Обобщенная алгебра Клиффорда - Generalized Clifford algebra - Wikipedia

Эта статья посвящена алгебре, называемой обобщенной алгеброй Клиффорда (GCA). Относительно (ортогональной) алгебры Клиффорда см. Алгебра Клиффорда. Для симплектической алгебры Клиффорда см. Алгебра Вейля.

В математика, а Обобщенная алгебра Клиффорда (GCA) - это ассоциативная алгебра это обобщает Алгебра Клиффорда, и возвращается к работе Герман Вейль,^[1] кто использовал и формализовал эти круглосуточный операторы введены Дж. Дж. Сильвестр (1882),^[2] и организовано Картан (1898)^[3] и Швингер.^[4]

Матрицы тактовых импульсов и сдвигов находят рутинное применение во многих областях математической физики, являясь краеугольным камнем квантовая динамика в конечномерных векторных пространствах.^[5][6][7] Концепция спинор можно в дальнейшем связать с этими алгебрами.^[6]

Термин обобщенные алгебры Клиффорда может также относиться к ассоциативным алгебрам, которые построены с использованием форм более высокой степени вместо квадратичных форм.^{[8][9][10][11]}

Определение и свойства

Абстрактное определение

В п-мерная обобщенная алгебра Клиффорда определяется как ассоциативная алгебра над полем F, создано^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{j}e_{k}&=\omega _{jk}e_{k}e_{j}\\\omega _{jk}e_{l}&=e_{l}\omega _{jk}\\\omega _{jk}\omega _{lm}&=\omega _{lm}\omega _{jk}\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle e_{j}^{N_{j}}=1=\omega _{jk}^{N_{j}}=\omega _{jk}^{N_{k}}\,}$

∀ j,k,л,м = 1,...,п.

Более того, в любом неприводимом матричном представлении, актуальном для физических приложений, требуется, чтобы

${\displaystyle \omega _{jk}=\omega _{kj}^{-1}=e^{2\pi i\nu _{kj}/N_{kj}}}$

∀ j,k = 1,...,п, и ${\displaystyle N_{kj}={}}$gcd${\displaystyle (N_{j},N_{k})}$. Поле F обычно принимают комплексные числа C.

Более конкретное определение

Основная статья: Обобщения матриц Паули

В более распространенных случаях GCA,^[6] в п-мерная обобщенная алгебра Клиффорда порядка п имеет свойство ω_кДж = ω, ${\displaystyle N_{k}=p}$ для всех j,k, и ${\displaystyle \nu _{kj}=1}$. Следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{j}e_{k}&=\omega \,e_{k}e_{j}\,\\\omega e_{l}&=e_{l}\omega \,\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle e_{j}^{p}=1=\omega ^{p}\,}$

для всех j,k, l = 1, ...,п, и

${\displaystyle \omega =\omega ^{-1}=e^{2\pi i/p}}$

это пкорень 1-го числа.

В литературе существует несколько определений обобщенной алгебры Клиффорда.^[13]

Алгебра Клиффорда

В (ортогональной) алгебре Клиффорда элементы подчиняются правилу антикоммутации с ω = −1, и п = 2.

Матричное представление

Основная статья: Обобщения матриц Паули § Построение: матрицы часов и сдвига

Матрицы Clock и Shift могут быть представлены^[14] к п × п матрицы в канонической записи Швингера как

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\0&0&\ddots &1&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&0&0&\cdots &0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\omega &0&\cdots &0\\0&0&\omega ^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\omega ^{(n-1)}\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{n-1}\\1&\omega ^{2}&(\omega ^{2})^{2}&\cdots &\omega ^{2(n-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega ^{n-1}&\omega ^{2(n-1)}&\cdots &\omega ^{(n-1)^{2}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$ .

В частности, V^п = 1, VU = ωUV (в Отношения плетения Вейля ), и W⁻¹VW = U (в дискретное преобразование Фурье ). С е₁ = V , е₂ = VU, и е₃ = U, один имеет три базовых элемента, которые вместе с ω, выполнить указанные выше условия Обобщенной алгебры Клиффорда (GCA).

Эти матрицы, V и U, обычно обозначаемый как "матрицы сдвига и синхронизации ", были представлены Дж. Дж. Сильвестр в 1880-х гг. (Обратите внимание, что матрицы V цикличны матрицы перестановок которые выполняют круговой сдвиг; их не следует путать с матрицы верхнего и нижнего сдвига у которых есть только либо выше, либо ниже диагонали соответственно).

Конкретные примеры

Дело п = п = 2

В этом случае мы имеем ω = −1, и

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

таким образом

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},&e_{2}&={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},&e_{3}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$ ,

которые составляют Матрицы Паули.

Дело п = п = 4

В этом случае мы имеем ω = я, и

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&i&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-i\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&i&-1&-i\\1&-1&1&-1\\1&-i&-1&i\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

и е₁, е₂, е₃ может быть определено соответственно.

