Уравнение Гиббса – Томсона - Gibbs–Thomson equation

Эффект Гиббса – Томсона в общем физика использование, относится к вариациям в давление газа или же химический потенциал по изогнутой поверхности или границе раздела. Наличие положительной межфазной энергии увеличит энергию, необходимую для образования мелких частиц с высокой кривизной, и эти частицы будут демонстрировать повышенное давление пара. Видеть Уравнение Оствальда – Фрейндлиха. Более конкретно, эффект Гиббса-Томсона относится к наблюдению, что маленькие кристаллы находятся в равновесии со своим жидким расплавом при более низкой температуре, чем большие кристаллы. В случаях ограниченной геометрии, такой как жидкости, содержащиеся в пористой среде, это приводит к понижению точки замерзания / точки плавления, которое обратно пропорционально размеру пор, как указано Уравнение Гиббса – Томсона.

Вступление

Этот метод тесно связан с использованием адсорбции газа для измерения размеров пор, но использует уравнение Гиббса-Томсона, а не Уравнение Кельвина. Оба они являются частными случаями уравнений Гиббса Джозайя Уиллард Гиббс: уравнение Кельвина - случай постоянной температуры, а уравнение Гиббса – Томсона - случай постоянного давления.^[1]Такое поведение тесно связано с капиллярным эффектом, и оба они связаны с изменением объемной свободной энергии, вызванным кривизной межфазной поверхности при растяжении.^[2][3]Исходное уравнение применимо только к изолированным частицам, но с добавлением условий взаимодействия с поверхностью (обычно выражаемых через краевой угол смачивания) может быть изменено для применения к жидкостям и их кристаллам в пористой среде. По сути, это привело к появлению различных связанных методов измерения распределения пор по размерам. (Видеть Термопорометрия и криопорометрия.) Эффект Гиббса-Томсона понижает температуру плавления и замерзания, а также повышает температуру кипения. Однако простое охлаждение полностью жидкого образца обычно приводит к состоянию неравновесия. супер охлаждение и только возможное неравновесное замораживание. Чтобы получить измерение события равновесного замерзания, необходимо сначала охладить достаточно, чтобы заморозить образец с избытком жидкости за пределами пор, затем нагреть образец до тех пор, пока жидкость в порах не расплавится, но объемный материал все еще будет заморожен. Затем при повторном охлаждении может быть измерено событие равновесного замерзания, так как внешний лед затем прорастет в поры.^[4][5]По сути, это измерение «вторжения льда» (ср. вторжение ртути ), и поэтому частично может предоставить информацию о свойствах порового канала. Можно ожидать, что событие плавления предоставит более точную информацию о теле поры.

Для частиц

Для изолированной сферической твердой частицы диаметром ${\displaystyle x}$ в собственной жидкости можно записать уравнение Гиббса – Томсона для структурной депрессии точки плавления:^[6]

${\displaystyle \Delta \,T_{m}(x)=T_{mB}-T_{m}(x)=T_{mB}{\frac {4\sigma _{sl}}{H_{f}\rho _{s}x}}}$

куда:

Т_мБ = объемная температура плавления

σ_сл = энергия границы раздела твердое тело – жидкость (на единицу площади)

ЧАС_ж = объемная энтальпия плавления (на грамм материала)

ρ_s = плотность твердого тела

Число "4" в приведенном выше уравнении происходит от сферической геометрии границы раздела твердое тело-жидкость.

Примечание: ${\displaystyle x}$ используется для размера частиц, а не ${\displaystyle d}$ по ряду причин:

• Это согласуется с первоначально опубликованными обозначениями.
• Уравнение можно использовать с плоской геометрией (с изменением константы).
• Для согласования с соответствующими Уравнение Стрэнджа – Рахмана – Смита. где символ ${\displaystyle d}$ используется для дифференциальный оператор.

