Неоднородное уравнение электромагнитной волны - Inhomogeneous electromagnetic wave equation

В электромагнетизм и приложений, неоднородный уравнение электромагнитной волны, или же уравнение неоднородной электромагнитной волны, является одним из набора волновые уравнения описывая распространение электромагнитные волны генерируется ненулевым источником обвинения и токи. Источники в волновых уравнениях делают уравнения в частных производных неоднородный, если исходные члены равны нулю, уравнения сводятся к однородному уравнения электромагнитных волн. Уравнения следуют из Уравнения Максвелла.

Уравнения Максвелла

Для справки, Уравнения Максвелла резюмируются ниже в Единицы СИ и Гауссовы единицы. Они управляют электрическое поле E и магнитное поле B из-за источника плотность заряда ρ и плотность тока J:

Имя	Единицы СИ	Гауссовы единицы
Закон Гаусса	${displaystyle abla cdot mathbf {E} ={frac {ho }{varepsilon _{0}}}}$	${displaystyle abla cdot mathbf {E} =4pi ho }$
Закон Гаусса для магнетизма	${displaystyle abla cdot mathbf {B} =0}$	${displaystyle abla cdot mathbf {B} =0}$
Уравнение Максвелла – Фарадея (Закон индукции Фарадея )	${displaystyle abla imes mathbf {E} =-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}}$	${displaystyle abla imes mathbf {E} =-{frac {1}{c}}{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}}$
Обходной закон Ампера (с добавлением Максвелла)	${displaystyle abla imes mathbf {B} =mu _{0}left(mathbf {J} +varepsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}ight)}$	${displaystyle abla imes mathbf {B} ={frac {1}{c}}left(4pi mathbf {J} +{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}ight)}$

куда ε₀ это диэлектрическая проницаемость вакуума и μ₀ это вакуумная проницаемость. На всем протяжении отношения

${displaystyle varepsilon _{0}mu _{0}={dfrac {1}{c^{2}}}}$

также используется.

Единицы СИ

E и B поля

Уравнения Максвелла может прямо дать неоднородные волновые уравнения для электрического поля E и магнитное поле B.^[1] Подстановка Закон Гаусса для электричества в завиток из Закон индукции Фарадея, и используя завиток локона личность ∇ × (∇ × Икс) = ∇(∇ ⋅ Икс) − ∇²Икс дает волновое уравнение для электрическое поле E:

${displaystyle {dfrac {1}{c^{2}}}{dfrac {partial ^{2}mathbf {E} }{partial t^{2}}}-abla ^{2}mathbf {E} =-left({dfrac {1}{varepsilon _{0}}}abla ho +mu _{0}{dfrac {partial mathbf {J} }{partial t}}ight),.}$

Аналогично подставляя Закон Гаусса для магнетизма в завиток Обходной закон Ампера (с дополнительным членом Максвелла, зависящим от времени), и используя ротор тождества ротора, дает волновое уравнение для магнитное поле B:

${displaystyle {dfrac {1}{c^{2}}}{dfrac {partial ^{2}mathbf {B} }{partial t^{2}}}-abla ^{2}mathbf {B} =mu _{0}abla imes mathbf {J} ,.}$

Левая часть каждого уравнения соответствует волновому движению ( Оператор Даламбера действующие на поля), а правые части - источники волн. Уравнения подразумевают, что электромагнитные волны генерируются при наличии градиентов плотности заряда ρ, циркуляции по плотности тока J, изменяющаяся во времени плотность тока или любая их смесь.

Эти формы волновых уравнений не часто используются на практике, так как исходные члены неудобно сложны. В более простой формулировке, более часто встречающейся в литературе и используемой в теории, используется электромагнитный потенциал формулировка, представленная далее.

