Дробные координаты - Fractional coordinates

В кристаллография, а дробная система координат это система координат в котором края ячейка используются в качестве основных векторов для описания положения атомных ядер. Элементарная ячейка представляет собой параллелепипед определяется длиной его ребер ${displaystyle a,b,c}$ и углы между ними ${displaystyle alpha ,eta ,gamma }$.

Общий случай

Рассмотрим систему периодической структуры в пространстве и воспользуемся ${displaystyle {mathbf {a} }}$ , ${displaystyle mathbf {b} }$, и ${displaystyle mathbf {c} }$ как три независимых вектора периода, образующие правую триаду, которые также являются краевыми векторами ячейки системы. Тогда любой вектор ${displaystyle mathbf {r} }$ в декартовых координатах можно записать как линейную комбинацию векторов периодов

${displaystyle {mathbf {r} }=u{mathbf {a} }+v{mathbf {b} }+w{mathbf {c} }.}$

Наша задача - вычислить скалярные коэффициенты, известные как дробные координаты ${displaystyle u}$, ${displaystyle v}$, и ${displaystyle w}$, предполагая ${displaystyle mathbf {r} }$, ${displaystyle mathbf {a} }$, ${displaystyle mathbf {b} }$, и ${displaystyle mathbf {c} }$ известны.

Для этого вычислим следующий вектор площади поверхности ячейки

${displaystyle mathbf {sigma } _{mathbf {a} }={mathbf {b} } imes {mathbf {c} },}$

тогда

${displaystyle {mathbf {b} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {a} }=0,{mathbf {c} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {a} }=0,}$

а объем ячейки равен

${displaystyle Omega ={mathbf {a} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {a} }.}$

Если мы сделаем векторное внутреннее (точечное) произведение следующим образом

${displaystyle {egin{aligned}{mathbf {r} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {a} }&=u{mathbf {a} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {a} }+v{mathbf {b} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {a} }+w{mathbf {c} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {a} }&=u{mathbf {a} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {a} }&=uOmega ,end{aligned}}}$

тогда мы получаем

${displaystyle u={frac {1}{Omega }}{{mathbf {r} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {a} }}.}$

Так же,

${displaystyle mathbf {sigma } _{mathbf {b} }={mathbf {c} } imes {mathbf {a} },{mathbf {c} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {b} }=0,{mathbf {a} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {b} }=0,{mathbf {b} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {b} }=Omega ,}$

${displaystyle {mathbf {r} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {b} }=u{mathbf {a} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {b} }+v{mathbf {b} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {b} }+w{mathbf {c} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {b} }=v{mathbf {b} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {b} }=vOmega ,}$

мы приходим к

${displaystyle v={frac {1}{Omega }}{{mathbf {r} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {b} }},}$

и

${displaystyle mathbf {sigma } _{mathbf {c} }={mathbf {a} } imes {mathbf {b} },{mathbf {a} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {c} }=0,{mathbf {b} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {c} }=0,{mathbf {c} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {c} }=Omega ,}$

${displaystyle {mathbf {r} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {c} }=u{mathbf {a} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {c} }+v{mathbf {b} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {c} }+w{mathbf {c} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {c} }=w{mathbf {c} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {c} }=wOmega ,}$

${displaystyle w={frac {1}{Omega }}{{mathbf {r} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {c} }}.}$

Если есть много ${displaystyle mathbf {r} }$s для преобразования относительно тех же векторов периодов, для ускорения мы можем иметь

${displaystyle {egin{aligned}u&={{mathbf {r} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {a} }^{prime }},v&={{mathbf {r} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {b} }^{prime }},w&={{mathbf {r} }cdot mathbf {sigma } _{mathbf {c} }^{prime }},end{aligned}}}$

где

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {sigma } _{mathbf {a} }^{prime }={frac {1}{Omega }}{mathbf {sigma } _{mathbf {a} }},mathbf {sigma } _{mathbf {b} }^{prime }={frac {1}{Omega }}{mathbf {sigma } _{mathbf {b} }},mathbf {sigma } _{mathbf {c} }^{prime }={frac {1}{Omega }}{mathbf {sigma } _{mathbf {c} }}.end{aligned}}}$

В кристаллографии

В кристаллография, длины (${displaystyle a}$, ${displaystyle b}$, ${displaystyle c}$) и углы (${displaystyle alpha }$, ${displaystyle eta }$, ${displaystyle gamma }$) между векторами ребер (периодов) (${displaystyle mathbf {a} }$, ${displaystyle mathbf {b} }$, ${displaystyle mathbf {c} }$) из параллелепипед элементарные ячейки известны. Для простоты он выбран так, чтобы вектор ребра ${displaystyle mathbf {a} }$ в положительном ${displaystyle x}$направление оси, вектор кромки ${displaystyle mathbf {b} }$ в ${displaystyle x-y}$ самолет с положительным ${displaystyle y}$-осевой компонент, вектор ребра ${displaystyle mathbf {c} }$ с положительным ${displaystyle z}$-axis в декартовой системе, как показано на рисунке ниже.