Для жидкостей в порах

Очень похожие уравнения могут быть применены к росту и плавлению кристаллов в ограниченной геометрии пористых систем. Однако геометрический член для границы раздела кристалл-жидкость может быть другим, и могут потребоваться дополнительные термины поверхностной энергии, которые можно записать как член угла смачивания. ${\displaystyle \cos \phi \,}$. Обычно считается, что угол составляет около 180 °. В цилиндрических порах есть некоторые свидетельства того, что граница раздела замерзания может быть сферической, в то время как граница раздела плавления может быть цилиндрической, на основе предварительных измерений измеренного отношения для ${\displaystyle \Delta \,T_{f}/\Delta \,T_{m}}$ в цилиндрических порах.^[7]

Таким образом, для сферической границы раздела несмачивающего кристалла и его собственной жидкости в бесконечной цилиндрической поре диаметром ${\displaystyle x}$, структурная депрессия точки плавления определяется как:^[8]

${\displaystyle \Delta \,T_{m}(x)=T_{mB}-T_{m}(x)=-T_{mB}{\frac {4\sigma \,_{sl}\cos \phi \,}{H_{f}\rho \,_{s}x}}}$

Упрощенное уравнение

Уравнение Гиббса – Томсона можно записать в компактной форме:^[9]

${\displaystyle \Delta \,T_{m}(x)={\frac {k_{GT}}{x}}}$

где коэффициент Гиббса – Томсона ${\displaystyle k_{GT}}$ принимает разные значения для разных жидкостей^[6][7] а также различные геометрические формы поверхности раздела (сферическая / цилиндрическая / плоская).^[7]

Более подробно:,^[1][10]

${\displaystyle \Delta \,T_{m}(x)={\frac {k_{GT}}{x}}={\frac {k_{g}\,k_{s}\,k_{i}}{x}}}$

куда:

${\displaystyle k_{g}}$ - геометрическая постоянная, зависящая от формы поверхности раздела,

${\displaystyle k_{s}}$ - константа, включающая параметры, специфичные для кристаллического твердого тела системы твердое тело – жидкость, и

${\displaystyle k_{i}}$ это термин межфазной энергии.

История

Еще в 1886 году Роберт фон Гельмгольц (сын немецкого физика Герман фон Гельмгольц ) обнаружил, что мелкодисперсные жидкости имеют более высокое давление пара.^[11] К 1906 году немецкий физико-химик Фридрих Вильгельм Кюстер (1861–1917) предсказал, что с тех пор давление газа тонко измельченного летучего твердого вещества больше, чем давление пара объемного твердого вещества, тогда температура плавления мелкодисперсного порошка должна быть ниже, чем у твердого вещества.^[12] Такие исследователи, как российские физико-химики Павел Николаевич Павлов (или Лапа (на немецком языке), 1872–1953) и Петр Петрович фон Веймарн (1879–1935), среди прочего, искали и в конечном итоге наблюдали такое снижение температуры плавления.^[13] К 1932 году чешский исследователь Пауль Кубелка (1900–1956) обнаружил, что температура плавления йода в активированный уголь понижается до 100 ° C.^[14] Исследователи установили, что снижение температуры плавления произошло, когда изменение температуры поверхностная энергия был значительным по сравнению с скрытая теплота фазового перехода, которое достигается в случае очень малых частиц.^[15]

Ни один Джозайя Уиллард Гиббс ни Уильям Томсон (Лорд Кельвин ) вывел уравнение Гиббса – Томсона.^[16] Кроме того, хотя многие источники утверждают, что британский физик Дж. Дж. Томсон вывел уравнение Гиббса – Томсона в 1888 г., но он этого не сделал.^[17] В начале ХХ века исследователи получили предшественники уравнения Гиббса – Томсона.^[18] Однако в 1920 году уравнение Гиббса-Томсона было впервые выведено в его современной форме двумя исследователями, работающими независимо: Фридрихом Мейснером, учеником эстонско-немецкого физико-химика. Густав Тамманн и Эрнст Ри (1896–1921), австрийский физик из Венского университета.^[19][20] Эти первые исследователи не называли это соотношение уравнением «Гиббса – Томсона». Это имя использовалось до 1910 года или раньше;^[21] первоначально он относился к уравнениям, касающимся адсорбции растворенных веществ на границах раздела между двумя фазами - уравнениям, выведенным Гиббсом, а затем Дж. Дж. Томсоном.^[22] Следовательно, в названии уравнения «Гиббса – Томсона» «Томсон» относится к Дж. Дж. Томсону, а не Уильяму Томсону (лорд Кельвин).

