Проблема Фаньяноса - Fagnanos problem - Wikipedia

ортический треугольник:
вписанные треугольники:

В геометрия, Проблема Фаньяно является оптимизация проблема, о которой впервые заявил Джованни Фаньяно в 1775 г .:

Для данного острый треугольник определить вписанный треугольник минимального периметр.

Решение - это ортический треугольник, с вершинами в базовых точках высоты данного треугольника.

Решение

В ортический треугольник, с вершинами в базовых точках высоты данного треугольника, имеет наименьший периметр из всех треугольников, вписанных в острый треугольник, следовательно, это решение проблемы Фаньяно. Использовано оригинальное доказательство Фаньяно исчисление методы и промежуточный результат, данные его отцом Джулио Карло де Тоски ди Фаньяно. Позже, однако, были обнаружены и несколько геометрических доказательств, среди которых Герман Шварц и Липот Фейер. Эти доказательства используют геометрические свойства отражений для определения некоторого минимального пути, представляющего периметр.

Физические принципы

Решение из физики можно найти, представив резиновую ленту, следующую за Закон Гука вокруг трех сторон треугольной рамки , чтобы он мог плавно перемещаться. Тогда резинка окажется в положении, которое минимизирует ее упругую энергию и, следовательно, минимизирует ее общую длину. Это положение дает минимальный периметр треугольника. Натяжение внутри резиновой ленты одинаково повсюду в резиновой ленте, поэтому в ее положении покоя мы имеем: Теорема Лами,

Треугольник abc ортический треугольник треугольника ABC

Следовательно, этот минимальный треугольник и есть ортический треугольник.

Смотрите также

  • Задайте задачу TSP, более общая задача посещения каждой из семейных сетов кратчайшим путем

Рекомендации

  • Генрих Дёрри: 100 великих проблем элементарной математики: их история и решение. Dover Publications 1965, стр. 359-360. ISBN  0-486-61348-8, задача 90 (ограниченная онлайн-версия (Google Книги) )
  • Пол Дж. Нахин: Когда наименьшее - лучше: как математики открыли множество умных способов делать вещи как можно меньше (или как можно больше). Издательство Принстонского университета 2004 г., ISBN  0-691-07078-4, п. 67
  • Кокстер, Х. С. М.; Грейцер, С. Л .:Возвращение к геометрии. Вашингтон, округ Колумбия: Математика. Доц. Амер. 1967, с. 88–89.
  • Х.А. Шварц: Gesammelte Mathematische Abhandlungen, т. 2. Берлин 1890, стр. 344-345. (онлайн на Интернет-архив, Немецкий)

внешняя ссылка