Теорема Эвальда – Озеена о вымирании - Ewald–Oseen extinction theorem - Wikipedia

В оптика, то Теорема Эвальда – Озеена о вымирании, иногда называемая просто «теоремой поглощения», является теоремой, которая лежит в основе общего понимания рассеяния (а также преломления, отражения и дифракции). Он назван в честь Пол Питер Эвальд и Карл Вильгельм Озеен, которые доказали теорему в кристаллической и изотропной средах соответственно в 1916 и 1915 годах.^[1] Первоначально теорема применялась к рассеянию на изотропных диэлектрических объектах в свободном пространстве. Сфера применения теоремы была значительно расширена, чтобы охватить широкий спектр бианизотропных сред.^[2]

Обзор

Важная часть теории оптической физики начинается с микроскопической физики - поведения атомов и электронов - и используется для выводить знакомые макроскопические законы оптики. В частности, вывод о том, как показатель преломления работает и откуда берется, начиная с микроскопической физики. Теорема Эвальда – Озеена о вымирании является частью этого вывода (как и Уравнение Лоренца – Лоренца. так далее.).

Когда свет, путешествующий в вакууме, попадает в прозрачную среду, такую ​​как стекло, свет замедляется, как описано показатель преломления. Хотя этот факт известен и знаком, на самом деле он довольно странный и удивительный, если взглянуть на него под микроскопом. Ведь согласно принцип суперпозиции, свет в стекле представляет собой суперпозицию:

• Исходная световая волна, и
• Световые волны, излучаемые колеблющимися электронами в стекле.

(Свет - это колеблющееся электромагнитное поле, которое толкает электроны вперед и назад, излучая дипольное излучение.)

По отдельности каждая из этих волн движется в вакууме со скоростью света, нет с (более медленной) скоростью света в стекле. Но когда волны складываются, они неожиданно создают Только волна, которая движется с меньшей скоростью.

Теорема Эвальда-Озеена о экстинкции гласит, что излучаемый атомами свет имеет компонент, движущийся со скоростью света в вакууме, который в точности нейтрализует («гасит») исходную световую волну. Кроме того, свет, излучаемый атомами, имеет компонент, который выглядит как волна, движущаяся с меньшей скоростью света в стекле. В целом Только Волна в стекле - это медленная волна, соответствующая тому, что мы ожидаем от базовой оптики.

Более полное описание можно найти в «Классической оптике и ее приложениях» Масуда Мансурипура.^[3] Доказательство классической теоремы можно найти в Принципы оптики, пользователя Born and Wolf.^[1], а его расширение было представлено Ахлеш Лахтакия.^[2]

Вывод из уравнений Максвелла

Вступление

Когда электромагнитная волна входит в диэлектрическую среду, она возбуждает (резонирует) электроны материала, независимо от того, свободны они или связаны, переводя их в колебательное состояние с той же частотой, что и волна. Эти электроны, в свою очередь, излучают собственные электромагнитные поля в результате своих колебаний (электромагнитные поля колеблющихся зарядов). Из-за линейности уравнений Максвелла можно ожидать, что полное поле в любой точке пространства будет суммой исходного поля и поля, создаваемого колеблющимися электронами. Этот результат, однако, противоречит практической волне, которую можно наблюдать в диэлектрике, движущемся со скоростью c / n, где n - показатель преломления среды. Теорема Эвальда-Озеена пытается решить проблему разрыва связи, демонстрируя, как суперпозиция этих двух волн воспроизводит знакомый результат волны, движущейся со скоростью c / n.

Вывод

Давайте рассмотрим упрощенную ситуацию, когда монохроматическая электромагнитная волна обычно падает на среду, заполняющую половину пространства в области z> 0, как показано на рисунке 1.

Рисунок 1: Полупространство z> 0 представляет собой диэлектрический материал с восприимчивостью χ. Полупространство z ​​<0 - вакуум.

