Обобщенная спектрограмма - Generalized spectrogram

Чтобы просмотреть сигнал (считающийся функцией времени), представленный по оси времени и частоты, частотно-временное представление используется. Спектрограмма является одним из самых популярных частотно-временных представлений, и обобщенная спектрограмма, также называемый «двухоконной спектрограммой», является обобщенным приложением спектрограммы.

Определение

Определение спектрограммы основывается на преобразовании Габора (также называемом кратковременным преобразованием Фурье, сокращенно STFT), идея которого заключается в локализации сигнала ж во времени, умножив его на переводы оконной функции ${\displaystyle w(t)}$.

Определение спектрограммы:
${\displaystyle S{P_{x,w}}(t,f)={G_{x,w}}(t,f)G_{_{x,w}}^{*}(t,f)=|{G_{x,w}}(t,f)|^{2}}$,
куда ${\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}}$ обозначает Преобразование Габора из ${\displaystyle x(t)}$.

На основе спектрограммы обобщенная спектрограмма определяется как
${\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)={G_{x,{w_{1}}}}(t,f)G_{_{x,{w_{2}}}}^{*}(t,f)}$,
куда ${\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{1}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}$,
и ${\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{2}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}$

За ${\displaystyle w_{1}(t)=w_{2}(t)=w(t)}$, она сводится к классической спектрограмме:
${\displaystyle S{P_{x,w}}(t,f)={G_{x,w}}(t,f)G_{_{x,w}}^{*}(t,f)=|{G_{x,w}}(t,f)|^{2}}$Особенностью Обобщенной спектрограммы является то, что размеры окна ${\displaystyle w_{1}(t)}$ и ${\displaystyle w_{2}(t)}$ разные. Поскольку на частотно-временное разрешение будет влиять размер окна, если выбрать широкий ${\displaystyle w_{1}(t)}$ и узкий ${\displaystyle w_{1}(t)}$ (или наоборот) их разрешение будет высоким в разных частях спектрограммы. После умножения этих двух преобразований Габора разрешение по оси времени и частоты будет улучшено.

Характеристики

• Отношения с Распределение Вигнера

${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)=Wig(w_{1}',w_{2}')*Wig(t,f)(x,w),}$

куда ${\displaystyle w_{1}'(s):=w_{1}(-s),w_{2}'(s):=w_{2}(-s)}$

• Предельное по времени условие

Обобщенная спектрограмма ${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$ удовлетворяет маргинальному по времени условию тогда и только тогда, когда ${\displaystyle w_{1}w_{2}'=\delta }$,

куда ${\displaystyle \delta }$ обозначает Дельта-функция Дирака

• Граничное условие частоты

Обобщенная спектрограмма ${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$ удовлетворяет маргинальному условию частоты тогда и только тогда, когда ${\displaystyle w_{1}w_{2}'=\delta }$,

куда ${\displaystyle \delta }$ обозначает Дельта-функция Дирака

• Сохранение энергии

Обобщенная спектрограмма ${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$ удовлетворяет закону сохранения энергии тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (w_{1},w_{2})=1}$.

• Анализ реальности

Обобщенная спектрограмма ${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$ реально тогда и только тогда, когда ${\displaystyle w_{1}=Cw_{2}}$ для некоторых ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$.

Рекомендации

• Заметки для занятий по частотно-временному анализу и вейвлет-преобразованию - с веб-сайта курса профессора Цзянь-Цзюн Дина
• П. Богджиатто, Дж. Де Донно и А. Олиаро, «Двухоконная спектрограмма и их интегралы, "Достижения и приложения, том 205, стр. 251–268, 2009.