Евтактическая звезда - Eutactic star - Wikipedia

Эвтактическая звезда, состоящая из 5 пар векторов в трехмерном пространстве (п = 3, s = 5)

В Евклидова геометрия, а евтактическая звезда это геометрическая фигура в Евклидово пространство. Звезда - это фигура, состоящая из любого количества противоположных пар векторов (или оружие) исходящие из центрального источника. Звезда эвтактична, если она ортогональный проекция плюс и минус набор стандартных базисных векторов (то есть вершин кросс-многогранник ) из многомерного пространства на подпространство. Такие звезды были названы «эвтактическими», что означает «удачно расположенные» или «хорошо расположенные». Шлефли (1901 г., п. 134), потому что для общего скалярное кратное, их векторы являются проекциями ортонормированный базис.[1]

Определение

Эвтактическая звезда в плоскости (п = 2, s = 4)

А звезда здесь определяется как набор из 2s векторов А = ±а1, ..., ±аs исходящий из определенного источника в евклидовом пространстве размерности п ≤ s. Звезда является эвтактической, если ая проекции на п размеры комплекта взаимно перпендикуляр равные векторы б1, ..., бs исходящий из определенного происхождения в евклидовом s-мерное пространство.[2] Конфигурация 2s векторов в s-мерное пространство B = ±б1, ... , ±бs известен как Пересекать. С учетом этих определений, эвтактическая звезда - это, если кратко, звезда, образованная ортогональной проекцией креста.

Эквивалентное определение, впервые упомянутое Schläfli,[3] предусматривает, что звезда является эвтактической, если постоянная ζ существует такое, что

для каждого вектора v. Для существования такой постоянной требуется, чтобы сумма квадратов ортогональных проекций А на линии быть равными во всех направлениях.[4] В целом,

А нормализованный Евтактическая звезда - это спроецированный крест, состоящий из единичные векторы.[2][5] Звезды эвтактики часто рассматриваются в п = 3 измерения из-за их связи с изучением правильные многогранники.

Основная теорема Хадвигера

Позволять Т быть симметричный линейное преобразование определены для векторов Икс к

где аj сформировать любую коллекцию s векторов в п-мерное евклидово пространство. Hadwiger Основная теорема утверждает, что векторы ±а1, ..., ±аs сформировать эвтактическую звезду если и только если есть постоянный ζ такой, что ТИкс = ζИкс для каждого Икс.[2][6] Векторы образуют нормализованную эвтактическую звезду именно тогда, когда Т это оператор идентификации - когда ζ = 1.

Эквивалентно, звезда нормализована эвтактической тогда и только тогда, когда матрица А = [а1 ... аs], столбцами которого являются векторы аk, имеет ортонормированный ряды. Доказательство можно дать в одном направлении, дополнив строки этой матрицы до ортонормированный базис из , а в другом - ортогонально проецируя на п-мерное подпространство, натянутое на первое п Декартовы координатные векторы.

Теорема Хадвигера подразумевает эквивалентность условия Шлефли и геометрического определения эвтактической звезды с помощью поляризационная идентичность. Кроме того, и тождество Шлефли, и теорема Хадвигера дают одно и то же значение константыζ.

Приложения

Эвтактические звезды полезны в основном из-за их связи с геометрией многогранники и группы из ортогональные преобразования. Шлефли рано показал, что векторы от центра любого правильного многогранника к его вершинам образуют эвтактическую звезду. Брауэр и Кокстер доказали следующее обобщение:[7]

Звезда является эвтактической, если она преобразована в себя некоторой неприводимой группой ортогональных преобразований, которая транзитивно действует на пары противоположных векторов.

Под неприводимой группой здесь понимается группа, которая не оставляет инвариантными ни одно нетривиальное собственное подпространство (см. неприводимое представление ). Поскольку теоретико-множественное объединение двух эвтактических звезд само по себе является эвтактическим (следствие Основная теорема Хадвигера ), можно сделать вывод, что в целом:[4]

Звезда является эвтактической, если она превращается в себя некоторой неприводимой группой ортогональных преобразований.

Звезды эвтактики можно использовать для подтверждения эвтаксии любой формы в целом. В соответствии с Х. С. М. Кокстер: "Форма является эвтактической тогда и только тогда, когда ее минимальные векторы равны параллельно к векторам эвтактической звезды ".[4]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Д. М. Цветкович; П. Роулинсон; С. Симич (1997). Собственные подпространства графов. Издательство Кембриджского университета. п.151. ISBN  0-521-57352-1.
  2. ^ а б c Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1973). Правильные многогранники. Courier Dover Publications. п.251. ISBN  0-486-61480-8.
  3. ^ Шлефли, Людвиг (1949). "Theorie der vielfachen Kontinuität". Собрание математических работ (на немецком). я. Birkhäuser Verlag. Zbl  0035.21902.
  4. ^ а б c Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1951). «Крайние формы». Канадский математический журнал. 3: 391–441. Дои:10.4153 / CJM-1951-045-8. ISSN  0008-414X. МИСТЕР  0044580.
  5. ^ Э. В. Вайсштейн. "Евтактическая звезда - MathWorld". Получено 2009-08-28.
  6. ^ Э. В. Вайсштейн. «Основная теорема Хадвигера - MathWorld». Получено 2009-08-28.
  7. ^ Брауэр, Р.; Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1940). «Обобщение теорем Шёнхардта и Мемке о многогранниках». Пер. Рой. Soc. Канада. Разд. III. (3). 34: 29–34. МИСТЕР  0002869..
  8. ^ «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-01-12. Получено 2014-01-11.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
  • Schläfli, Ludwig (1901) [1852], Graf, J. H. (ed.), Theorie der vielfachen Kontinuität, Переиздано Монографиями по исторической математике Библиотеки Корнельского университета в 2010 г. (на немецком языке), Цюрих, Базель: Georg & Co., ISBN  978-1-4297-0481-6