте 37 раз последнюю цифру.	8487: 848+7×37=848+259=1107.
375	Число, образованное последними 3 цифрами, должно делиться на 125, а сумма всех цифр должна быть кратна 3.	140 625: 625 = 125 × 5 и 1 + 4 + 0 + 6 + 2 + 5 = 18 = 6 × 3.
499	Добавьте последние три цифры к двукратному остатку.	74,351: 74 × 2 + 351 = 499.
500	Заканчивается на 000 или 500.	47 500 делится на 500.
512	Число, образованное последними девятью цифрами, должно делиться на 512.^[2]^[3]	1 512 000 000 делится на 512.
625	Заканчивается на 0000, 0625, 1250, 1875, 2500, 3125, 3750, 4375, 5000, 5625, 6250, 6875, 7500, 8125, 8750 или 9375. Или число, образованное последними четырьмя цифрами, делится на 625.	567,886,875: 6875.
983	Сложите последние три цифры к семнадцатым оставшимся цифрам.	64878: 64×17+878=1966. 1966=2×983
987	Сложите последние три цифры к тринадцати разным остальным.	30597: 30×13+597=987
987	Число должно делиться на 329, а сумма всех цифр делиться на 3.	547785: 5+4+7+7+8+5=36. 36=3×12 54778+5×33=54943. 5494+3×33=5593. 559+3×33=658.658=2×329.
989	Сложите последние три цифры к одиннадцатикратному остатку.	21758: 21 × 11 = 231; 758 + 231 = 989
989	Число должно делиться на 23 и 43.	1978: 197+56=253. 253=11×23 197+104=301. 301=7×43.
993	Добавьте последние три цифры к семикратному остатку.	986049: 49+6902=6951. 6951=7×993.
993	Число должно делиться на 331, а сумма всех цифр делиться на 3.	8937: 8 + 7 = 15. 15 = 3 × 5. (Примечание: 9 и 3 не обязательно должны быть в сумме, они делятся на 3.) 893-231=662. 662=2×331.
997	Добавьте последние три цифры к трехкратному остатку.	157,526: 157 × 3 + 526= 997
999	Сложите цифры справа налево блоками по три.	235,764: 235 + 764 = 999
1000	Заканчивается минимум тремя нулями.	2000 заканчивается 3 нулями

Обобщенное правило делимости

Чтобы проверить делимость на D, куда D заканчивается на 1, 3, 7 или 9, можно использовать следующий метод.^[11] Найдите любое кратное D оканчивается на 9. (Если D заканчивается соответственно на 1, 3, 7 или 9, затем умножьте на 9, 3, 7 или 1.) Затем добавьте 1 и разделите на 10, обозначив результат как м. Тогда число N = 10т + q делится на D если и только если mq + t делится на D. Если число слишком велико, вы также можете разбить его на несколько строк с помощью е цифры каждая, удовлетворяющая либо 10^е = 1 или 10^е = -1 (мод D). Сумма (или альтернативная сумма) чисел имеет ту же делимость, что и исходная.

Например, чтобы определить, делится ли 913 = 10 × 91 + 3 на 11, найдите, что м = (11 × 9 + 1) ÷ 10 = 10. Тогда mq + t = 10 × 3 + 91 = 121; это делится на 11 (с частным 11), поэтому 913 также делится на 11. В качестве другого примера, чтобы определить, делится ли 689 = 10 × 68 + 9 на 53, найдите, что м = (53 × 3 + 1) ÷ 10 = 16. Тогда mq + t = 16 × 9 + 68 = 212, что делится на 53 (с частным 4); Таким образом, 689 также делится на 53.

В качестве альтернативы, любое число Q = 10c + d делится на n = 10a + b, так что gcd (n, 2, 5) = 1, если c + D (n) d = An для некоторого целого числа A, где: ${ Displaystyle D (n) Equiv { begin {cases} 9a + 1, & { mbox {if}} n { mbox {= 10a + 1}} 3a + 1, & { mbox {если }} n { mbox {= 10a + 3}} 7a + 5, & { mbox {if}} n { mbox {= 10a + 7}} a + 1, & { mbox {если }} п { mbox {= 10a + 9}} end {case}} }$

Первые несколько членов последовательности, генерируемой D (n), - это 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2, ... (последовательность A333448 в OEIS ).

