Конечно порожденная абелева группа - Finitely generated abelian group

В абстрактная алгебра, абелева группа (г, +) называется конечно порожденный если существует конечное число элементов Икс₁, ..., Икс_s в г так что каждый Икс в г можно записать в виде

Икс = п₁Икс₁ + п₂Икс₂ + ... + п_sИкс_s

с участием целые числа п₁, ..., п_s. В этом случае мы говорим, что множество {Икс₁, ..., Икс_s} это генераторная установка из г или это Икс₁, ..., Икс_s генерировать г.

Каждая конечная абелева группа конечно порождена. Конечно порожденные абелевы группы можно полностью классифицировать.

Примеры

• В целые числа, ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}$, являются конечно порожденной абелевой группой.
• В целые числа по модулю ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+\right)}$, являются конечной (следовательно, конечно порожденной) абелевой группой.
• Любые прямая сумма конечного числа конечно порожденных абелевых групп снова конечно порожденная абелева группа.
• Каждые решетка образует конечно порожденный свободная абелева группа.

Других примеров нет (с точностью до изоморфизма). В частности, группа ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,+\right)}$ из рациональное число не конечно порожден:^[1] если ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ рациональные числа, выберите натуральное число ${\displaystyle k}$ совмещать ко всем знаменателям; тогда ${\displaystyle 1/k}$ не может быть создан ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$. Группа ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ^{*},\cdot \right)}$ ненулевых рациональных чисел также не конечно порождена. Группы действительных чисел при сложении ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ,+\right)}$ и ненулевые действительные числа при умножении ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{*},\cdot \right)}$ также не конечно порождены.^[1][2]

Классификация

В основная теорема о конечно порожденных абелевых группах можно сформулировать двумя способами, обобщив две формы основная теорема конечный абелевы группы. Теорема в обеих формах, в свою очередь, обобщается на структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов, что, в свою очередь, допускает дальнейшие обобщения.

Первичное разложение

Формулировка первичного разложения утверждает, что каждая конечно порожденная абелева группа г изоморфен прямая сумма из первичные циклические группы и бесконечный циклические группы. Примарная циклическая группа - это группа, у которой порядок это сила премьер. То есть каждая конечно порожденная абелева группа изоморфна группе вида

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{q_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{q_{t}},}$

где п ≥ 0 - это ранг, а числа q₁, ..., q_т являются степенями (не обязательно различных) простых чисел. Особенно, г конечно тогда и только тогда, когда п = 0. Значения п, q₁, ..., q_т находятся (вплоть до перестановка индексов) однозначно определяется г, то есть есть один и только один способ представить г как такое разложение.

Разложение инвариантного фактора

Мы также можем написать любую конечно порожденную абелеву группу г как прямая сумма вида

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}},}$

где k₁ разделяет k₂, который разделяет k₃ и так далее до k_ты. Опять же, звание п и инвариантные факторы k₁, ..., k_ты однозначно определяются г (здесь с уникальным заказом). Ранг и последовательность инвариантных множителей определяют группу с точностью до изоморфизма.

Эквивалентность

Эти утверждения эквивалентны в результате Китайская теорема об остатках, откуда следует, что ${\displaystyle \mathbb {Z} _{jk}\simeq \mathbb {Z} _{j}\oplus \mathbb {Z} _{k}}$ если и только если j и k находятся совмещать.

История

История фундаментальной теоремы и ее авторитет усложняются тем фактом, что она была доказана, когда теория групп еще не была хорошо обоснована, и, таким образом, ранние формы, в то время как по существу современные результат и доказательство, часто формулируются для конкретного случая. Вкратце, ранняя форма конечного случая была доказана в (Гаусс 1801 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFGauss1801 (Помогите), конечный случай доказан в (Кронекер 1870 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFKronecker1870 (Помогите)и сформулированы в теоретико-групповых терминах в (Фробениус и Штикельбергер 1878 г. ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFFrobeniusStickelberger1878 (Помогите). В конечно представлен дело решено Нормальная форма Смита, и поэтому часто приписывают (Смит 1861 ),^[3] хотя конечно генерируется case иногда вместо этого приписывается (Пуанкаре 1900 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFPoincaré1900 (Помогите); подробности следуют.

Теоретик группы Ласло Фукс состояния:^[3]

Что касается основной теоремы о конечных абелевых группах, неясно, как далеко во времени нужно вернуться, чтобы проследить ее происхождение. ... потребовалось много времени, чтобы сформулировать и доказать основную теорему в ее нынешнем виде ...