А и φ потенциальные поля

Представляем электрический потенциал φ (а скалярный потенциал ) и магнитный потенциал А (а векторный потенциал ) определяется из E и B поля по:

${displaystyle mathbf {E} =-abla varphi -{partial mathbf {A} over partial t},,quad mathbf {B} =abla imes mathbf {A} ,,}$

четыре уравнения Максвелла в вакууме с зарядом ρ и текущие J Источники сводятся к двум уравнениям, закон Гаусса для электричества:

${displaystyle abla ^{2}varphi +{{partial } over partial t}left(abla cdot mathbf {A} ight)=-{ho over varepsilon _{0}},,}$

а закон Ампера-Максвелла:

${displaystyle abla ^{2}mathbf {A} -{1 over c^{2}}{partial ^{2}mathbf {A} over partial t^{2}}-abla left({1 over c^{2}}{{partial varphi } over {partial t}}+abla cdot mathbf {A} ight)=-mu _{0}mathbf {J} ,.}$

Исходные термины теперь намного проще, но волновые члены менее очевидны. Поскольку потенциалы не уникальны, но имеют измерять свободы, эти уравнения можно упростить с помощью крепление датчика. Обычный выбор - это Условие калибровки Лоренца:

${displaystyle {1 over c^{2}}{{partial varphi } over {partial t}}+abla cdot mathbf {A} =0}$

Тогда неоднородные волновые уравнения становятся несвязанными и симметричными по потенциалам:

${displaystyle abla ^{2}varphi -{1 over c^{2}}{partial ^{2}varphi over partial t^{2}}=-{ho over varepsilon _{0}},,}$

${displaystyle abla ^{2}mathbf {A} -{1 over c^{2}}{partial ^{2}mathbf {A} over partial t^{2}}=-mu _{0}mathbf {J} ,.}$

Для справки, в единицы cgs эти уравнения

${displaystyle abla ^{2}varphi -{1 over c^{2}}{partial ^{2}varphi over partial t^{2}}=-{4pi ho }}$

${displaystyle abla ^{2}mathbf {A} -{1 over c^{2}}{partial ^{2}mathbf {A} over partial t^{2}}=-{4pi over c}mathbf {J} }$

с калибровочным условием Лоренца

${displaystyle {1 over c}{{partial varphi } over {partial t}}+abla cdot mathbf {A} =0,.}$

Ковариантная форма неоднородного волнового уравнения.

Смотрите также: Ковариантная формулировка классического электромагнетизма

Замедление времени при поперечном движении. Требование, чтобы скорость света была постоянной в каждой инерциальной системе отсчета, приводит к теория относительности

В релятивистские уравнения Максвелла можно записать в ковариантный форма как

${displaystyle Box A^{mu } {stackrel {mathrm {def} }{=}} partial _{eta }partial ^{eta }A^{mu } {stackrel {mathrm {def} }{=}} {A^{mu ,eta }}_{eta }=-mu _{0}J^{mu }quad { ext{SI}}}$

${displaystyle Box A^{mu } {stackrel {mathrm {def} }{=}} partial _{eta }partial ^{eta }A^{mu } {stackrel {mathrm {def} }{=}} {A^{mu ,eta }}_{eta }=-{frac {4pi }{c}}J^{mu }quad { ext{cgs}}}$

куда

${displaystyle Box =partial _{eta }partial ^{eta }=abla ^{2}-{1 over c^{2}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}}$

это оператор Даламбера,

${displaystyle J^{mu }=left(cho ,mathbf {J} ight)}$

это четырехканальный,

${displaystyle {partial over {partial x^{a}}} {stackrel {mathrm {def} }{=}} partial _{a} {stackrel {mathrm {def} }{=}} {}_{,a} {stackrel {mathrm {def} }{=}} (partial /partial ct,abla )}$

это 4-градиентный, и

${displaystyle A^{mu }=(varphi /c,mathbf {A} )quad { ext{SI}}}$

${displaystyle A^{mu }=(varphi ,mathbf {A} )quad { ext{cgs}}}$

это электромагнитный четырехпотенциальный с Датчик Лоренца условие

${displaystyle partial _{mu }A^{mu }=0,.}$

Искривленное пространство-время

Уравнение электромагнитной волны модифицируется двумя способами: искривленное пространство-время, производная заменяется на ковариантная производная и появляется новый член, который зависит от кривизны (единицы СИ).

${displaystyle -{A^{alpha ;eta }}_{eta }+{R^{alpha }}_{eta }A^{eta }=mu _{0}J^{alpha }}$

куда

${displaystyle {R^{alpha }}_{eta }}$

это Тензор кривизны Риччи. Здесь точка с запятой указывает на ковариантное дифференцирование. Чтобы получить уравнение в единицах cgs, замените проницаемость на 4π/c.