Электрическое поле в точке пространства - это сумма электрических полей, создаваемых всеми различными источниками. В нашем случае мы разделяем поля на две категории в зависимости от их источников. Обозначим падающее поле

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }}$

и сумма полей, создаваемых колеблющимися электронами в среде

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t)}$.

Общее поле в любой точке z в пространстве тогда определяется суперпозицией двух вкладов:

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t)}$.

Чтобы соответствовать тому, что мы уже наблюдаем, ${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }}$ имеет такую ​​форму. Однако мы уже знаем, что внутри среды, z> 0, мы будем наблюдать только то, что мы называем передаваемым E-полем. ${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {t} }}$который движется через материал со скоростью c / n.

Следовательно, в этом формализме

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t)=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)+\mathbf {E} _{T}(z,t)}$

Это означает, что излучаемое поле нейтрализует падающее поле и создает передаваемое поле, перемещающееся в среде со скоростью c / n. Используя ту же логику, вне среды излучаемое поле создает эффект отраженного поля. ${\displaystyle \mathbf {E} _{R}}$ движется со скоростью c в направлении, противоположном падающему полю.

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t)=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)-\mathbf {E} _{R}(z,t)}$

Предположим, что длина волны намного больше среднего расстояния между атомами, так что среду можно считать непрерывной. Мы используем обычные макроскопические поля E и B и считаем среду немагнитной и нейтральной, так что уравнения Максвелла имеют вид

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\nabla \cdot \mathbf {E} =0}\\{\nabla \cdot \mathbf {B} =0}\\{\nabla \times \mathbf {E} =-\partial \mathbf {B} /\partial t}\\{\nabla \times \mathbf {B} ={\boldsymbol {\mu }}_{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}{\boldsymbol {\mu }}_{0}\partial \mathbf {E} /\partial t}\end{array}}}$

как полное электрическое, так и магнитное поля

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} },\quad \mathbf {B} =\mathbf {B} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {B} _{\mathrm {rad} }}$

система уравнений Максвелла внутри диэлектрика

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\nabla \cdot \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=0}\\{\nabla \cdot \mathbf {B} _{\mathrm {rad} }=0}\\{\nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=-\partial \mathbf {B} _{\mathrm {rad} }/\partial t}\\{\nabla \times \mathbf {B} _{\mathrm {rad} }=\mu _{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\partial \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }/\partial t}\end{array}}}$

куда ${\displaystyle \mathbf {J} }$ включает истинный ток и ток поляризации, индуцированный в материале внешним электрическим полем. Мы предполагаем линейную зависимость между током и электрическим полем, поэтому

${\displaystyle \mathbf {J} ={\sigma }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }\right)}$

Система уравнений Максвелла вне диэлектрика не имеет члена плотности тока

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\nabla \cdot \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }=0}\\{\nabla \cdot \mathbf {B} _{\mathrm {vac} }=0}\\{\nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }=-\partial \mathbf {B} _{\mathrm {vac} }/\partial t}\\{\nabla \times \mathbf {B} _{\mathrm {vac} }=\epsilon _{0}\mu _{0}\partial \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }/\partial t}\end{array}}}$

Две системы уравнений Максвелла связаны, поскольку электрическое поле вакуума появляется в члене плотности тока.

Для монохроматической волны при нормальном падении электрическое поле вакуума имеет вид

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)=\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }\exp[i(kz-\omega t)]}$ ,

с ${\displaystyle k=\omega /{c}}$.

Теперь решить для ${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }}$, мы берем ротор третьего уравнения из первого набора уравнений Максвелла и объединяем его с четвертым.

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=-\partial (\nabla \times \mathbf {B} _{\mathrm {rad} })/\partial t}\\{\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=-\partial (\mu _{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\partial \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }/\partial t)/\partial t}\end{array}}}$

Мы упрощаем двойной завиток за пару шагов, используя Суммирование Эйнштейна.