Основная теорема для конечный абелевы группы были доказаны Леопольд Кронекер в (Кронекер 1870 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFKronecker1870 (Помогите), используя теоретико-групповое доказательство,^[4] хотя и не формулируя это в теоретико-групповых терминах;^[5] современное изложение доказательства Кронекера дано в (Stillwell 2012 ), 5.2.2 Теорема Кронекера, 176–177. Это обобщило более ранний результат Карл Фридрих Гаусс от Disquisitiones Arithmeticae (1801), который классифицировал квадратичные формы; Кронекер процитировал этот результат Гаусса. Теорема была сформулирована и доказана на языке групп автором Фердинанд Георг Фробениус и Людвиг Штикельбергер в 1878 г.^[6][7] Другая теоретико-групповая формулировка была дана учеником Кронекера. Евгений Нетто в 1882 г.^[8][9]

Основная теорема для конечно представленный абелевы группы были доказаны Генри Джон Стивен Смит в (Смит 1861 ),^[3] поскольку целочисленные матрицы соответствуют конечным представлениям абелевых групп (это обобщается на конечно представленные модули над областью главных идеалов), и Нормальная форма Смита соответствует классификации конечно определенных абелевых групп.

Основная теорема для конечно порожденный абелевы группы были доказаны Анри Пуанкаре в (Пуанкаре 1900 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFPoincaré1900 (Помогите), используя матричное доказательство (которое обобщается на области главных идеалов). Это было сделано в контексте вычислениягомология комплекса, в частности Бетти номер и коэффициенты кручения размерности комплекса, где число Бетти соответствует рангу свободной части, а коэффициенты кручения соответствуют торсионной части.^[4]

Доказательство Кронекера было обобщено на конечно порожденный абелевы группы Эмми Нётер в (Нётер 1926 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFNoether1926 (Помогите).^[4]

Следствия

Иначе говоря, основная теорема утверждает, что конечно порожденная абелева группа является прямой суммой свободная абелева группа конечных ранг и конечная абелева группа, каждая из которых единственна с точностью до изоморфизма. Конечная абелева группа - это просто торсионная подгруппа из г. Ранг г определяется как ранг части без кручения г; это просто номер п в приведенных выше формулах.

А следствие к основной теореме состоит в том, что каждое конечно порожденное абелева группа без кручения это свободный абелев. Конечно порожденное условие здесь существенно: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ без кручения, но не без свободного абелева.

Каждые подгруппа и факторная группа конечно порожденной абелевой группы снова конечно порожденная абелева. Конечно порожденные абелевы группы вместе с гомоморфизмы групп, для мужчины абелева категория который является Подкатегория Серра из категория абелевых групп.

Неконечно порожденные абелевы группы

Отметим, что не всякая абелева группа конечного ранга конечно порождена; группа ранга 1 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ один контрпример, а группа ранга 0, заданная прямой суммой счетно бесконечно много копии ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ это еще один.

Смотрите также

• В Теорема Жордана – Гёльдера является неабелевым обобщением

Заметки

1. Сильверман и Тейт (1992), п. 102
2. де ла Харп (2000), п. 46
3. Фукс, Ласло (2015) [Первоначально опубликовано в 1958 году]. Абелевы группы. п.85. ISBN  978-3-319-19422-6.
4. Стиллвелл, Джон (2012). «5.2 Структурная теорема для конечно порожденных». Классическая топология и комбинаторная теория групп. п.175.
5. Вуссинг, Ганс (2007) [1969]. Die Genesis des abstrackten Gruppenbegriffes. Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte der abstrakten Gruppentheorie [Генезис абстрактной концепции группы: вклад в историю происхождения абстрактной теории групп.]. п.67.
6. Г. Фробениус, Л. Штикельбергер, Uber Grubben von vertauschbaren Elementen, J. reine u. Angew. Math., 86 (1878), 217-262.
7. Вуссинг (2007), стр. 234–235
8. Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra, Ойген Нетто, 1882 г.
9. Вуссинг (2007), стр. 234–235

использованная литература

• Смит, Генри Дж. Стивен (1861). «О системах линейных неопределенных уравнений и сравнений». Фил. Пер. R. Soc. Лондон. 151 (1): 293–326. Дои:10.1098 / рстл.1861.0016. JSTOR  108738. Перепечатано (стр. 367–409 ) в Сборник статей Генри Джона Стивена Смита по математике, Vol. я, Отредактировано Дж. У. Л. Глейшер. Оксфорд: Clarendon Press (1894), xcv+603 стр.
• Silverman, Joseph H .; Тейт, Джон Торренс (1992). Рациональные точки на эллиптических кривых. Тексты для бакалавриата по математике. Springer. ISBN  978-0-387-97825-3.
• де ла Харп, Пьер (2000). Темы геометрической теории групп. Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-31721-2.