В Условие калибровки Лоренца в искривленном пространстве-времени предполагается:

${displaystyle {A^{mu }}_{;mu }=0,.}$

Решения неоднородного уравнения электромагнитной волны

Замедленная сферическая волна. Источник волны возникает во время т'. Волновой фронт удаляется от источника с увеличением времени для т > т'. Для продвинутых решений волновой фронт движется назад во времени от источника. т < т'.

В случае отсутствия границ, окружающих источники, решения (единицы cgs) неоднородных волновых уравнений имеют вид

${displaystyle varphi (mathbf {r} ,t)=int {{delta left(t'+{{left|mathbf {r} -mathbf {r} 'ight|} over c}-tight)} over {left|mathbf {r} -mathbf {r} 'ight|}}ho (mathbf {r} ',t')d^{3}r'dt'}$

и

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} ,t)=int {{delta left(t'+{{left|mathbf {r} -mathbf {r} 'ight|} over c}-tight)} over {left|mathbf {r} -mathbf {r} 'ight|}}{mathbf {J} (mathbf {r} ',t') over c}d^{3}r'dt'}$

куда

${displaystyle {delta left(t'+{{left|mathbf {r} -mathbf {r} 'ight|} over c}-tight)}}$

это Дельта-функция Дирака.

Эти решения известны как отсталые. Датчик Лоренца потенциалы. Они представляют собой суперпозиция сферических световых волн, распространяющихся наружу от источников волн, из настоящего в будущее.

Также есть продвинутые решения (блоки cgs)

${displaystyle varphi (mathbf {r} ,t)=int {{delta left(t'-{{left|mathbf {r} -mathbf {r} 'ight|} over c}-tight)} over {left|mathbf {r} -mathbf {r} 'ight|}}ho (mathbf {r} ',t')d^{3}r'dt'}$

и

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} ,t)=int {{delta left(t'-{{left|mathbf {r} -mathbf {r} 'ight|} over c}-tight)} over {left|mathbf {r} -mathbf {r} 'ight|}}{mathbf {J} (mathbf {r} ',t') over c}d^{3}r'dt',.}$

Они представляют собой суперпозицию сферических волн, движущихся из будущего в настоящее.

Смотрите также

• Волновое уравнение
• Синусоидальные плоско-волновые решения уравнения электромагнитной волны
• Формула лармора
• Формулировка уравнений Максвелла в специальной теории относительности
• Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени
• Сила Абрахама – Лоренца
• Функция Грина

Рекомендации

1. Классическая электродинамика, Джексон, 3-е издание, с. 246

Электромагнетизм

журнальные статьи

• Джеймс Клерк Максвелл "Динамическая теория электромагнитного поля. ", Философские труды Лондонского королевского общества 155, 459-512 (1865). (Эта статья сопровождала выступление Максвелла 8 декабря 1864 г. перед Королевским обществом.)

Учебники для бакалавриата

• Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN  0-13-805326-X.
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: электричество, магнетизм, свет и элементарная современная физика (5-е изд.). В. Х. Фриман. ISBN  0-7167-0810-8.
• Эдвард М. Перселл, Электричество и магнетизм (Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, 1985).
• Герман А. Хаус и Джеймс Р. Мельчер, Электромагнитные поля и энергия (Прентис-Холл, 1989) ISBN  0-13-249020-X
• Банеш Хоффман, Относительность и ее корни (Фриман, Нью-Йорк, 1983).
• Дэвид Х. Сталин, Энн В. Моргенталер и Джин Ау Конг, Электромагнитные волны (Прентис-Холл, 1994) ISBN  0-13-225871-4
• Чарльз Ф. Стивенс, Шесть основных теорий современной физики, (MIT Press, 1995) ISBN  0-262-69188-4.

Учебники для выпускников

• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли. ISBN  0-471-30932-X.
• Ландау, Л., Классическая теория поля (Курс теоретической физики: том 2), (Баттерворт-Хайнеманн: Оксфорд, 1987).
• Максвелл, Джеймс С. (1954). Трактат об электричестве и магнетизме. Дувр. ISBN  0-486-60637-6.
• Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн, Джон Арчибальд Уиллер, Гравитация, (1970) W.H. Фриман, Нью-Йорк; ISBN  0-7167-0344-0. (Обеспечивает трактовку уравнений Максвелла в терминах дифференциальных форм.)

Векторное исчисление

• Х. М. Шей, Div Grad Curl и все такое: неформальный текст по векторному исчислению, 4-е издание (W. W. Norton & Company, 2005) ISBN  0-393-92516-1.