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} )_{i}&=\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}\partial _{j}\partial _{l}E_{m}\\&=(\delta _{il}\delta _{j\mathrm {m} }-\delta _{i\mathrm {m} }\delta _{jl})\partial _{j}\partial _{l}E_{m}\\&=\partial _{i}(\partial _{j}E_{j})-\partial _{j}\partial _{j}E_{i}\end{aligned}}}$

Отсюда получаем

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times \mathbf {E} _{rad}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} _{rad})-\nabla ^{2}\mathbf {E} _{rad}}$

Затем подставив ${\displaystyle \mathbf {J} }$ к ${\displaystyle {\sigma }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }\right)}$, используя тот факт, что ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=0}$ мы получаем,

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} _{rad}=\partial (\mu _{0}{\sigma }\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mu _{0}{\sigma }\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }+\epsilon _{0}\mu _{0}\partial \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }/\partial t)/\partial t}$

Понимая, что все поля имеют одинаковую временную зависимость ${\displaystyle \exp[-i\omega t]}$, производные по времени очевидны, и мы получаем следующее неоднородное волновое уравнение

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }+\mu _{0}\omega ^{2}\left(\epsilon _{0}+i\sigma /\omega \right)\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=-i\mu _{0}\omega \sigma \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z)}$

с особым решением

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }^{P}=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z)}$

Для полного решения мы добавляем к частному решению общее решение однородного уравнения, которое представляет собой суперпозицию плоских волн, распространяющихся в произвольных направлениях [13]

${\displaystyle \left(\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }^{c}\right)_{i}=\int g_{i}({\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\phi }})\exp \left(i\mathbf {k} ^{\prime }\cdot \mathbf {r} \right)d\Omega }$

Где ${\displaystyle k^{\prime }}$находится из однородного уравнения как

${\displaystyle k^{\prime 2}=\mu _{0}\epsilon _{0}\omega ^{2}\left(1+i{\frac {\sigma }{\epsilon _{0}\omega }}\right)}$

Обратите внимание, что мы взяли решение как когерентную суперпозицию плоских волн. Из-за симметрии мы ожидаем, что поля будут одинаковыми в плоскости, перпендикулярной плоскости ${\displaystyle z}$ ось. Следовательно ${\displaystyle \mathbf {k} ^{\prime }\cdot \mathbf {a} =0,}$ куда ${\displaystyle \mathbf {a} }$ это смещение, перпендикулярное ${\displaystyle z}$.

Поскольку в регионе нет границ ${\displaystyle z>0}$, мы ожидаем, что волна движется вправо. Решение однородного уравнения принимает вид

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }^{c}=\mathbf {E} _{T}\exp \left(ik^{\prime }z\right)}$

Добавляя это к частному решению, мы получаем излучаемую волну внутри среды ( ${\displaystyle z>0}$ )

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z)+\mathbf {E} _{T}\exp \left(ik^{\prime }z\right)}$

Общее поле в любой позиции ${\displaystyle z}$ представляет собой сумму падающего и излучаемого полей в этой позиции. Складывая два компонента внутри среды, мы получаем общее поле

${\displaystyle \mathrm {E} (z)=\mathrm {E} _{T}\exp \left(ik^{\prime }z\right),}$ ${\displaystyle z>0}$

Эта волна распространяется внутри диэлектрика со скоростью ${\displaystyle c/n,}$

${\displaystyle n=ck^{\prime }/\omega ={\sqrt {1+i{\frac {\sigma }{\epsilon _{0}\omega }}}}}$

Мы можем упростить вышеизложенное ${\displaystyle n}$ к знакомой форме показателя преломления линейного изотропного диэлектрика. Для этого вспомним, что в линейном диэлектрике приложенное электрическое поле ${\displaystyle \mathbf {E} }$ вызывает поляризацию ${\displaystyle \mathbf {P} }$ пропорционально электрическому полю ${\displaystyle \mathbf {P} =\epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} }$. Когда электрическое поле изменяется, индуцированные заряды перемещаются и создают плотность тока, определяемую ${\displaystyle \partial \mathbf {P} /\partial t}$. Поскольку зависимость электрического поля от времени равна ${\displaystyle \exp(-i\omega t)}$, мы получили

