Неравенство Фридрихса - Friedrichss inequality - Wikipedia

В математика, Неравенство Фридрихса это теорема из функциональный анализ, из-за Курт Фридрихс. Это накладывает ограничение на L^п норма функции, использующей L^п границы слабые производные функции и геометрия из домен, и может использоваться, чтобы показать, что определенные нормы на Соболевские пространства эквивалентны. Неравенство Фридрихса является общим случаем Неравенство Пуанкаре – Виртингера. который имеет дело с деломk = 1.

Формулировка неравенства

Позволять ${\displaystyle \Omega }$ быть ограниченное подмножество из Евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с диаметр ${\displaystyle d}$. Предположим, что ${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} }$ лежит в пространстве Соболева ${\displaystyle W_{0}^{k,p}(\Omega )}$, т.е. ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}$ и след из ${\displaystyle u}$ на границе ${\displaystyle \partial \Omega }$ равно нулю. потом

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}.}$

В приведенном выше

• ${\displaystyle \|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}}$ обозначает L^п норма;
• α = (α₁, ..., α_п) это мультииндекс с нормой |α| = α₁ + ... + α_п;
• D^αты смешанный частная производная

${\displaystyle \mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}.}$

Смотрите также

• Неравенство Пуанкаре

Рекомендации

• Ректорис, Карел (2001) [1977]. «Неравенство Фридрихса. Неравенство Пуанкаре». Вариационные методы в математике, науке и технике (2-е изд.). Дордрехт: Рейдел. С. 188–198. ISBN  1-4020-0297-1.