Уравнение Эйлера – Лотки - Euler–Lotka equation

При исследовании роста населения с возрастной структурой, вероятно, одним из наиболее важных уравнений является уравнение Уравнение Лотки – Эйлера. Основываясь на возрастной демографии женщин в популяции и рождении девочек (поскольку во многих случаях именно женщины более ограничены в способности к воспроизводству), это уравнение позволяет оценить, как растет популяция.

Область математической демография был в значительной степени разработан Альфред Дж. Лотка в начале 20 века, опираясь на более ранние работы Леонард Эйлер. Уравнение Эйлера – Лотки, выведенное и обсуждаемое ниже, часто приписывается одному из его источников: Эйлеру, который вывел особую форму в 1760 году, или Лотке, получившему более общую непрерывную версию. Уравнение в дискретном времени имеет вид

${\displaystyle 1=\sum _{a=1}^{\omega }\lambda ^{-a}\ell (a)b(a)}$

куда ${\displaystyle \lambda }$ - дискретная скорость роста, ℓ(а) - доля людей, доживших до возраста а и б(а) - количество потомков, рожденных от человека в возрасте а во время временного шага. Сумма берется за всю жизнь организма.

Производные

Непрерывная модель Лотки

А.Дж. Лотка в 1911 году разработал непрерывную модель динамики населения следующим образом. Эта модель отслеживает только самок в популяции.

Позволять B(т) быть количеством рождений в единицу времени. Также определите масштабный коэффициент ℓ(а), доля особей, доживших до возраста а. Наконец определим б(а) быть коэффициентом рождаемости на душу населения для матерей в возрастеа.

Все эти величины можно посмотреть в непрерывный предел, производя следующие интеграл выражение дляB:

${\displaystyle B(t)=\int _{0}^{t}B(t-a)\ell (a)b(a)\,da.}$

Подынтегральное выражение дает количество рождений а лет в прошлом, умноженное на долю тех людей, которые еще живы т умноженный на коэффициент воспроизводства на человека в возрасте а. Мы проводим интеграцию по всем возможным возрастам, чтобы определить общий коэффициент рождений за определенный период. т. Фактически мы находим вклад всех людей в возрасте до т. Нам не нужно рассматривать людей, родившихся до начала этого анализа, поскольку мы можем просто установить базовую точку достаточно низко, чтобы включить их всех.

Давайте тогда угадаем экспоненциальный решение формы B(т) = Qe^rt. Включение этого в интегральное уравнение дает:

${\displaystyle Qe^{rt}=\int _{0}^{t}Qe^{r(t-a)}\ell (a)b(a)\,da}$

или же

${\displaystyle 1=\int _{0}^{t}e^{-ra}\ell (a)b(a)\,da.}$

Это можно переписать в дискретный случай, превратив интеграл в сумму, производящую

${\displaystyle 1=\sum _{a=\alpha }^{\beta }e^{-ra}\ell (a)b(a)}$

позволяя ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ быть граничным возрастом для воспроизводства или определения дискретной скорости роста λ = е^р получим уравнение для дискретного времени, полученное выше:

${\displaystyle 1=\sum _{a=1}^{\omega }\lambda ^{-a}\ell (a)b(a)}$

куда ${\displaystyle \omega }$ это максимальный возраст, мы можем продлить этот возраст, поскольку б(а) исчезает за границами.

Из матрицы Лесли

Напишем Матрица Лесли в качестве:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{0}&f_{1}&f_{2}&f_{3}&\ldots &f_{\omega -1}\\s_{0}&0&0&0&\ldots &0\\0&s_{1}&0&0&\ldots &0\\0&0&s_{2}&0&\ldots &0\\0&0&0&\ddots &\ldots &0\\0&0&0&\ldots &s_{\omega -2}&0\end{bmatrix}}}$

куда ${\displaystyle s_{i}}$ и ${\displaystyle f_{i}}$ доживают до следующего возрастного класса и рождаемость на душу населения соответственно. ${\displaystyle s_{i}=\ell _{i+1}/\ell _{i}}$ куда ℓ _я вероятность дожить до старости ${\displaystyle i}$, и${\displaystyle f_{i}=s_{i}b_{i+1}}$, количество рождений в возрасте ${\displaystyle i+1}$ взвешенный по вероятности дожить до возраста ${\displaystyle i+1}$.