${\displaystyle \mathbf {J} =-i\epsilon _{0}\omega \chi _{e}\mathbf {E} }$

Это означает, что проводимость

${\displaystyle \sigma =-i\epsilon _{0}\omega \chi _{e}}$.

Затем подставляя проводимость в уравнение ${\displaystyle n}$, дает

${\displaystyle n={\sqrt {1+\chi _{e}}}}$

что является более знакомой формой. Для региона ${\displaystyle z<0}$, накладывается условие бегущей влево волны. Установив проводимость в этой области ${\displaystyle \sigma =0}$, получаем отраженную волну

${\displaystyle \mathrm {E} (z)=\mathrm {E} _{R}\exp \left(-ikz\right),}$

движется со скоростью света.

Обратите внимание, что номенклатура коэффициентов, ${\displaystyle \mathbf {E} _{T}}$ и ${\displaystyle \mathbf {E} _{R}}$, принимаются только в соответствии с нашими ожиданиями.

Векторный подход Герца

Ниже приводится вывод, основанный на работе Вангснесса. ^[4] и аналогичный вывод, найденный в главе 20 текста Зангвилла, Современная электродинамика.^[5] Постановка такова, пусть бесконечное полупространство ${\displaystyle z<0}$ быть вакуумом и бесконечным полупространством ${\displaystyle z>0}$ быть однородным, изотропным, диэлектрическим материалом с электрическая восприимчивость, ${\displaystyle \chi .}$

В уравнение неоднородной электромагнитной волны для электрического поля можно записать в терминах электрического Герцовый потенциал, ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }}$, в калибровке Лоренца как

${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}}$.

Электрическое поле в терминах векторов Герца имеет вид

${\displaystyle \mathbf {E} =\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {m} }\right)}$,

но магнитный вектор Герца ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {m} }}$ равно 0, поскольку предполагается, что материал не намагничивается и отсутствует внешнее магнитное поле. Следовательно, электрическое поле упрощается до

${\displaystyle \mathbf {E} =\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}}$.

Чтобы вычислить электрическое поле, мы должны сначала решить неоднородное волновое уравнение для ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }}$. Для этого разделите ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }}$ в однородных и частных растворах

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }(\mathbf {r} ,t)={\boldsymbol {\pi }}_{e,h}(\mathbf {r} ,t)+{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t)}$.

Тогда линейность позволяет нам писать

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{h}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {E} _{\mathrm {p} }(\mathbf {r} ,t)}$.

В однородный раствор, ${\displaystyle \mathbf {E} _{h}(\mathbf {r} ,t)}$, - исходная плоская волна, бегущая с волновым вектором ${\displaystyle k_{0}=\omega /c}$ в положительном ${\displaystyle z}$ направление

${\displaystyle \mathbf {E} _{h}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}.}$

Нам не нужно явно находить ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{e,h}(\mathbf {r} ,t)}$так как мы заинтересованы только в поиске поля.

Конкретное решение, ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t)}$ и поэтому, ${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathrm {p} }(\mathbf {r} ,t)}$, находится с использованием зависящего от времени Функция Грина метод неоднородного волнового уравнения для ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }}$ который производит отсталый интеграл

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int d^{3}r^{\prime }{\frac {\mathbf {P} \left(\mathbf {r} ^{\prime },t-\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|/c\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}}$.