В 1871 году Уильям Томсон опубликовал уравнение, описывающее капиллярное действие и связывающее кривизну границы раздела жидкость-пар с давлением пара:^[23]

${\displaystyle p(r_{1},r_{2})=P-{\frac {\gamma \,\rho _{\text{vapor}}}{(\rho _{\text{liquid}}-\rho _{\text{vapor}})}}\left({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}\right)}$

куда:

${\displaystyle p(r)}$ = давление пара на изогнутой границе радиуса ${\displaystyle r}$

${\displaystyle P}$ = давление пара на плоской поверхности раздела (${\displaystyle r=\infty }$) = ${\displaystyle p_{eq}}$

${\displaystyle \gamma }$ = поверхностное натяжение

${\displaystyle \rho _{\text{vapor}}}$ = плотность пара

${\displaystyle \rho _{\text{liquid}}}$ = плотность жидкости

${\displaystyle r_{1}}$, ${\displaystyle r_{2}}$ = радиусы кривизны по основным участкам изогнутой поверхности раздела.

В своей диссертации 1885 года Роберт фон Гельмгольц (сын немецкого физика Герман фон Гельмгольц ) показал, как Уравнение Оствальда – Фрейндлиха.

${\displaystyle \ln \left({\frac {p(r)}{P}}\right)={\frac {2\gamma V_{\text{molecule}}}{k_{B}Tr}}}$

может быть получено из уравнения Кельвина.^[24][25] Уравнение Гиббса – Томсона может быть получено из уравнения Оствальда – Фрейндлиха путем простой подстановки с использованием интегрированной формы уравнения Соотношение Клаузиуса – Клапейрона:^[26]

${\displaystyle \ln \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)={\frac {L}{R}}\left({\frac {1}{T_{1}}}-{\frac {1}{T_{2}}}\right).}$

Уравнение Гиббса – Томсона также может быть получено непосредственно из уравнения Гиббса для энергии границы раздела фаз.^[27][28]

Следует отметить, что в литературе до сих пор нет согласия по поводу конкретного уравнения, к которому относится название «уравнение Гиббса – Томсона». Например, для некоторых авторов это другое название «уравнения Оствальда – Фрейндлиха».^[29]- которое, в свою очередь, часто называют «уравнением Кельвина», тогда как в случае других авторов «соотношение Гиббса – Томсона» представляет собой свободную энергию Гиббса, которая требуется для расширения границы раздела.^[30] и так далее.