Определение элементарной ячейки с использованием параллелепипеда с длинами ${displaystyle a}$, ${displaystyle b}$, ${displaystyle c}$ и углы между сторонами, заданные ${displaystyle alpha }$, ${displaystyle eta }$, и ${displaystyle gamma }$ ^[1]

Тогда векторы ребер можно записать как

${displaystyle {egin{aligned}{mathbf {a} }&=(a,0,0),{mathbf {b} }&=(bcos(gamma ),bsin(gamma ),0),{mathbf {c} }&=(c_{x},c_{y},c_{z}),end{aligned}}}$

где все ${displaystyle a}$, ${displaystyle b}$, ${displaystyle c}$, ${displaystyle sin(gamma )}$, ${displaystyle c_{z}}$ положительные. Далее давайте выразим все ${displaystyle mathbf {c} }$ компоненты с известными переменными. Это можно сделать с помощью

${displaystyle {egin{aligned}{mathbf {c} }cdot {mathbf {a} }&=accos(eta )=c_{x}a,{mathbf {c} }cdot {mathbf {b} }&=bccos(alpha )=c_{x}bcos(gamma )+c_{y}bsin(gamma ),{mathbf {c} }cdot {mathbf {c} }&=c^{2}=c_{x}^{2}+c_{y}^{2}+c_{z}^{2}.end{aligned}}}$

потом

${displaystyle {egin{aligned}c_{x}&=ccos(eta ),c_{y}&=c{frac {cos(alpha )-cos(gamma )cos(eta )}{sin(gamma )}},c_{z}^{2}&=c^{2}-c_{x}^{2}-c_{y}^{2}=c^{2}left{1-cos ^{2}(eta )-{frac {[cos(alpha )-cos(gamma )cos(eta )]^{2}}{sin ^{2}(gamma )}}ight}.end{aligned}}}$

Последний продолжается

${displaystyle {egin{aligned}c_{z}^{2}&=c^{2}{frac {sin ^{2}(gamma )-sin ^{2}(gamma )cos ^{2}(eta )-[cos(alpha )-cos(gamma )cos(eta )]^{2}}{sin ^{2}(gamma )}}&={frac {c^{2}}{sin ^{2}(gamma )}}left{sin ^{2}(gamma )-sin ^{2}(gamma )cos ^{2}(eta )-[cos(alpha )-cos(gamma )cos(eta )]^{2}ight}end{aligned}}}$

где

${displaystyle {egin{aligned}&sin ^{2}(gamma )-sin ^{2}(gamma )cos ^{2}(eta )-[cos(alpha )-cos(gamma )cos(eta )]^{2}&=sin ^{2}(gamma )-sin ^{2}(gamma )cos ^{2}(eta )-cos ^{2}(alpha )-cos ^{2}(gamma )cos ^{2}(eta )+2cos(alpha )cos(gamma )cos(eta )&=sin ^{2}(gamma )-cos ^{2}(alpha )-sin ^{2}(gamma )cos ^{2}(eta )-cos ^{2}(gamma )cos ^{2}(eta )+2cos(alpha )cos(eta )cos(gamma )&=sin ^{2}(gamma )-cos ^{2}(alpha )-[sin ^{2}(gamma )+cos ^{2}(gamma )]cos ^{2}(eta )+2cos(alpha )cos(eta )cos(gamma )&=sin ^{2}(gamma )-cos ^{2}(alpha )-cos ^{2}(eta )+2cos(alpha )cos(eta )cos(gamma )&=1-cos ^{2}(alpha )-cos ^{2}(eta )-cos ^{2}(gamma )+2cos(alpha )cos(eta )cos(gamma ).end{aligned}}}$

Вспоминая ${displaystyle c_{z}}$, ${displaystyle c}$, и ${displaystyle sin(gamma )}$ будучи положительным, человек получает