Поскольку начальное электрическое поле поляризует материал, вектор поляризации должен иметь такую ​​же пространственную и временную зависимость ${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {P} _{0}e^{i(kz-\omega t)}.}$ Более подробно это предположение обсуждается Вангснессом. Подставляя это в интеграл и выражая через декартовы координаты, получаем

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {P} _{0}e^{i(kz-\omega t)}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{0}^{\infty }dz^{\prime }e^{ik\left(z^{\prime }-z\right)}\int _{-\infty }^{\infty }dx^{\prime }\int _{-\infty }^{\infty }dy^{\prime }{\frac {e^{ik_{0}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}.}$

Сначала рассмотрим только интегрирование по ${\displaystyle x^{\prime }}$и ${\displaystyle y^{\prime }}$и преобразовать это в цилиндрические координаты ${\displaystyle (x,y,z)\rightarrow (\rho ,\varphi ,z)}$ и позвони ${\displaystyle {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}=R}$

${\displaystyle I:=\int _{-\infty }^{\infty }dx^{\prime }\int _{-\infty }^{\infty }dy^{\prime }{\frac {e^{ik_{0}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}=\int _{0}^{2\pi }d\varphi ^{\prime }\int _{0}^{\infty }d\rho ^{\prime }{\frac {e^{ik_{0}R}}{R}}=2\pi \int _{0}^{\infty }d\rho ^{\prime }{\frac {e^{ik_{0}R}}{R}}.}$

Затем с помощью замены

${\displaystyle R^{2}=\rho ^{2}+\left|z^{\prime }-z\right|^{2}\Rightarrow \rho ^{2}=R^{2}-\left|z^{\prime }-z\right|^{2}\Rightarrow \rho d\rho =RdR}$

и

${\displaystyle \rho ={\sqrt {R^{2}-\left|z^{\prime }-z\right|^{2}}}}$

так что пределы становятся

${\displaystyle \rho =0={\sqrt {R^{2}-\left|z^{\prime }-z\right|^{2}}}\Rightarrow R=\left|z^{\prime }-z\right|}$

и

${\displaystyle \rho =\infty ={\sqrt {R^{2}-\left|z^{\prime }-z\right|^{2}}}\Rightarrow R=\infty .}$

Затем введем коэффициент сходимости ${\displaystyle e^{-\epsilon R}}$ с ${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} }$ в подынтегральное выражение, поскольку оно не меняет значения интеграла,

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=2\pi \int _{\left|z^{\prime }-z\right|}^{\infty }dRe^{ik_{0}R}\\&=2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\int _{\left|z^{\prime }-z\right|}^{\infty }dRe^{(ik_{0}-\epsilon )R}\\&=\left.2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon )R}}{ik_{0}-\epsilon }}\right]\right|_{\left|z^{\prime }-z\right|}^{\infty }\\&=2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon )\infty }}{ik_{0}-\epsilon }}-{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon ){\left|z^{\prime }-z\right|}}}{ik_{0}-\epsilon }}\right].\end{aligned}}}$

потом ${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} }$ подразумевает ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}e^{-\epsilon \infty }=0}$, следовательно ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}e^{(ik_{0}-\epsilon )\infty }=\lim _{\epsilon \to 0}e^{ik_{0}\infty }e^{-\epsilon \infty }=0}$. Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\left[0-{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon ){\left|z^{\prime }-z\right|}}}{ik_{0}-\epsilon }}\right]\\&=-2\pi {\frac {e^{ik_{0}{\left|z^{\prime }-z\right|}}}{ik_{0}}}\\&=2\pi i{\frac {e^{ik_{0}{\left|z^{\prime }-z\right|}}}{k_{0}}}.\end{aligned}}}$

Теперь, подставляя этот результат обратно в z-интеграл, получаем

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(z,t)={\frac {i\mathbf {P} _{0}e^{i(kz-\omega t)}}{2k_{0}\epsilon _{0}}}\int _{0}^{\infty }dz^{\prime }e^{ik\left(z^{\prime }-z\right)}e^{ik_{0}\left|z-z^{\prime }\right|}}$

Заметь ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }}$ теперь только функция ${\displaystyle z}$ и нет ${\displaystyle \mathbf {r} }$, что и следовало ожидать для данной симметрии.

