Двоякопериодическая функция - Doubly periodic function

В математика, а двоякопериодическая функция это функция определены на комплексная плоскость и имеющий два "периода", которые являются комплексными числами ты и v которые линейно независимый как векторы над поле из действительные числа. Который ты и v периоды функции ƒ Значит это

{displaystyle f (z + u) = f (z + v) = f (z),}

для всех значений комплексного числаz.

Таким образом, двоякопериодическая функция является двумерным расширением более простого однопериодическая функция, который повторяется в одном измерении. Знакомые примеры функций с одним периодом в строке действительных чисел включают тригонометрические функции как косинус и синус. в комплексная плоскость то экспоненциальная функция е^z - однопериодическая функция с периодом 2πi.

Как произвольное отображение пар действительных чисел (или комплексных чисел) в действительные числа, двоякопериодическая функция может быть построена без особых усилий. Например, предположим, что периоды равны 1 ия, так что повторяющаяся решетка представляет собой множество единичных квадратов с вершинами в точках Гауссовские целые числа. Значения в квадрате прототипа (т.е. Икс + иу где 0 ≤Икс <1 и 0 ≤у <1) можно присвоить достаточно произвольно, а затем «скопировать» в соседние квадраты. Тогда эта функция обязательно будет двоякопериодической.

Если векторы 1 и я в этом примере заменены линейно независимыми векторами ты и v, квадрат прототипа становится параллелограммом прототипа, который все еще плитка самолет. «Начало» решетки параллелограммов не обязательно должно быть точкой 0: решетка может начинаться из любой точки. Другими словами, мы можем думать о плоскости и связанных с ней функциональных значениях как о неизменных и мысленно перемещать решетку, чтобы получить представление о характеристиках функции.

Если двоякопериодическая функция также является сложная функция что удовлетворяет Уравнения Коши – Римана и предоставляет аналитическую функцию вдали от некоторого набора изолированных полюса - другими словами, мероморфная функция - тогда много информации о такой функции можно получить, применив некоторые основные теоремы комплексного анализа.

Непостоянная мероморфная двоякопериодическая функция не может быть ограничена на параллелограмме-прототипе. Ибо если бы это было так, оно было бы везде ограничено и, следовательно, постоянно Теорема Лиувилля.
Поскольку функция мероморфна, она не имеет существенных особенностей и ее полюсы изолированы. Следовательно, может быть построена сдвинутая решетка, не проходящая через какой-либо полюс. В контурный интеграл вокруг любого параллелограмма в решетке должен исчезнуть, потому что значения, принимаемые двоякопериодической функцией вдоль двух пар параллельных сторон, идентичны, и две пары сторон пересекаются в противоположных направлениях, когда мы движемся по контуру. Поэтому по теорема о вычетах, функция не может иметь один простой полюс внутри каждого параллелограмма - у нее должно быть как минимум два простых полюса внутри каждого параллелограмма (якобианский случай), или у нее должен быть хотя бы один полюс порядка выше единицы (случай Вейерштрасса).
Аналогичный аргумент можно применить к функции грамм = 1/ƒ куда ƒ мероморфна и двоякопериодична. При этой инверсии нули из ƒ стать полюса из грамм, и наоборот. Итак, мероморфная двоякопериодическая функция ƒ не может иметь один простой нуль, лежащий в пределах каждого параллелограмма на решетке - он должен иметь по крайней мере два простых нуля, или он должен иметь по крайней мере один ноль кратности больше единицы. Следует, что ƒ не может получить значение только один раз, так как ƒ минус это значение само по себе было бы мероморфной двоякопериодической функцией всего с одним нулем.

Смотрите также

внешняя ссылка

«Двоякопериодическая функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]