${displaystyle c_{z}={frac {c}{sin(gamma )}}{sqrt {1-cos ^{2}(alpha )-cos ^{2}(eta )-cos ^{2}(gamma )+2cos(alpha )cos(eta )cos(gamma )}}.}$

Поскольку по модулю площадь нижней поверхности ячейки равна

${displaystyle left|mathbf {sigma } _{mathbf {c} }ight|=absin(gamma ),}$

объем ячейки параллелепипеда также можно выразить как

${displaystyle Omega =c_{z}left|mathbf {sigma } _{mathbf {c} }ight|=abc{sqrt {1-cos ^{2}(alpha )-cos ^{2}(eta )-cos ^{2}(gamma )+2cos(alpha )cos(eta )cos(gamma )}}}$.^[2]

После расчета объема, как указано выше,

${displaystyle c_{z}={frac {Omega }{absin(gamma )}}.}$

Подведем итог выражению векторов ребер (периодов)

${displaystyle {egin{aligned}{mathbf {a} }&=({a}_{x},{a}_{y},{a}_{z})=(a,0,0),{mathbf {b} }&=({b}_{x},{b}_{y},{b}_{z})=(bcos(gamma ),bsin(gamma ),0),{mathbf {c} }&=({c}_{x},{c}_{y},{c}_{z})=(ccos(eta ),c{frac {cos(alpha )-cos(eta )cos(gamma )}{sin(gamma )}},{frac {Omega }{absin(gamma )}}).end{aligned}}}$

Преобразование из декартовых координат

Давайте сначала вычислим следующий вектор площади поверхности ячейки

${displaystyle mathbf {sigma } _{mathbf {a} }=(mathbf {sigma } _{mathbf {a} ,x},mathbf {sigma } _{mathbf {a} ,y},mathbf {sigma } _{mathbf {a} ,z})={mathbf {b} } imes {mathbf {c} },}$

где

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {sigma } _{mathbf {a} ,x}&={b}_{y}{c}_{z}-{b}_{z}{c}_{y}=bsin(gamma ){frac {Omega }{absin(gamma )}}={frac {Omega }{a}},mathbf {sigma } _{mathbf {a} ,y}&={b}_{z}{c}_{x}-{b}_{x}{c}_{z}=-bcos(gamma ){frac {Omega }{absin(gamma )}}=-{frac {Omega cos(gamma )}{asin(gamma )}},mathbf {sigma } _{mathbf {a} ,z}&={b}_{x}{c}_{y}-{b}_{y}{c}_{x}=bcos(gamma )c{frac {cos(alpha )-cos(eta )cos(gamma )}{sin(gamma )}}-bsin(gamma )ccos(eta )&=bcleft{cos(gamma ){frac {cos(alpha )-cos(eta )cos(gamma )}{sin(gamma )}}-sin(gamma )cos(eta )ight}&={frac {bc}{sin(gamma )}}left{cos(gamma )[cos(alpha )-cos(eta )cos(gamma )]-sin ^{2}(gamma )cos(eta )ight}&={frac {bc}{sin(gamma )}}left{cos(gamma )cos(alpha )-cos(eta )cos ^{2}(gamma )-sin ^{2}(gamma )cos(eta )ight}&={frac {bc}{sin(gamma )}}left{cos(alpha )cos(gamma )-cos(eta )ight}.end{aligned}}}$

Другой вектор площади поверхности клетки

${displaystyle mathbf {sigma } _{mathbf {b} }=(mathbf {sigma } _{mathbf {b} ,x},mathbf {sigma } _{mathbf {b} ,y},mathbf {sigma } _{mathbf {b} ,z})={mathbf {c} } imes {mathbf {a} },}$

где

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {sigma } _{mathbf {b} ,x}&={c}_{y}{a}_{z}-{c}_{z}{a}_{y}=0,mathbf {sigma } _{mathbf {b} ,y}&={c}_{z}{a}_{x}-{c}_{x}{a}_{z}=a{frac {Omega }{absin(gamma )}}={frac {Omega }{bsin(gamma )}},mathbf {sigma } _{mathbf {b} ,z}&={c}_{x}{a}_{y}-{c}_{y}{a}_{x}=-ac{frac {cos(alpha )-cos(eta )cos(gamma )}{sin(gamma )}}&={frac {ac}{sin(gamma )}}left{cos(eta )cos(gamma )-cos(alpha )ight}.end{aligned}}}$

Последний вектор площади поверхности ячейки

${displaystyle mathbf {sigma } _{mathbf {c} }=(mathbf {sigma } _{mathbf {c} ,x},mathbf {sigma } _{mathbf {c} ,y},mathbf {sigma } _{mathbf {c} ,z})={mathbf {a} } imes {mathbf {b} },}$

