Область голоморфности - Domain of holomorphy

Наборы в определении.

В математика, в теории функций несколько сложных переменных, а область голоморфности - множество, максимальное в том смысле, что существует голоморфная функция на этом наборе, который не может быть расширенный к большему набору.

Формально открытый набор ${\displaystyle \Omega }$ в п-мерное сложное пространство ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}}$ называется область голоморфности если не существует непустых открытых множеств ${\displaystyle U\subset \Omega }$ и ${\displaystyle V\subset {\mathbb {C} }^{n}}$ куда ${\displaystyle V}$ является связаны, ${\displaystyle V\not \subset \Omega }$ и ${\displaystyle U\subset \Omega \cap V}$ так что для каждого голоморфная функция ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle \Omega }$ существует голоморфная функция ${\displaystyle g}$ на ${\displaystyle V}$ с ${\displaystyle f=g}$ на ${\displaystyle U}$

в ${\displaystyle n=1}$ В этом случае каждое открытое множество является областью голоморфности: мы можем определить голоморфную функцию с нулями накопление везде на граница домена, который тогда должен быть урочище для области определения его обратного. За ${\displaystyle n\geq 2}$ это уже не так, как следует из Лемма Хартогса.

Эквивалентные условия

Для домена ${\displaystyle \Omega }$ следующие условия эквивалентны:

1. ${\displaystyle \Omega }$ область голоморфности
2. ${\displaystyle \Omega }$ является голоморфно выпуклый
3. ${\displaystyle \Omega }$ является псевдовыпуклый
4. ${\displaystyle \Omega }$ является Леви выпуклый - для каждой последовательности ${\displaystyle S_{n}\subseteq \Omega }$ аналитических компактных поверхностей таких, что ${\displaystyle S_{n}\rightarrow S,\partial S_{n}\rightarrow \Gamma }$ для некоторого набора ${\displaystyle \Gamma }$ у нас есть ${\displaystyle S\subseteq \Omega }$ (${\displaystyle \partial \Omega }$ не может быть "затронут изнутри" последовательностью аналитических поверхностей)
5. ${\displaystyle \Omega }$ имеет местная собственность Леви - за каждую точку ${\displaystyle x\in \partial \Omega }$ есть район ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle f}$ голоморфный на ${\displaystyle U\cap \Omega }$ такой, что ${\displaystyle f}$ не может быть продолжен ни в какую окрестность ${\displaystyle x}$

Подразумеваемое ${\displaystyle 1\Leftrightarrow 2,3\Leftrightarrow 4,1\Rightarrow 4,3\Rightarrow 5}$ стандартные результаты (для ${\displaystyle 1\Rightarrow 3}$, видеть Лемма Оки ). Основная трудность заключается в доказательстве ${\displaystyle 5\Rightarrow 1}$, т.е. построение глобальной голоморфной функции, не допускающей расширения из нерасширяемых функций, определенных только локально. Это называется Проблема Леви (после Э. Э. Леви ) и был впервые решен Киёси Ока, а затем Ларс Хёрмандер используя методы функционального анализа и дифференциальных уравнений в частных производных (следствие ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$-проблема ).

Характеристики

• Если ${\displaystyle \Omega _{1},\dots ,\Omega _{n}}$ являются областями голоморфности, то их пересечение ${\displaystyle \Omega =\bigcap _{j=1}^{n}\Omega _{j}}$ также является областью голоморфности.
• Если ${\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\subseteq \dots }$ - возрастающая последовательность областей голоморфности, то их объединение ${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }\Omega _{n}}$ также является областью голоморфности (см. Теорема Бенке-Штейна ).
• Если ${\displaystyle \Omega _{1}}$ и ${\displaystyle \Omega _{2}}$ являются областями голоморфности, то ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}}$ является областью голоморфности.
• Первый Проблема кузена всегда разрешима в области голоморфности; это также верно, с дополнительными топологическими предположениями, для второго Проблема кузена.

Смотрите также

• Теорема Бенке – Штейна
• Леви псевдовыпуклый
• решение проблемы Леви
• Многообразие Штейна

Рекомендации

• Стивен Г. Кранц. Теория функций нескольких комплексных переменных, AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, 1992.
• Борис Владимирович Шабат, Введение в комплексный анализ, AMS, 1992 г.

Эта статья включает материал из Домена голоморфии по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.