Эта интеграция должна быть разделена на две части из-за абсолютного значения ${\displaystyle \left|z-z^{\prime }\right|}$ внутри подынтегрального выражения. Регионы ${\displaystyle z<0}$ и ${\displaystyle z>0}$. Опять же, необходимо ввести коэффициент сходимости для вычисления обоих интегралов, и результат будет

${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(z,t)=-{\frac {\mathbf {P} e^{-i\omega t}}{2\epsilon _{0}k_{0}}}\left\{{\begin{array}{l}{{\frac {1}{k+k_{0}}}e^{-ik_{0}z}}&{z<0}\\{{\frac {2k_{0}}{k_{0}^{2}-k^{2}}}e^{ikz}+{\frac {1}{k-k_{0}}}e^{ik_{0}z}}&{z>0.}\end{array}}\right.}$

Вместо подключения ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }}$ непосредственно в выражение для электрического поля можно сделать несколько упрощений. Начнем с локон векторной идентичности локона,

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }} )-\nabla ^{2}\mathbf {{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }} }$,

следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{\mathrm {p} }&=\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}\\&=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} })-\nabla ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}.\end{aligned}}}$

Заметь ${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }=0}$ потому что ${\displaystyle \mathbf {P} }$ не имеет ${\displaystyle {\mathbf {z} }}$ зависимости и всегда перпендикулярна ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$. Также обратите внимание, что второй и третий члены эквивалентны неоднородному волновому уравнению, поэтому

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{\mathrm {p} }&=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }}{\partial t^{2}}}\\&=-{\frac {1}{c^{2}}}(-i\omega )^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }\\&=k_{0}^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }\end{aligned}}}$

Следовательно, полное поле равно

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}+k_{0}^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(z,t)}$

который становится,

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\left\{{\begin{array}{l}{\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-{\frac {\mathbf {P} }{2\epsilon _{0}}}{\frac {k_{0}}{k+k_{0}}}e^{-i\left(k_{0}z+\omega t\right)}}&{z<0}\\{\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-{\frac {\mathbf {P} }{2\epsilon _{0}}}{\frac {k_{0}}{k-k_{0}}}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}{\frac {k_{0}^{2}}{k_{0}^{2}-k^{2}}}e^{i(kz-\omega t)}}&{z>0.}\end{array}}\right.}$

Теперь сосредоточьтесь на поле внутри диэлектрика. Используя тот факт, что ${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)}$ сложно, можно сразу написать

${\displaystyle \mathbf {E} (z>0,t)=\mathbf {E} e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}}$

напомним также, что внутри диэлектрика ${\displaystyle \mathbf {P} =\epsilon _{0}\chi \mathbf {E} }$.

Тогда путем согласования коэффициентов находим,

${\displaystyle e^{i\left(kz-\omega t\right)}\Rightarrow 1=-\chi {\frac {k_{0}^{2}}{k_{0}^{2}-k^{2}}}}$

и

${\displaystyle e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}\Rightarrow 0=\mathbf {E} _{0}-{\frac {\chi }{2}}{\frac {k_{0}}{k-k_{0}}}\mathbf {E} }$.

Первое соотношение быстро дает волновой вектор в диэлектрике через падающую волну как

${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\sqrt {1+\chi }}k_{0}\\&=nk_{0}.\end{aligned}}}$

Используя этот результат и определение ${\displaystyle \mathbf {P} }$ во втором выражении дает вектор поляризации через падающее электрическое поле как

${\displaystyle \mathbf {P} =2\epsilon _{0}(n-1)\mathbf {E} _{0}.}$

Оба этих результата можно подставить в выражение для электрического поля, чтобы получить окончательное выражение

${\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\left\{{\begin{array}{l}{\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-\left({\frac {n-1}{n+1}}\right)\mathbf {E} _{0}e^{-i\left(k_{0}z+\omega t\right)}}&{z<0}\\{\left({\frac {2}{n+1}}\right)\mathbf {E} _{0}e^{i\left(nk_{0}z-\omega t\right)}}&{z>0.}\end{array}}\right.}$

Это именно тот результат, который ожидался. Внутри среды есть только одна волна, скорость которой уменьшена на n. Также восстанавливаются ожидаемые коэффициенты отражения и передачи.

