Инвариант Ермакова – Льюиса. - Ermakov–Lewis invariant

Многие квантово-механические Гамильтонианы зависят от времени. Методы решения задач с явной зависимостью от времени в настоящее время являются открытой темой. Важно искать постоянные движения или инварианты для проблем такого рода. Для (в зависимости от времени) гармонический осциллятор можно написать несколько инвариантов, в том числе инвариант Ермакова – Льюиса, который будет развит ниже.

В время зависимый гармонический осциллятор Гамильтониан читает

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[{\hat {p}}^{2}+\Omega ^{2}(t){\hat {q}}^{2}\right].}$

Хорошо известно, что инвариантный для этого типа взаимодействия имеет вид

${\displaystyle {\hat {I}}={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\hat {q}}{\rho }}\right)^{2}+(\rho {\hat {p}}-{\dot {\rho }}{\hat {q}})^{2}\right],}$

где ${\displaystyle \rho }$ подчиняется уравнению Ермакова^[1]

${\displaystyle {\ddot {\rho }}+\Omega ^{2}\rho =\rho ^{-3}.}$

Указанный выше инвариант - это так называемый инвариант Ермакова – Льюиса.^[2] Легко показать, что ${\displaystyle {\hat {I}}}$ может быть связано с гамильтонианом гармонического осциллятора, не зависящим от времени, через унитарное преобразование формы ^[3]

${\displaystyle {\hat {T}}=e^{i{\frac {\ln \rho }{2}}({\hat {q}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {q}})}e^{-i{\frac {\dot {\rho }}{2\rho }}{\hat {q}}^{2}}=e^{i{\frac {\ln \rho }{2}}{\frac {d{\hat {q}}^{2}}{dt}}}e^{-i{\frac {{\hat {q}}^{2}}{2}}{\frac {d\ln \rho }{dt}}},}$

так как

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[{\hat {p}}^{2}+{\hat {q}}^{2}\right]={\hat {T}}{\hat {I}}{\hat {T}}^{\dagger }.}$

Это позволяет в простой форме выразить решение Уравнение Шредингера в зависимости от времени Гамильтониан.

Первый экспоненциальный в преобразовании есть так называемый оператор сжатия.

Такой подход может позволить упростить такие проблемы, как Квадрупольная ионная ловушка, где ион захватывается гармоническим потенциалом с зависящей от времени частотой. Представленное здесь преобразование полезно для учета таких эффектов.

использованная литература

1. В.П. Ермаков. Изв. (Киев) 20, 1 (1880)
2. Льюис, Х. Р. (1967-03-27). «Классические и квантовые системы с нестационарными гамильтонианами типа гармонических осцилляторов». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 18 (13): 510–512. Дои:10.1103 / Physrevlett.18.510. ISSN  0031-9007.
3. Моя-Сесса, Х.; Гуасти, М. Фернандес. «Когерентные состояния для зависящего от времени гармонического осциллятора: ступенчатая функция». Письма о физике A. 311: 1–5. arXiv:Quant-ph / 0301111. Bibcode:2003ФЛА..311 .... 1М. Дои:10.1016 / S0375-9601 (03) 00461-4.