Конечные расширения локальных полей - Finite extensions of local fields

В алгебраическая теория чисел, путем завершения, изучение разветвление из главный идеал часто сводится к случаю местные поля где более подробный анализ может быть проведен с помощью таких инструментов, как группы ветвления.

В этой статье локальное поле неархимедово и имеет конечное поле вычетов.

Неразветвленное расширение

Позволять ${\displaystyle L/K}$ - конечное расширение Галуа неархимедовых локальных полей с конечными полями вычетов ${\displaystyle \ell /k}$ и группа Галуа ${\displaystyle G}$. Тогда следующие эквивалентны.

• (я) ${\displaystyle L/K}$ является неразветвленный.
• (ii) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$ это поле, где ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ максимальный идеал ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$.
• (iii) ${\displaystyle [L:K]=[\ell :k]}$
• (iv) подгруппа инерции из ${\displaystyle G}$ тривиально.
• (v) Если ${\displaystyle \pi }$ это униформизирующий элемент из ${\displaystyle K}$, тогда ${\displaystyle \pi }$ также является униформизирующим элементом ${\displaystyle L}$.

Когда ${\displaystyle L/K}$ не разветвлен в соответствии с (iv) (или (iii)), грамм можно отождествить с ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\ell /k)}$, которая конечна циклический.

Вышеизложенное подразумевает, что существует эквивалентность категорий между конечными неразветвленными расширениями локального поля K и конечный отделяемые расширения поля вычетовK.

Полностью разветвленное расширение

Опять же, пусть ${\displaystyle L/K}$ - конечное расширение Галуа неархимедовых локальных полей с конечными полями вычетов ${\displaystyle l/k}$ и группа Галуа ${\displaystyle G}$. Следующие варианты эквивалентны.

• ${\displaystyle L/K}$ является полностью разветвленный
• ${\displaystyle G}$ совпадает со своей подгруппой инерции.
• ${\displaystyle L=K[\pi ]}$ куда ${\displaystyle \pi }$ является корнем Полином Эйзенштейна.
• Норма ${\displaystyle N(L/K)}$ содержит униформизатор ${\displaystyle K}$.

Смотрите также

• Лемма Абхьянкара
• Неразветвленный морфизм

Рекомендации

• Касселс, J.W.S. (1986). Местные поля. Тексты студентов Лондонского математического общества. 3. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-31525-5. Zbl  0595.12006.
• Вайс, Эдвин (1976). Алгебраическая теория чисел (2-е изд. Без изменений). Chelsea Publishing. ISBN  0-8284-0293-0. Zbl  0348.12101.