Кусочная форма D (n) и генерируемая им последовательность были впервые опубликованы болгарским математиком Иваном Стойковым в марте 2020 года. ^[12]

Доказательства

Доказательство с использованием базовой алгебры

Многие из более простых правил можно создать, используя только алгебраические манипуляции, создавая биномы и переставляем их. Написав число как сумма каждой цифры, умноженная на степень 10 Силой каждой цифры можно управлять индивидуально.

Случай, когда все цифры суммируются

Этот метод работает для делителей, которые являются множителями 10 - 1 = 9.

Если взять 3 в качестве примера, 3 делит 9 = 10 - 1. Это означает ${ Displaystyle 10 Equiv 1 { pmod {3}}}$ (видеть модульная арифметика ). То же самое для всех высших степеней 10: ${ Displaystyle 10 ^ {п} эквив 1 ^ {п} эквив 1 { pmod {3}}}$ Они все конгруэнтный с 1 по модулю 3. Так как две вещи, которые конгруэнтны по модулю 3, либо обе делятся на 3, либо оба нет, мы можем поменять местами значения, которые конгруэнтны по модулю 3. Таким образом, в таком числе, как следующее, мы можем заменить все степени 10 на 1:

{ displaystyle 100 cdot a + 10 cdot b + 1 cdot c Equiv (1) a + (1) b + (1) c { pmod {3}}}

что и есть сумма цифр.

Случай, когда используется переменная сумма цифр

Этот метод работает для делителей, которые являются множителями 10 + 1 = 11.

Используя 11 в качестве примера, 11 делит 11 = 10 + 1. Это означает ${ Displaystyle 10 Equiv -1 { pmod {11}}}$ . Для более высоких степеней 10 они равны 1 для четных степеней и конгруэнтны -1 для нечетных степеней:

{ displaystyle 10 ^ {n} Equiv (-1) ^ {n} Equiv { begin {cases} 1, & { mbox {if}} n { mbox {четно}} - 1, & { mbox {if}} n { mbox {нечетное}} end {case}} { pmod {11}}.}

Как и в предыдущем случае, мы можем заменить степени 10 на конгруэнтные значения:

{ displaystyle 1000 cdot a + 100 cdot b + 10 cdot c + 1 cdot d Equiv (-1) a + (1) b + (- 1) c + (1) d { pmod {11}}}

что также является разницей между суммой цифр в нечетных позициях и суммой цифр в четных позициях.

Случай, когда важна только последняя цифра (а)

Это применимо к делителям, которые являются коэффициентом степени 10. Это связано с тем, что достаточно высокие степени основания кратны делителю и могут быть исключены.

Например, в базе 10 множители 10¹ включают 2, 5 и 10. Следовательно, делимость на 2, 5 и 10 зависит только от того, делится ли последняя 1 цифра на эти делители. Факторы 10² включают 4 и 25, и делимость на них зависит только от последних 2 цифр.

Случай, когда удаляются только последние цифры

Большинство чисел не делят 9 или 10 равномерно, но делят 10 в большей степени.^п или 10^п - 1. В этом случае число по-прежнему записывается с точностью до 10, но не полностью.

Например, 7 не делит 9 или 10, но делит 98, что близко к 100. Таким образом, исходите из

{ displaystyle 100 cdot a + b}

где в данном случае a - любое целое число, а b может принимать значения от 0 до 99. Затем

{ Displaystyle (98 + 2) cdot a + b}

и снова расширяясь

{ Displaystyle 98 cdot a + 2 cdot a + b,}

и после исключения известного кратного 7 результат

{ displaystyle 2 cdot a + b,}

которое является правилом: «удвойте число, состоящее из всех цифр, кроме последних двух, затем добавьте последние две цифры».

Случай, когда последняя цифра (и) умножается на коэффициент

Представление числа также может быть умножено на любое число, относительно простое с делителем, без изменения его делимости. Заметив, что 7 делит 21, мы можем выполнить следующее:

{ displaystyle 10 cdot a + b,}

после умножения на 2 это становится

{ displaystyle 20 cdot a + 2 cdot b,}

а потом

{ Displaystyle (21-1) cdot a + 2 cdot b.}

Устранение 21 дает

{ Displaystyle -1 cdot a + 2 cdot b,}

и умножение на −1 дает

{ displaystyle a-2 cdot b.}

Можно использовать любое из двух последних правил, в зависимости от того, какое легче выполнить. Они соответствуют правилу «вычтите дважды последнюю цифру из оставшейся части».