Рекомендации

1. Mitchell, J .; Webber, J. Beau W .; Стрэндж, Дж. (2008). «Ядерно-магнитно-резонансная криопорометрия» (PDF). Phys. Представитель. 461 (1): 1–36. Bibcode:2008ФР ... 461 .... 1М. Дои:10.1016 / j.physrep.2008.02.001.
2. Defay, R .; Пригожин, И .; Bellemans, A .; Эверетт, Д. Х. (1966) [1951], Поверхностное натяжение и адсорбция, Longmans Green and Co. (Лондон)
3. Gregg, S.J .; Пойте, K.S.W. (1967), Площадь адсорбционной поверхности и пористость (второе изд.), Academic Press (Лондон)
4. Петров, О .; Фуро, И. (январь 2006 г.), "Зависящая от кривизны метастабильность твердой фазы и гистерезис замерзания-плавления в порах", Phys. Ред., 73 (1): 7, Bibcode:2006PhRvE..73a1608P, Дои:10.1103 / Physreve.73.011608, ISSN  1539-3755, PMID  16486162
5. Webber, J. Beau W .; Андерсон, Росс; Странно, Джон Х .; Тохиди, Бахман (2007), «Образование и диссоциация клатратов в системах пар / вода / лед / гидрат в пористых средах SBA-15 Sol-Gel и CPG согласно новому протоколу релаксации ЯМР. Криопорометрия ЯМР, рассеяние нейтронов и квантово-механическое молекулярно-динамическое моделирование ab-initio». (PDF), Magn. Резон. Изображения, Эльзевир (Нидерланды), 25 (4): 533–536, Дои:10.1016 / j.mri.2006.11.022, PMID  17466781
6. Jackson, C.L .; Маккенна, Дж. Б. (декабрь 1990 г.), «Поведение при плавлении органических материалов, заключенных в пористые твердые тела» (PDF), J. Chem. Phys., 93 (12): 9002–9011, Bibcode:1990JChPh..93.9002J, Дои:10.1063/1.459240, ISSN  0021-9606
7. Уэббер Дж. Б. У. (2010), «Исследования наноструктурированных жидкостей в ограниченной геометрии и на поверхностях» (PDF), Прогресс в спектроскопии ядерного магнитного резонанса, 56 (1): 78–93, Дои:10.1016 / j.pnmrs.2009.09.001, PMID  20633349
8. Геометрия границы раздела кристалл – жидкость определяет значение константы в уравнении Гиббса – Томсона - обычное «4» применимо только к сферической границе раздела в цилиндрической поре.
9. Стрэндж, J.H .; Rahman, M .; Смит, Э. (Ноябрь 1993 г.), "Определение характеристик пористых твердых тел с помощью ЯМР", Phys. Rev. Lett., 71 (21): 3589–3591, Bibcode:1993ПхРвЛ..71.3589С, Дои:10.1103 / PhysRevLett.71.3589, PMID  10055015
10. Webber, J. Beau W .; Доре, Джон С .; Странно, Джон Х .; Андерсон, Росс; Тохиди, Бахман (2007), «Пластиковый лед в ограниченной геометрии: данные нейтронной дифракции и ЯМР релаксации». (PDF), J. Phys .: Condens. Иметь значение, 19 (41): 415117 (12pp), Bibcode:2007JPCM ... 19O5117W, Дои:10.1088/0953-8984/19/41/415117, PMID  28192329
11. Роберт фон Гельмгольц (1886) "Untersuchungen über Dämpfe und Nebel, besonders über solche von Lösungen" (Исследования паров и туманов, особенно таких вещей из растворов), Annalen der Physik, 263 (4): 508–543. Со страницы 525: "Eine zufällig von mir gemachte Beobachtung dürfte vielleicht eine Experimentelle Bestätigung dieser Результат энтузиазма: Wenn nämlich auf einer Glasscheibe ein feiner Beschlag gebildet ist, über den Weldickere Tropfen zerstreaginee ist, ein Beweis, dass die kleinen in die grossen Tropfen überdestillirt sind ». (Случайное наблюдение, которое я сделал случайно, возможно, может содержать экспериментальное подтверждение этого результата: а именно, если на оконном стекле образуется тонкий туман, по которому разбрасываются большие капли, то вокруг последнего вскоре образуется диск, который без мелкого тумана - свидетельство того, что маленькие [капельки] «перегоняются» в большие.)