где

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {sigma } _{mathbf {c} ,x}&={a}_{y}{b}_{z}-{a}_{z}{b}_{y}=0,mathbf {sigma } _{mathbf {c} ,y}&={a}_{z}{b}_{x}-{a}_{x}{b}_{z}=0,mathbf {sigma } _{mathbf {c} ,z}&={a}_{x}{b}_{y}-{a}_{y}{b}_{x}=absin(gamma ).end{aligned}}}$

Подвести итог

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {sigma } _{mathbf {a} }^{prime }&={frac {1}{Omega }}{mathbf {sigma } _{mathbf {a} }}=left({frac {1}{a}},-{frac {cos(gamma )}{asin(gamma )}},bc{frac {cos(alpha )cos(gamma )-cos(eta )}{Omega sin(gamma )}}ight),mathbf {sigma } _{mathbf {b} }^{prime }&={frac {1}{Omega }}{mathbf {sigma } _{mathbf {b} }}=left(0,{frac {1}{bsin(gamma )}},ac{frac {cos(eta )cos(gamma )-cos(alpha )}{Omega sin(gamma )}}ight),mathbf {sigma } _{mathbf {c} }^{prime }&={frac {1}{Omega }}{mathbf {sigma } _{mathbf {c} }}=left(0,0,{frac {absin(gamma )}{Omega }}ight).end{aligned}}}$

Как результат^[3]

${displaystyle left[{egin{matrix}uvwend{matrix}}ight]=left[{egin{matrix}{frac {1}{a}}&-{frac {cos(gamma )}{asin(gamma )}}&bc{frac {cos(alpha )cos(gamma )-cos(eta )}{Omega sin(gamma )}}�&{frac {1}{bsin(gamma )}}&ac{frac {cos(eta )cos(gamma )-cos(alpha )}{Omega sin(gamma )}}�&0&{frac {absin(gamma )}{Omega }}end{matrix}}ight]left[{egin{matrix}xyzend{matrix}}ight]}$

где ${displaystyle (x}$, ${displaystyle y}$, ${displaystyle z)}$ компоненты произвольного вектора ${displaystyle mathbf {r} }$ в декартовых координатах.

Преобразование в декартовы координаты

Чтобы вернуть ортогональные координаты в Ангстремс из дробных координат можно использовать первое уравнение сверху и выражение векторов краев (периодов)^[4][5]

${displaystyle left[{egin{matrix}xyzend{matrix}}ight]=left[{egin{matrix}a&bcos(gamma )&ccos(eta )�&bsin(gamma )&c{frac {cos(alpha )-cos(eta )cos(gamma )}{sin(gamma )}}�&0&{frac {Omega }{absin(gamma )}}end{matrix}}ight]left[{egin{matrix}uvwend{matrix}}ight].}$

В частном случае моноклинная ячейка (общий случай) где ${displaystyle alpha =gamma =90^{circ }}$ и ${displaystyle eta >90^{circ }}$, это дает:

${displaystyle {egin{aligned}x&=au+cwcos(eta ),y&=bv,z&={frac {Omega }{ab}}w=cwsin(eta ).end{aligned}}}$

Поддерживаемые форматы файлов

• CPMD ввод
• CIF

использованная литература

1. "Определение элементарной ячейки с использованием параллелепипеда с длинами а, б, c и углы между краями, определяемые α, β, γ". Ccdc.cam.ac.uk. Архивировано из оригинал на 2008-10-04. Получено 2016-08-17.
2. «Трансформация системы координат». www.ruppweb.org. Получено 2016-10-19.
3. «Трансформация системы координат». Ruppweb.org. Получено 2016-10-19.
4. Sussman, J .; Holbrook, S .; Церковь, G .; Ким, S (1977). «Процедура уточнения структурного фактора наименьших квадратов для макромолекулярных структур с использованием ограниченных и ограниченных параметров». Acta Crystallogr. А. 33 (5): 800–804. Bibcode:1977AcCrA..33..800S. CiteSeerX  10.1.1.70.8631. Дои:10.1107 / S0567739477001958.
5. Россманн, М .; Блоу, Д. (1962). «Обнаружение субъединиц в кристаллографической асимметричной единице». Acta Crystallogr. 15: 24–31. CiteSeerX  10.1.1.319.3019. Дои:10.1107 / S0365110X62000067.