Равный объездной пункт - Equal detour point

изопериметрическая точка ${\displaystyle Q}$, центр вписанной окружности ${\displaystyle I}$,
Точка Жергонна ${\displaystyle G}$, равный объездной пункт ${\displaystyle P}$
равные объезды:
${\displaystyle h_{A}+h_{C}-b=h_{A}+h_{B}-c=h_{B}+h_{C}-a}$гармонический диапазон:${\displaystyle {\frac {|QI|}{|PI|}}={\frac {|QG|}{|PG|}}}$

В равный объездной пункт это центр треугольника с Номер Кимберлинга Х (176). Он характеризуется свойством равного объезда, то есть если вы путешествуете из любой вершины треугольника. ${\displaystyle ABC}$ к другому, сделав крюк через некую внутреннюю точку ${\displaystyle P}$ тогда дополнительное пройденное расстояние будет постоянным. Это означает, что должно выполняться следующее уравнение:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}&|AP|+|PC|-|AC|\\=&|AP|+|PB|-|AB|\\=&|BP|+|PC|-|BC|\end{aligned}}}$

Точка равного объезда является единственной точкой со свойством равного объезда тогда и только тогда, когда для углов выполняется следующее неравенство ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ треугольника ${\displaystyle ABC}$:^[2]

${\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\leq 2}$

Если неравенство не выполняется, то изопериметрическая точка имеет свойство равного объезда.

Точка равного объезда, изопериметрическая точка, стимулятор и Точка Жергонна треугольника коллинеарен, то есть все четыре точки лежат на одной прямой. Кроме того, они образуют гармонический диапазон также (см. рисунок справа).^[3]

Точка равного объезда - это центр внутреннего Дерновый круг треугольника, а дополнительное расстояние, пройденное объездом, равно диаметру внутреннего Дернового Круга.^[3]

В барицентрические координаты равного объезда равны^[3]

${\displaystyle \left(a+{\frac {\Delta }{s-a}}:b+{\frac {\Delta }{s-b}}:c+{\frac {\Delta }{s-c}}\right).}$

и трилинейные координаты^[1]

${\displaystyle \left(\sec \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+1:\sec \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)cos\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+1:\sec \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)+1\right)}$

использованная литература

1. Изопериметрическая точка и точка равного объезда на Энциклопедия центров треугольников (Дата обращения 07.02.2020)
2. М. Хаджа, П. Йфф: «Изопериметрическая точка и точка (точки) равного обхода в треугольнике». Журнал геометрии, Ноябрь 2007 г., том 87, выпуск 1–2, стр 76–82, https://doi.org/10.1007/s00022-007-1906-y
3. Н. Дергиадес: "Дерзкие круги" Форум Geometricorum том 7, стр. 191–197, 2007 г.

внешние ссылки

• изопериметрические и равные объездные точки - Интерактивная иллюстрация на Geogebratube