12. Фридрих Вильгельм Кюстер (1906) Lehrbuch der allgemeinen Physikalischen und Theoretischen Chemie ... [Учебник общей физической и теоретической химии ...] (Гейдельберг, Германия: Карл Винтер, 1906), т.1, с. 189. Соответствующий отрывок перепечатан на странице 189 тома 1 издания 1913 года: § 127. Schmelzen feinster Pulver. (Таяние тончайшего порошка). Со страницы 189: "Folglich ist die Schmelztemperatur des Pulvers, t₁°, niedriger als die der Kristalle, t °. Der Unterschied ist jedoch so gering, daß er noch nicht zur Beobachtung gelangt ist (vgl. Weiter unter §. 131) ". (Следовательно, температура плавления порошка t₁°, ниже, чем у [объемного] кристалла, t °. Однако разница настолько мала, что до сих пор не наблюдается (сравните § 131 ниже).)
13. Еще в 1906 году австрийский минералог Корнелио Август Дельтер [ Де ] (1850-1930) пытался определить температуры плавления различных минералов с помощью микроскопа и обнаружил, что тонкодисперсные силикаты плавятся в диапазоне до 100 ° C. См. Стр. 618-619 из: Doelter. C (17 августа 1906 г.) "Bestimmung der Schmelzpunkte vermittelst der optischen Methode" (Определение точек плавления оптическим методом), Zeitschrift für Elektrochemie und angewandte Physikalische Chemie, 12 (33): 617-621. С п. 618: «… Wir erkennen, dass zwischen Beginn der Schmelzung und diesem Punkt bei manchen Silikaten ein erheblicher Temperaturunterschied - до 100 ° - liegen kann,…» (… Мы видим, что между началом плавления и этой точкой [то есть, в которой капли расплава соединяются вместе] может лежать, в случае некоторых силикатов, значительная разница в температуре - до 100 ° C…)
14. См .: Kubelka, Paul (июль 1932 г.) «Über den Schmelzpunkt in sehr engen Capillaren» (О температуре плавления в очень узких капиллярах), Zeitschrift für Elektrochemie und angewandte Physikalische Chemie (Журнал электрохимии и прикладной физической химии), 38 (8a): 611–614. Доступен онлайн в переводе на английский язык по адресу: Национальный исследовательский совет Канады В архиве 2016-02-06 в Wayback Machine. Со страницы 614: «Тесты, о которых будет подробно рассказано автором в другом месте, позволят нам доказать ... что йод в активированном угле все еще находится в жидком состоянии при комнатной температуре, то есть примерно на 100 ° ниже точки плавления».
15. См. Например:
    • Павлов П. Н. (Павлов П.Н.) (1908) "О зависимости температуры плавления от поверхностной энергии твердого тела" (О зависимости температуры плавления от поверхностной энергии твердого тела), Журнал Русского Физико-химического общества (Журнал Российского физико-химического общества), (на русском языке) 40 : 1022–1067.
    • Павлов, П. Н. (1909) "Über die Abhängigkeit des Schmelzpunktes von der Oberflächenenergie eines festen Korpers" (О зависимости температуры плавления от поверхностной энергии твердого тела), Zeitschrift für Physikalische Chemie, 65 : 1–35; 545–548.
    • Павлов, П. Н. (1910) "Über den Dampfdruck der Körner einer festen Substanz" (О давлении пара гранул твердого вещества), Zeitschrift für Physikalische Chemie, 68 : 316–322.
    • Павлов, П. Н. (1910) "Über die Schmeltztemperatur der Körner des Salols" (О температуре плавления гранул салола), Zeitschrift für Physikalische Chemie, 74 : 562–566.
    • Павлов, П. Н. (1910) "Ueber den Einfluss der Oberfläche einer festen Phase auf die latente Wärme und die Temperatur des Schmelzens" (О влиянии поверхности твердой фазы на скрытую теплоту и температуру плавления) Zeitschrift für Chemie und Industrie der Kolloide, 7 : 37–39.
    • П. П. фон Веймарн (октябрь 1910 г.) "Der Einfluß des Dispersitätsgrades eines festen Kristalles auf seine Schmelztemperatur" [Влияние степени дисперсности твердого кристалла на его температуру плавления], Zeitschrift für Chemie und Industrie der Kolloide, 7 (4) : 205–208.
