Равномерно распределенная целочисленная топология - Evenly spaced integer topology

В общая топология, раздел математики, равномерно распределенная целочисленная топология это топология на съемках целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} генерируется семейством всех арифметические прогрессии.^[1] Это частный случай проконечная топология на группу. Это конкретное топологическое пространство было введено Фюрстенберг (1955) где это использовалось доказать бесконечность простых чисел.

Строительство

Арифметическая прогрессия, связанная с двумя (возможно, не различными) числами а и k, куда ${\displaystyle a,k\in \mathbb {Z} :k\neq 0}$, - множество целых чисел

${\displaystyle a+k\mathbb {Z} :=\{a+k\lambda :\lambda \in \mathbb {Z} \}.}$

Дать набор ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ топология означает, что подмножества из ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ находятся открыто способом, который удовлетворяет следующим аксиомы:^[2]

1. В союз открытых множеств - это открытое множество.
2. Конечная пересечение открытых множеств - это открытое множество.
3. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ и пустой набор ∅ - открытые множества.

Семейство всех арифметических прогрессий не удовлетворяет этим аксиомам: объединение арифметических прогрессий не обязательно должно быть арифметической прогрессией, например, {1, 5, 9, …} ∪ {2, 6, 10, …} = {1, 2, 5, 6, 9, 10, …} не является арифметической прогрессией. Таким образом, целочисленная топология с равными интервалами определяется как топология создано семейство арифметических прогрессий. Это грубейшая топология который включает в качестве открытых подмножеств семейство всех арифметических прогрессий: то есть арифметические прогрессии являются подоснование для топологии. Поскольку пересечение любого конечного набора арифметических прогрессий снова является арифметической прогрессией, семейство арифметических прогрессий является основание для топологии, что означает, что каждое открытое множество является объединением арифметических прогрессий.^[1]

Характеристики

Целые числа Фюрстенберга отделимы и метризуемы, но неполны. К Теорема Урысона о метризации, они бывают регулярными и хаусдорфовыми.^[3][4]

Примечания

1. Стин и Зеебах, 1995 г., стр. 80–81
2. Стин и Зеебах, 1995 г., п. 3
3. Lovas, R .; Мезо, И. (2015). «Некоторые наблюдения о топологическом пространстве Фюрстенберга». Elemente der Mathematik. 70: 103–116.
4. Ловас, Решо Ласло; Мезу, Иштван (4 августа 2010 г.). «Об экзотической топологии целых чисел». arXiv:1008.0713v1 [math.GN ].

Рекомендации

• Фюрстенберг, Гарри (1955), «О бесконечности простых чисел», Американский математический ежемесячный журнал, Математическая ассоциация Америки, 62 (5): 353, Дои:10.2307/2307043, JSTOR  2307043, МИСТЕР  0068566.
• Стин, Л.А.; Зеебах, Дж. А. (1995), Контрпримеры в топологии, Dover, pp. 80–81, ISBN  0-486-68735-X.