Фюрстенбергс доказательство бесконечности простых чисел - Furstenbergs proof of the infinitude of primes - Wikipedia

В математика, особенно в теория чисел, Гилель Фюрстенберг доказательством бесконечности простых чисел является топологический доказательство что целые числа содержать бесконечно много простые числа. При внимательном рассмотрении доказательство представляет собой не столько утверждение о топологии, сколько утверждение о некоторых свойствах арифметические последовательности.^[1] В отличие от Классическое доказательство Евклида, Доказательство Фюрстенберга доказательство от противного. Доказательство было опубликовано в 1955 г. Американский математический ежемесячный журнал в то время как Фюрстенберг был еще студент бакалавриата в Ешива университет.

Доказательство Фюрстенберга

Определить топология на целых числах Z, называется равномерно распределенная целочисленная топология, объявив подмножество U ⊆ Z быть открытый набор если и только если это союз арифметических последовательностей S(а, б) за а ≠ 0, или пустой (что можно рассматривать как аннулированный союз (пустое объединение) арифметических последовательностей), где

${\displaystyle S(a,b)=\{an+b\mid n\in \mathbb {Z} \}=a\mathbb {Z} +b.}$

Эквивалентно, U открыто тогда и только тогда, когда каждый Икс в U есть какое-то ненулевое целое число а такой, что S(а, Икс) ⊆ U. В аксиомы топологии легко проверяются:

• ∅ открыто по определению, и Z это просто последовательность S(1, 0), и поэтому тоже открыт.
• Открыто любое объединение открытых множеств: для любого набора открытых множеств. U_я и Икс в их союзе U, любое из чисел а_я для которого S(а_я, Икс) ⊆ U_я также показывает, что S(а_я, Икс) ⊆ U.
• Пересечение двух (а значит, и конечного числа) открытых множеств открыто: пусть U₁ и U₂ быть открытыми множествами и пусть Икс ∈ U₁ ∩ U₂ (с числами а₁ и а₂ установление членства). Набор а быть наименьший общий множитель из а₁ и а₂. потом S(а, Икс) ⊆ S(а_я, Икс) ⊆ U_я.

Эта топология имеет два примечательных свойства:

1. Поскольку любое непустое открытое множество содержит бесконечную последовательность, конечное множество не может быть открытым; Другими словами, дополнять конечного множества не может быть закрытый набор.
2. Базисные наборы S(а, б) находятся как открытые, так и закрытые: они открыты по определению, и мы можем написать S(а, б) как дополнение к открытому множеству следующим образом:

${\displaystyle S(a,b)=\mathbb {Z} \setminus \bigcup _{j=1}^{a-1}S(a,b+j).}$

Единственные целые числа, которые не являются целыми числами, кратными простым числам, - это -1 и +1, т.е.

${\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \{-1,+1\}=\bigcup _{p\mathrm {\,prime} }S(p,0).}$

По первому свойству набор в левой части не может быть закрыт. С другой стороны, по второму свойству множества S(п, 0) закрыты. Итак, если бы было только конечное число простых чисел, то множество в правой части было бы конечным объединением замкнутых множеств и, следовательно, замкнутым. Это было бы противоречие, поэтому простых чисел должно быть бесконечно много.

Примечания

1. Мерсер, Идрис Д. (2009). "О доказательстве бесконечности простых чисел Фюрстенбергом" (PDF). Американский математический ежемесячный журнал. 116 (4): 355–356. CiteSeerX  10.1.1.559.9528. Дои:10.4169 / 193009709X470218.

Рекомендации

• Айгнер, Мартин; Циглер, Гюнтер М. (1998). «Доказательства из книги». Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag.
• Фюрстенберг, Гарри (1955). «О бесконечности простых чисел». Американский математический ежемесячный журнал. 62 (5): 353. Дои:10.2307/2307043. JSTOR  2307043. МИСТЕР  0068566.
• Мерсер, Идрис Д. (2009). "О доказательстве бесконечности простых чисел Фюрстенбергом" (PDF). Американский математический ежемесячный журнал. 116 (4): 355–356. CiteSeerX  10.1.1.559.9528. Дои:10.4169 / 193009709X470218.
• Lovas, R .; Мезо, И. (2015). «Некоторые наблюдения о топологическом пространстве Фюрстенберга». Elemente der Mathematik. 70 (3): 103–116. Дои:10.4171 / EM / 283.

внешняя ссылка

• Доказательство Фюрстенберга, что простых чисел бесконечно много в Все2
• Доказательство Фюрстенберга бесконечности простых чисел в PlanetMath.