    • Х. Лейтмайер (10 июня 1913 г.) "Zur Kenntnis der Schmelzpunkte von Silikaten. Der Einfluß der Korngröße auf den Schmelzpunkt. Bestimmung des Schmelzpunktes einiger Silikate durch längeres Erhitzen" ((Вклад) в (наши) знания о температуре плавления силикатов. Влияние размера частиц на температуру плавления. Определение температуры плавления некоторых силикатов путем длительного нагревания) Zeitschrift für anorganische und allgemeine Chemie, 81 (1) : 209–232.
16. Чон-Мён Ха, Кристаллизация и термотропные свойства твердых органических веществ в наноскопических реакторах, Кандидат наук. дипломная работа: Университет Миннесоты, 2006 г., страницы 26–28.
17. Сэр Джозеф Джон Томсон вывел уравнение Кельвина (стр.163 ) и понижение температуры плавления льда давлением (стр. 258 ), но он не вывел уравнение Гиббса – Томсона. Однако на страницы 251–252 Томсон рассмотрел влияние температуры и поверхностного натяжения на растворимость солей в сферических каплях и получил уравнение для этого явления, которое имеет форму, аналогичную уравнению Гиббса – Томсона. См .: Томсон, Дж. Дж., Приложения динамики к физике и химии (Лондон, Англия: Macmillan and Co., 1888).
18. Видеть:
    • Павлов, П. Н. (1909) "Uber die Abhängigkeit des Schmelzpunktes von der Oberflächenenergie eines festen Korpers" (О зависимости температуры плавления от поверхностной энергии твердого тела), Zeitschrift für Physikalische Chemie, 65 : 545–548.
    • Тамманн, Густав Х.Дж.А. (1920) "Über eine Methode zur Bestimmung der Abhängigkeit des Schmelzpunktes einer Kristallamelle von ihrer Dicke" (О методе определения зависимости температуры плавления кристаллической пластины от ее толщины) Zeitschrift für anorganische und allgemeine Chemie, 110 (1) : 166–168.
19. Мейснер, Ф. (1920) "Mitteilungen aus dem Institut für Physikalische Chemie der Universität Göttingen. Nr. 8. Über den Einfluß der Zerteilung auf die Schmelztemperatur" (Доклады Института физической химии Геттингенского университета. № 8. О влиянии деления на температуру плавления), Zeitschrift für anorganische und allgemeine Chemie, 110 (1): 169–186. Мейснер представляет форму уравнения Гиббса – Томсона в виде уравнения (2) на странице 174.
20. Примечание:
    • Эрнст Ри впервые опубликовал уравнение Гиббса – Томсона в 1920 году в своей диссертации на соискание ученой степени Венского университета.
    • Выдержки из этой диссертации были опубликованы в 1923 году в: Ernst Rie (1923) "Über die Einfluss der Oberflächenspannung auf Schmelzen und Gefrieren" (О влиянии поверхностного натяжения на плавление и замерзание), Zeitschrift für Physikalische Chemie, 104 : 354–362.
    • Черновой вариант статьи Ри в Zeitschrift für Physikalische Chemie появляется в: Ernst Rie (1920) Vorläufige Meitteilung: «Einfluß der Oberflächenspannung auf Schmelzen und Gefrieren» (Предварительный отчет: Влияние поверхностного натяжения на плавление и замерзание), Anzeiger der Akademie der Wissenschaften в Вене: Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse (Вестник Венской философской академии: математико-научный раздел), 57 : 137–139. Доступно в Интернете по адресу: Государственный музей Австрии. Уравнение Гиббса – Томсона приведено на странице 138.
21. См. Например:
    • А.Б. Macallum (7 октября 1910 г.) «Поверхностное натяжение по отношению к клеточным процессам», Наука, 32 (823): 449–458. После объяснения принципа Гиббса-Томсона (и его происхождения) на странице 455 он использует термин «принцип Гиббса-Томсона» на странице 457: «Это определение основано на выводе из принципа Гиббса-Томсона, что, где в ячейке неорганический элемент или соединение сконцентрированы, поверхностное натяжение в этой точке ниже, чем где-либо в ячейке ».

