Генератор (теория категорий) - Generator (category theory)

В математика, конкретно теория категорий, а семейство генераторов (или же семейство сепараторов) из категория ${displaystyle {mathcal {C}}}$ это коллекция ${displaystyle {G_{i}in Ob({mathcal {C}})mid iin I}}$ объектов, индексированный каким-то набором я, так что для любых двух морфизмы ${displaystyle f,g:X o Y}$ в ${displaystyle {mathcal {C}},}$ если ${displaystyle feq g}$ тогда есть некоторые я в я и немного морфизма ${displaystyle h:G_{i} o X}$ такой, что ${displaystyle fcirc heq gcirc h.}$ Если семья состоит из одного объекта грамм, мы говорим, что это генератор (или же разделитель).

Генераторы играют центральную роль в определении Категории Гротендика.

В двойной концепция называется когенератор или же сопепаратор.

Примеры

• В категории абелевы группы, группа целых чисел ${displaystyle mathbf {Z} }$ является генератором: Если ж и грамм разные, то есть элемент ${displaystyle xin X}$, так что ${displaystyle f(x)eq g(x)}$. Следовательно, карта ${displaystyle mathbf {Z} ightarrow X,}$ ${displaystyle nmapsto ncdot x}$ достаточно.
• Аналогично одноточечный набор генератор для категория наборов. Фактически, любое непустое множество является генератором.
• в категория наборов, любой набор хотя бы из двух объектов является когенератором.
• В категории модулей над звенеть р, образующая в конечной прямой сумме с собой содержит изоморфную копию р как прямое слагаемое. Следовательно, генераторный модуль точен, т.е. имеет ноль аннигилятор.

Рекомендации

• Мак-Лейн, Сондерс (1998), Категории для рабочего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98403-2, п. 123, раздел V.7

внешняя ссылка

• генератор в nLab