Неравенство Фаннеса – Оденарта - Fannes–Audenaert inequality

В Неравенство Фаннеса – Оденарта математическая оценка разницы между энтропии фон Неймана из двух матрицы плотности в зависимости от их расстояние трассировки. Это было доказано Koenraad M. R. Audenaert в 2007 г.^[1] как оптимальное уточнение исходного неравенства Марка Фаннеса, опубликованного в 1973 г.^[2] Марк Фаннес - бельгийский физик, специализирующийся на математической квантовой механике. Он работает в KU Leuven. Коенрад М. Р. Оденаерт - бельгийский физик и инженер-строитель. В настоящее время он работает в Ройал Холлоуэй, Лондонский университет.

Заявление о неравенстве

Для любых двух матриц плотности ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \sigma }$ размеров ${\displaystyle d}$,

${\displaystyle |S(\rho )-S(\sigma )|\leq T\log(d-1)+H[\{T,1-T\}]}$

куда

${\displaystyle H[\{p_{i}\}]=-\sum p_{i}\log p_{i}}$

это (Шеннон ) энтропия распределения вероятностей ${\displaystyle \{p_{i}\}}$,

${\displaystyle S(\rho )=H[\{\lambda _{i}\}]}$

- энтропия (фон Неймана) матрицы ${\displaystyle \rho }$ с собственными значениями ${\displaystyle \lambda _{i}}$, и

${\displaystyle T(\rho ,\sigma )={\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||_{1}={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[{\sqrt {(\rho -\sigma )^{\dagger }(\rho -\sigma )}}\right]}$

- расстояние следа между двумя матрицами. Обратите внимание, что база для логарифм является произвольным, если по обе стороны неравенства используется одна и та же база.

Оденарт также доказал, что - учитывая только расстояние следа Т и размерd-это оптимальный граница. Он сделал это, напрямую показав пару матриц, которые насыщают границу для любых значений Т иd. Матрицы (диагональные в одном базисе, т.е. коммутирующие) равны

${\displaystyle \rho =\mathrm {Diag} (1-T,T/(d-1),\dots ,T/(d-1))}$

${\displaystyle \sigma =\mathrm {Diag} (1,0,\dots ,0)}$

Неравенство Фаннеса и уточнение Оденарта

Первоначальное неравенство, доказанное Фаннесом, было

${\displaystyle |S(\rho )-S(\sigma )|\leq 2T\log(d)-2T\log 2T}$

когда ${\displaystyle T\leq 1/2e}$. Он также доказал более слабое неравенство

${\displaystyle |S(\rho )-S(\sigma )|\leq 2T\log(d)+1/(e\log 2)}$

который можно использовать для большихТ.

Фаннс доказал это неравенство как средство доказательства непрерывность из энтропия фон Неймана, что не требовало оптимальной оценки. Доказательство очень компактное, и его можно найти в учебнике Нильсена и Чуанга.^[3] С другой стороны, доказательство оптимального неравенства, данное Оденартом, значительно сложнее.

Рекомендации

1. Коенраад М. Р. Оденаерт, «Точная оценка непрерывности энтропии фон Неймана», J. Phys. A: Математика. Теор. 40 8127 (2007). Препринт: arXiv: Quant-ph / 0610146.
2. М. Фаннес, «Свойство непрерывности плотности энтропии для спиновых решетчатых систем», Связь по математической физике 31 291–294 (1973).
3. Нильсен, Майкл А; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация. Кембридж; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-63235-5. OCLC  43641333.