Смотрите также

• Алгебра Клиффорда
• Обобщения матриц Паули
• Матрица ДПФ
• Циркулянтная матрица

Рекомендации

1. Вейль, Х. (1927). "Quantenmechanik und Gruppentheorie". Zeitschrift für Physik. 46 (1–2): 1–46. Bibcode:1927ZPhy ... 46 .... 1Вт. Дои:10.1007 / BF02055756.
   — (1950) [1931]. Теория групп и квантовая механика. Дувр. ISBN  9780486602691.
2. Сильвестр, Дж. Дж. (1882 г.), Несколько слов о нонионах, Циркуляры Университета Джона Хопкинса, я, стр. 241–2, HDL:1774.2/32845; там же II (1883) 46; там же III (1884) 7–9. Обобщено в Сборник статей Джеймса Джозефа Сильвестра по математике (Издательство Кембриджского университета, 1909 г.) v III . онлайн и дальше.
3. Картан, Э. (1898). "Les groupes bilinéaires et les systèmes de nombres complex" (PDF). Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. 12 (1): B65 – B99.
4. Швингер, Дж. (Апрель 1960 г.). «Унитарные операторные базы». Proc Natl Acad Sci U S A. 46 (4): 570–9. Bibcode:1960ПНАС ... 46..570С. Дои:10.1073 / pnas.46.4.570. ЧВК  222876. PMID  16590645.
   — (1960). «Унитарные преобразования и принцип действия». Proc Natl Acad Sci U S A. 46 (6): 883–897. Bibcode:1960ПНАС ... 46..883С. Дои:10.1073 / pnas.46.6.883. ЧВК  222951. PMID  16590686.
5. Santhanam, T. S .; Текумалла, А. Р. (1976). «Квантовая механика в конечных измерениях». Основы физики. 6 (5): 583. Bibcode:1976ФоФ .... 6..583С. Дои:10.1007 / BF00715110.
6. См. Например: Граник, А .; Росс, М. (1996). «На новой основе для обобщенной алгебры Клиффорда и ее приложения к квантовой механике». In Ablamowicz, R .; Parra, J .; Лунесто П. (ред.). Алгебры Клиффорда с приложениями для числовых и символьных вычислений. Birkhäuser. С. 101–110. ISBN  0-8176-3907-1.
7. Квасьневский, А. (1999). "Об обобщенной алгебре КлиффордаC^(п)₄ andGL_q(2; C) квантовая группа ». AACA. 9 (2): 249–260. arXiv:математика / 0403061. Дои:10.1007 / BF03042380.
8. Тессер, Стивен Барри (2011). «Обобщенные алгебры Клиффорда и их представления». В Микали, А .; Boudet, R .; Helmstetter, J. (ред.). Алгебры Клиффорда и их приложения в математической физике. Springer. стр.133 –141. ISBN  978-90-481-4130-2.
9. Чайлдс, Линдси Н. (30 мая 2007 г.). «Линеаризация n-мерных форм и обобщенные алгебры Клиффорда». Линейная и полилинейная алгебра. 5 (4): 267–278. Дои:10.1080/03081087808817206.
10. Паппасена, Кристофер Дж. (Июль 2000 г.). «Матричные пучки и обобщенная алгебра Клиффорда». Линейная алгебра и ее приложения. 313 (1–3): 1–20. Дои:10.1016 / S0024-3795 (00) 00025-2.
11. Чепмен, Адам; Куо, Чжун-Мяо (апрель 2015 г.). «Об обобщенной алгебре Клиффорда монического многочлена». Линейная алгебра и ее приложения. 471: 184–202. arXiv:1406.1981. Дои:10.1016 / j.laa.2014.12.030.
12. Для исправного обзора см. Вурдас, А. (2004). «Квантовые системы с конечным гильбертовым пространством». Rep. Prog. Phys. 67 (3): 267–320. Bibcode:2004РПФ ... 67..267В. Дои:10.1088 / 0034-4885 / 67/3 / R03.
13. См., Например, обзор, представленный в: Смит, Тара Л. «Разложение обобщенных алгебр Клиффорда» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 12.06.2010.
14. Рамакришнан, Аллади (1971). «Обобщенная алгебра Клиффорда и ее приложения - новый подход к внутренним квантовым числам». Труды конференции по алгебре Клиффорда, ее обобщениям и приложениям, 30 января – 1 февраля 1971 г. (PDF). Мадрас: Matscience. С. 87–96.

дальнейшее чтение

• Джаганнатан Р. (2010). «Об обобщенных алгебрах Клиффорда и их физических приложениях». arXiv:1005.4300 [математика ].
• Morinaga, K .; Ноно, Т. (1952). «О линеаризации формы высшей степени и ее представлении». J. Sci. Hiroshima Univ. Сер. А. 16: 13–41. Дои:10.32917 / hmj / 1557367250.
• Моррис, А. (1967). «Об обобщенной алгебре Клиффорда». Кварта. J. Math (Оксфорд. 18 (1): 7–12. Bibcode:1967QJMat..18 .... 7M. Дои:10.1093 / qmath / 18.1.7.
• Моррис, А. (1968). «Об обобщенной алгебре Клиффорда II». Кварта. J. Math (Оксфорд. 19 (1): 289–299. Bibcode:1968QJMat..19..289M. Дои:10.1093 / qmath / 19.1.289.