Доказательство с использованием модульной арифметики

В этом разделе будет проиллюстрирован основной метод; все правила можно получить, выполнив одну и ту же процедуру. Следующее требует базового заземления в модульная арифметика; для делимости, отличной от 2 и 5, доказательства основываются на основном факте, что 10 mod м обратима, если 10 и м относительно просты.

Для 2^п или 5^п:

Только последний п цифры нужно проверить.

{ displaystyle 10 ^ {n} = 2 ^ {n} cdot 5 ^ {n} Equiv 0 { pmod {2 ^ {n} mathrm { или } 5 ^ {n}}}}

Представляя Икс в качестве ${ displaystyle 10 ^ {n} cdot y + z,}$

{ displaystyle x = 10 ^ {n} cdot y + z Equiv z { pmod {2 ^ {n} mathrm { или } 5 ^ {n}}}}

и делимость Икс такой же, как у z.

Для 7:

Поскольку 10 × 5 ≡ 10 × (−2) ≡ 1 (mod 7), мы можем сделать следующее:

Представляя Икс в качестве ${ displaystyle 10 cdot y + z,}$

{ Displaystyle -2x Equiv y-2z { pmod {7}},}

так Икс делится на 7 тогда и только тогда, когда y − 2z делится на 7.

Смотрите также

Источники

Апостол, Том М. (1976). Введение в аналитическую теорию чисел. Тексты для бакалавриата по математике. 1. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3.
Кисачанин, Бранислав (1998). Математические проблемы и доказательства: комбинаторика, теория чисел, геометрия.. Пленум Пресс. ISBN 978-0-306-45967-2.
Ричмонд, Беттина; Ричмонд, Томас (2009). Дискретный переход к высшей математике. Чистые и прикладные тексты бакалавриата. 3. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4789-3.

внешняя ссылка

Критерии делимости в завязать узел
Глупые уловки делимости Правила делимости от 2 до 100.

[1] Гарднер, Мартин (сентябрь 1962 г.). «Математические игры: тесты, которые показывают, можно ли разделить большое число на число от 2 до 12». Scientific American. 207 (3): 232–246. Дои:10.1038 / scientificamerican0962-232. JSTOR 24936675.

[Pascal's-criterion-2] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час ^я ^j ^k ^л ^м ^п ^о ^п ^q Это следует из критерия Паскаля. См. Кисачанин (1998), п. 100–101

[last-m-digits-3] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час ^я ^j ^k ^л ^м ^п ^о ^п ^q Число делится на 2^м, 5^м или 10^м тогда и только тогда, когда число, образованное последним м цифр делится на это число. См. Ричмонд и Ричмонд (2009), п. 105

[apostol-1976-4] а ^б Апостол (1976), п. 108

[Richmond-Richmond-2009-5] а ^б ^c ^d Ричмонд и Ричмонд (2009), Раздел 3.4 (Тесты делимости), стр. 102–108

[product-of-coprimes-6] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час ^я ^j ^k ^л ^м ^п ^о ^п ^q Ричмонд и Ричмонд (2009), Раздел 3.4 (Тесты делимости), теорема 3.4.3, с. 107

[alternating-sum-of-blocks-of-three-7] а ^б Кисачанин (1998), п. 101

[7Divis-8] Харди, Г.; Райт, Э. М. (17 апреля 1980 г.). Введение в теорию чисел. Издательство Оксфордского университета. п.264. ISBN 0-19-853171-0.

[7Divis1-9] Су, Фрэнсис Э. ""Делимость на семь " Интересные факты о Мадде". Получено 2006-12-12.

[10] Стр. 274, Ведическая математика: шестнадцать простых математических формул, Свами Шанкарачарья, опубликовано Мотилал Банарсидасс, Варанаси, Индия, 1965, Дели, 1978. 367 страниц.

[11] Дункельс, Андрейс, «Комментарии к примечанию 82.53 - обобщенный тест на делимость», Математический вестник 84, март 2000 г., стр. 79–81.

[auto-12] Стойков, Иван (март 2020 г.). "OEIS A333448". OEIS A333448.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Правило делимости - Divisibility rule

Содержание

Правила делимости чисел 1–30

Пошаговые примеры

Делимость на 2

Делимость на 3 или 9

Делимость на 4

Делимость на 5

Делимость на 6

Делимость на 7

Делимость на 13

За 30

Составные делители

Простые делители

Известные примеры

Обобщенное правило делимости

Доказательства

Доказательство с использованием базовой алгебры

Доказательство с использованием модульной арифметики

Смотрите также

Рекомендации

Источники

внешняя ссылка