Длины экстинкции и тесты специальной теории относительности

Характерная «длина экстинкции» среды - это расстояние, после которого исходная волна может считаться полностью замененной. Для видимого света, распространяющегося в воздухе на уровне моря, это расстояние составляет примерно 1 мм.^[6] В межзвездном пространстве длина угасания света составляет 2 световых года.^[7] На очень высоких частотах электроны в среде не могут «следовать» за исходной волной в колебание, что позволяет этой волне распространяться намного дальше: для гамма-лучей с энергией 0,5 МэВ длина составляет 19 см воздуха и 0,3 мм люцита, и для 4,4 ГэВ, 1,7 м в воздухе и 1,4 мм в углероде.^[8]

Специальная теория относительности предсказывает, что скорость света в вакууме не зависит от скорости источника, излучающего его. Это широко распространенное предсказание время от времени проверялось с помощью астрономических наблюдений.^[6][7] Например, в двойной звездной системе две звезды движутся в противоположных направлениях, и можно проверить предсказание, проанализировав их свет. (См., Например, Эксперимент с двойной звездой де Ситтера К сожалению, длина угасания света в космосе сводит на нет результаты любых подобных экспериментов с использованием видимого света, особенно с учетом толстого облака стационарного газа, окружающего такие звезды.^[6] Однако эксперименты с использованием рентгеновских лучей, испускаемых двойными пульсарами, с гораздо большей длиной экстинкции, оказались успешными.^[7]

Рекомендации

1. Родился, Макс; Вольф, Эмиль (1999), Принципы оптики (7-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр.106, ISBN  9780521784498
2. Лахтакия, Ахлеш (2017), "Теорема Эвальда – Озеена о вымирании и метод расширенных граничных условий", Теорема Эвальда-Озеена о экстинкции и метод расширенных граничных условий, в: Мир прикладной электромагнетики, Cham, Switzerland: Springer, pp. 481–513, Дои:10.1007/978-3-319-58403-4_19, ISBN  978-3-319-58402-7
3. Мансурипур, Масуд (2009), «Теорема Эвальда – Озеена о вымирании», Классическая оптика и ее приложения (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 209, arXiv:1507.05234, Дои:10.1017 / CBO9780511803796.019, ISBN  9780511803796
4. Вангснесс, Роальд К. (1981-10-01). «Влияние вещества на фазовую скорость электромагнитной волны». Американский журнал физики. 49 (10): 950–953. Bibcode:1981AmJPh..49..950Вт. Дои:10.1119/1.12596. ISSN  0002-9505.
5. Зангвилл, Эндрю (2013). Современная электродинамика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521896979.
6. Фокс, Дж. (1962), «Экспериментальные доказательства второго постулата специальной теории относительности», Американский журнал физики, 30 (1): 297–300, Bibcode:1962AmJPh..30..297F, Дои:10.1119/1.1941992.
7. Брехер, К. (1977). «Не зависит ли скорость света от скорости источника». Письма с физическими проверками. 39 (17): 1051–1054. Bibcode:1977ПхРвЛ..39.1051Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.39.1051.
8. Filippas, T.A .; Фокс, Дж. (1964). «Скорость гамма-лучей от движущегося источника». Физический обзор. 135 (4B): B1071–1075. Bibcode:1964ПхРв..135.1071Ф. Дои:10.1103 / PhysRev.135.B1071.