Теперь, если у нас есть стабильный рост, рост системы - это собственное значение из матрица поскольку ${\displaystyle \mathbf {n_{i+1}} =\mathbf {Ln_{i}} =\lambda \mathbf {n_{i}} }$. Следовательно, мы можем использовать это отношение строка за строкой для получения выражений для ${\displaystyle n_{i}}$ через значения в матрице и ${\displaystyle \lambda }$.

Введение обозначений ${\displaystyle n_{i,t}}$ население в возрастном классе ${\displaystyle i}$ вовремя ${\displaystyle t}$, у нас есть ${\displaystyle n_{1,t+1}=\lambda n_{1,t}}$. Однако также ${\displaystyle n_{1,t+1}=s_{0}n_{0,t}}$. Отсюда следует, что

${\displaystyle n_{1,t}={\frac {s_{0}}{\lambda }}n_{0,t}.\,}$

С помощью того же аргумента мы находим, что

${\displaystyle n_{2,t}={\frac {s_{1}}{\lambda }}n_{1,t}={\frac {s_{0}s_{1}}{\lambda ^{2}}}n_{0,t}.}$

Продолжая индуктивно мы заключаем, что в целом

${\displaystyle n_{i,t}={\frac {s_{0}\cdots s_{i-1}}{\lambda ^{i}}}n_{0,t}.}$

Учитывая верхний ряд, получаем

${\displaystyle n_{0,t+1}=f_{0}n_{0,t}+\cdots +f_{\omega -1}n_{\omega -1,t}=\lambda n_{0,t}.}$

Теперь мы можем заменить нашу предыдущую работу на ${\displaystyle n_{i,t}}$ условия и получить:

${\displaystyle \lambda n_{0,t}=\left(f_{0}+f_{1}{\frac {s_{0}}{\lambda }}+\cdots +f_{\omega -1}{\frac {s_{0}\cdots s_{\omega -2}}{\lambda ^{\omega -1}}}\right)n_{(0,t)}.}$

Сначала подставьте определение рождаемости на душу населения и разделите на левую часть:

${\displaystyle 1={\frac {s_{0}b_{1}}{\lambda }}+{\frac {s_{0}s_{1}b_{2}}{\lambda ^{2}}}+\cdots +{\frac {s_{0}\cdots s_{\omega -1}b_{\omega }}{\lambda ^{\omega }}}.}$

Отметим следующее упрощение. С ${\displaystyle s_{i}=\ell _{i+1}/\ell _{i}}$ мы отмечаем, что

${\displaystyle s_{0}\ldots s_{i}={\frac {\ell _{1}}{\ell _{0}}}{\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\cdots {\frac {\ell _{i+1}}{\ell _{i}}}=\ell _{i+1}.}$

Эта сумма уменьшается до:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\omega }{\frac {\ell _{i}b_{i}}{\lambda ^{i}}}=1,}$

что и есть желаемый результат.

Анализ выражения

Из приведенного выше анализа мы видим, что уравнение Эйлера – Лотки на самом деле является характеристический многочлен матрицы Лесли. Мы можем проанализировать его решения, чтобы найти информацию о собственных значениях матрицы Лесли (что имеет значение для стабильности популяций).

Учитывая непрерывное выражение ж как функция р, мы можем изучить его корни. Мы замечаем, что на отрицательной бесконечности функция возрастает до положительной бесконечности, а на положительной бесконечности функция стремится к 0.

Первый производная ясно -аф а вторая производная равна а²ж. Затем эта функция уменьшается, вогнута вверх и принимает все положительные значения. Он также непрерывен по построению, поэтому по теореме о промежуточном значении пересекает р = 1 ровно один раз. Следовательно, существует ровно одно реальное решение, которое, следовательно, является доминирующим собственным значением матрицы равновесной скорости роста.

Тот же вывод применяется к дискретному случаю.

Связь с коэффициентом замещения населения

Если мы позволим λ = 1 дискретная формула становится коэффициент замещения населения.

дальнейшее чтение

• Коул, Энсли Дж. (1972). Рост и структура человеческих популяций. Принстон: Издательство Принстонского университета. С. 61–70. ISBN  0-691-09357-1.
• Хоппенстедт, Франк (1975). Математические теории популяций: демография, генетика и эпидемии. Филадельфия: СИАМ. С. 1–5. ISBN  0-89871-017-0.
• Кот, М. (2001). «Интегральное уравнение Лотки». Элементы математической экологии. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 353–64. ISBN  0-521-80213-X.