Свободная вероятность - Free probability

Свободная вероятность это математический теория, которая изучает некоммутативный случайные переменные. "Свобода" или свободная независимость свойство является аналогом классического понятия независимость, и это связано с бесплатные продукты Эта теория была инициирована Дэн Войкулеску примерно в 1986 году, чтобы атаковать проблему изоморфизма свободных групповых факторов, важную нерешенную проблему в теории операторные алгебры. Учитывая свободная группа на некотором количестве генераторов можно рассматривать алгебра фон Неймана генерируется групповая алгебра, который является типом II₁ фактор. Проблема изоморфизма спрашивает, являются ли они изоморфный для разного количества генераторов. Неизвестно даже, изоморфны ли какие-либо два свободных групповых фактора. Это похоже на Проблема свободных групп Тарского, который спрашивает, имеют ли две разные неабелевы конечно порожденные свободные группы одну и ту же элементарную теорию.

Позже подключения к теория случайных матриц, комбинаторика, представления из симметричные группы, большие отклонения, квантовая теория информации и другие теории были созданы. Свободная вероятность в настоящее время активно исследуется.

Обычно случайные величины лежат в унитальная алгебра А например, C * -алгебра или алгебра фон Неймана. Алгебра оснащена некоммутативное ожидание, а линейный функционал φ: А → C такое, что φ (1) = 1. Унитальные подалгебры А₁, ..., А_м тогда говорят, что они свободно независимый если ожидание продукта а₁...а_п равен нулю всякий раз, когда каждый а_j имеет нулевое ожидание, лежит в А_k, и никаких соседних а_jпроисходят из той же подалгебры А_k. Случайные величины являются свободно независимыми, если они порождают свободно независимые унитальные подалгебры.

Одна из целей свободной вероятности (еще не достигнутая) состояла в том, чтобы построить новые инварианты из алгебры фон Неймана и свободное измерение рассматривается как разумный кандидат на такой инвариант. Основной инструмент, используемый для строительства свободное измерение свободная энтропия.

Связь свободной вероятности со случайными матрицами является ключевой причиной широкого использования свободной вероятности в других предметах. Войкулеску ввел понятие свободы примерно в 1983 году в операторно-алгебраическом контексте; вначале не было никакой связи со случайными матрицами. Эта связь была обнаружена позже, в 1991 году, Войкулеску; он был мотивирован тем фактом, что предельное распределение, которое он нашел в своей центральной предельной теореме о свободе, появилось раньше в законе полукруга Вигнера в контексте случайных матриц.

В свободный кумулянт функциональный (введен Роланд Спайхер )^[1] играет важную роль в теории. Это связано с решеткой непересекающиеся перегородки множества {1, ..., п } точно так же, как классический кумулянтный функционал связан с решеткой все перегородки из этого набора.

Смотрите также

• Случайная матрица
• Распределение полукруга Вигнера
• Циркулярный закон
• Свободная свертка

использованная литература

Цитаты

1. Speicher, Roland (1994), "Мультипликативные функции на решетке непересекающихся разбиений и свободной свертки", Mathematische Annalen, 298 (4): 611–628, Дои:10.1007 / BF01459754, Г-Н  1268597.

Источники

• Д.-В. Войкулеску, Н. Стаммайер, М. Вебер (ред.): Свободные вероятности и операторные алгебры, Мюнстерские лекции по математике, EMS, 2016
• Джеймс А. Минго, Роланд Спайчер: Свободная вероятность и случайные матрицы. Монографии Института Филдса, Vol. 35, Спрингер, Нью-Йорк, 2017.
• А. Ника, Р. Спайчер: Лекции по комбинаторике свободной вероятности. Издательство Кембриджского университета, 2006 г., ISBN  0-521-85852-6
• Фумио Хайай и Денис Петц, Закон полукруга, свободные случайные величины и энтропия, ISBN  0-8218-2081-8
• Митченер, П. (2005) Некоммутативная теория вероятностей, препринт
• Войкулеску, Д. В .; Dykema, K.J .; Ника, А. Бесплатные случайные величины. Некоммутативный вероятностный подход к свободным произведениям с приложениями к случайным матрицам, операторным алгебрам и гармоническому анализу на свободных группах. Серия монографий CRM, 1. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1992. ISBN  0-8218-6999-X
• Теренс Тао, 254A, Примечания 5: Свободная вероятность (10 февраля 2010 г.), конспект к выпускному курсу «Темы теории случайных матриц»
• Роланд Спайхер: Свободная теория вероятностей, примечания к курсу

внешние ссылки

• Войкулеску получил награду НАН Украины по математике - содержит удобочитаемое описание свободной вероятности.
• RMTool - Бесплатный калькулятор вероятностей на основе MATLAB.
• Стул Alcatel-Lucent на гибком радио Приложения свободной вероятности к беспроводной связи.
• обзорные статьи Роланда Спайчера о свободной вероятности.
• блог о свободной вероятности
• записанные лекции о свободной вероятности