    Также: А. Макаллум (14 октября 1910 г.) «Поверхностное натяжение по отношению к клеточным процессам. II», Наука, 32 (824) : 492–502.

    • Дункан А. Макиннес и Леон Адлер (1919) «Водородное перенапряжение», Журнал Американского химического общества, 41 (2): 194–207. «По закону Гиббса-Томпсона вещества, которые снижают поверхностное натяжение, являются веществами, которые адсорбируются».
    • Шанти Сваруп Бхатнагар и Дашарат Лал Шривастава (1924) «Оптическая неактивность активных сахаров в адсорбированном состоянии - вклад в химическую теорию адсорбции. I», Журнал физической химии, 28 (7): 730–743. Со страницы 730: «В настоящее время существуют три хорошо известные теории относительно механизма защитного действия коллоидов: (1) что защитный агент концентрируется на границе раздела коллоидных частиц и дисперсионной среды в соответствии с [] Гиббсом-Томсоном. закон, ..."
    • Ашутош Гангули (1930) «Об адсорбции газов твердыми телами», Журнал физической химии, 34 (3): 665–668. Со страницы 665: «Тесная связь адсорбции с поверхностным натяжением была показана задолго до этого Гиббсом, впоследствии известная как уравнение Гиббса – Томсона».
22. Фредерик Джордж Доннан и Артур Эрих Хаас, ред. Комментарий к научным трудам Дж. Уилларда Гиббса, т. 1 (Нью-Хейвен, Коннектикут: Yale University Press, 1936), стр. 544. В 1878 году Гиббс опубликовал уравнение, касающееся адсорбции растворенного вещества на границе раздела двух фаз, а в 1888 году J.J. Томсон опубликовал уравнение, касающееся того же явления, которое он получил другим методом, но которое внешне напоминало результат Гиббса. Очевидно, оба уравнения в конечном итоге были известны как «уравнение Гиббса – Томсона». Со страницы 544: «Существует довольно распространенное впечатление, что эти два уравнения одинаковы, но это не так; и как по соображениям приоритета, так и из-за более широкого охвата результата Гиббса нет оправдания для использования название «уравнение Гиббса – Томсона», которое иногда встречается в литературе, хотя несомненно верно, что работа Томсона была выполнена независимо ».
23. Сэр Уильям Томсон (1871) «О равновесии пара на искривленной поверхности жидкости». Философский журнал, серия 4, 42 (282): 448-452. См. Уравнение (2) на стр. 450.
24. Роберт фон Гельмгольц (1886) "Untersuchungen über Dämpfe und Nebel, besonders über solche von Lösungen" (Исследования паров и туманов, особенно таких вещей из растворов), Annalen der Physik, 263 (4): 508–543. На страницах 523–525 Роберт фон Гельмгольц преобразовывает уравнение Кельвина в уравнение Оствальда – Фрейндлиха.
25. Вывод Робертом фон Гельмгольцем уравнения Оствальда – Фрейндлиха из уравнения Кельвина воспроизводится (на английском языке) на странице «Обсуждение» статьи Википедии об уравнении Оствальда – Фрейндлиха.
26. Этот вывод уравнения Гиббса-Томсона появляется на страницах 417–418 книги: Джеймс Э. Макдональд (декабрь 1953 г.) «Гомогенное зародышеобразование капель переохлажденной воды», Журнал метеорологии, 10 : 416–433. Доступно в Интернете по адресу: Princeton.edu
27. Джозайя Уиллард Гиббс (1878) "О равновесии гетерогенных веществ", Труды Академии искусств и наук Коннектикута, 3 : 343–524. Уравнение для энергии, необходимой для создания поверхности между двумя фазами, появляется на стр. 483. Перепечатано в: Джозайя Уиллард Гиббс с Генри Эндрюсом Бамстедом и Ральфом Гиббсом ван Неймом, ред. Научные статьи Дж. Уилларда Гиббса, ..., т. 1, (Нью-Йорк: Longmans, Green and Co., 1906), стр. 315.
28. См., Например: Мартин Иден Гликксман, Принципы затвердевания, (Нью-Йорк: Springer Science + Business Media, 2011), страницы 199–201.
29. J. G. McLean и др., «Модель и симуляция распада отдельных наноразмерных поверхностных элементов» в: M.C. Приливы, изд., Поверхностная диффузия: атомистические и коллективные процессы (Нью-Йорк: Plenum Press, 1997), стр.378.
30. М. В. Барсум, Основы керамики (Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис, 2003 г.), стр. 346.