Интерполяционное неравенство Гальярдо – Ниренберга. - Gagliardo–Nirenberg interpolation inequality

В математика, то Интерполяционное неравенство Гальярдо – Ниренберга. это результат теории Соболевские пространства это оценивает слабые производные функции. Оценки даны в виде L^п нормы функции и ее производных, а неравенство «интерполирует» среди различных значений п и порядки дифференциации, отсюда и название. Результат имеет особое значение в теории эллиптические уравнения в частных производных. Это было предложено Луи Ниренберг и Эмилио Гальярдо.

Формулировка неравенства

Неравенство касается функций ты: р^п → р. Исправить 1 ≤q, р ≤ ∞ и a натуральное число м. Предположим также, что действительное число α и натуральное число j такие, что

${\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {j}{n}}+\left({\frac {1}{r}}-{\frac {m}{n}}\right)\alpha +{\frac {1-\alpha }{q}}}$

и

${\displaystyle {\frac {j}{m}}\leq \alpha \leq 1.}$

потом

1. каждая функция ты: р^п → р что лежит в L^q(р^п) с м^th производная в L^р(р^п) также имеет j^th производная в L^п(р^п);
2. и, кроме того, существует постоянная C в зависимости только от м, п, j, q, р и α такой, что

${\displaystyle \|\mathrm {D} ^{j}u\|_{L^{p}}\leq C\|\mathrm {D} ^{m}u\|_{L^{r}}^{\alpha }\|u\|_{L^{q}}^{1-\alpha }.}$

Результат имеет два исключительных случая:

1. Если j = 0, Мистер < п и q = ∞, то необходимо сделать дополнительное предположение, что либо ты стремится к нулю на бесконечности или что ты лежит в L^s для некоторых конечных s > 0.
2. Если 1 <р <∞ и м − j − п/р - целое неотрицательное число, то необходимо также предположить, что α ≠ 1.

Для функций ты: Ω →р определено на ограниченный Липшицевский домен Ω ⊆р^п, интерполяционное неравенство имеет те же гипотезы, что и выше, и имеет вид

${\displaystyle \|\mathrm {D} ^{j}u\|_{L^{p}}\leq C_{1}\|\mathrm {D} ^{m}u\|_{L^{r}}^{\alpha }\|u\|_{L^{q}}^{1-\alpha }+C_{2}\|u\|_{L^{s}}}$

куда s > 0 произвольно; естественно, постоянные C₁ и C₂ зависят от области Ω, а также м, п и Т. Д.

Последствия

• Когда α = 1, L^q норма ты обращается в нуль из неравенства, и тогда из интерполяционного неравенства Гальярдо – Ниренберга следует Теорема вложения Соболева. (Отметим, в частности, что р разрешено быть 1.)
• Другой частный случай интерполяционного неравенства Гальярдо – Ниренберга - это Неравенство Ладыженской, в котором м = 1, j = 0, п = 2 или 3, q и р оба 2, и п = 4.
• В обстановке Соболевские пространства ${\displaystyle H^{s}}$, с ${\displaystyle 0\leq s_{1}<s<s_{2}}$, частный случай дается формулой ${\displaystyle \|u\|_{H^{s}}\leq \|u\|_{H^{s_{1}}}^{\frac {s_{2}-s}{s_{2}-s_{1}}}\|u\|_{H^{s_{2}}}^{\frac {s-s_{1}}{s_{2}-s_{1}}}}$. Это также можно получить с помощью Теорема Планшереля и Неравенство Гёльдера.

Рекомендации

• Э. Гальярдо. Ulteriori proprietà di alcune classi di funzioni in the most variabili. Ricerche Mat., 8: 24–51, 1959.
• Ниренберг, Л. (1959). «Об эллиптических уравнениях в частных производных». Анна. Scuola Norm. Как дела. Пиза (3). 13: 115–162.
• Хаим Брезис, Петру Миронеску. Неравенство и неравенство Гальярдо-Ниренберга: полная история. Анналы института Анри Пуанкаре - Нелинейный анализ 35 (2018), 1355-1376.
• Леони, Джованни (2017). Первый курс в пространствах Соболева: Издание второе. Аспирантура по математике. 181. Американское математическое общество. С. 734. ISBN  978-1-4704-2921-8
• Нгуен-Ань Дао, Хесус Ильдефонсо Диас, Куок-Хунг Нгуен (2018), Обобщенные неравенства Гальярдо-Ниренберга с использованием пространств Лоренца и BMO, Нелинейный анализ, Том 173, страницы 146-153.