Гармонический конъюгат - Harmonic conjugate

Для геометрических сопряженных точек см. Проективное гармоническое сопряжение.

«Сопряженная функция» перенаправляется сюда. О выпуклой сопряженной функции см. Выпуклый конъюгат.

В математика, действительная функция ${\displaystyle u(x,y)}$ определено на подключенном открытом множестве ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ как говорят, имеет сопряженную (функцию) ${\displaystyle v(x,y)}$ тогда и только тогда, когда они являются соответственно действительной и мнимой частями голоморфная функция ${\displaystyle f(z)}$ комплексной переменной ${\displaystyle z:=x+iy\in \Omega .}$ То есть, ${\displaystyle v}$ сопряжен с ${\displaystyle u}$ если ${\displaystyle f(z):=u(x,y)+iv(x,y)}$ голоморфен на ${\displaystyle \Omega .}$ Как первое следствие определения, они оба гармонический действительные функции на ${\displaystyle \Omega }$. Более того, сопряженная с ${\displaystyle u,}$ если он существует, уникален с точностью до аддитивной константы. Также, ${\displaystyle u}$ сопряжен с ${\displaystyle v}$ если и только если ${\displaystyle v}$ сопряжен с ${\displaystyle -u}$.

Описание

Эквивалентно ${\displaystyle v}$ сопряжен с ${\displaystyle u}$ в ${\displaystyle \Omega }$ если и только если ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ удовлетворить Уравнения Коши – Римана в ${\displaystyle \Omega .}$ Как непосредственное следствие последнего эквивалентного определения, если ${\displaystyle u}$ - любая гармоническая функция на ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2},}$ функция ${\displaystyle u_{y}}$ сопряжен с ${\displaystyle -u_{x},}$ так как тогда уравнения Коши – Римана просто ${\displaystyle \Delta u=0}$ и симметрия смешанных производных второго порядка, ${\displaystyle u_{xy}=u_{yx}.}$ Следовательно, гармоническая функция ${\displaystyle u}$ допускает сопряженную гармоническую функцию тогда и только тогда, когда голоморфная функция ${\displaystyle g(z):=u_{x}(x,y)-iu_{y}(x,y)}$ имеет примитивный ${\displaystyle f(z)}$ в ${\displaystyle \Omega ,}$ в этом случае конъюгат ${\displaystyle u}$ это, конечно, ${\displaystyle \mathrm {Im} f(x+iy).}$ Таким образом, любая гармоническая функция всегда допускает сопряженную функцию, если ее область определения односвязный, и в любом случае он допускает сопряжение локально в любой точке своей области определения.

Есть оператор, принимающий гармоническую функцию ты в односвязном регионе в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ своему гармоническому сопряженному v (например, v(Икс₀) = 0 на заданном Икс₀ чтобы зафиксировать неопределенность сопряженного с точностью до констант). Это хорошо известно в приложениях как (по сути) Преобразование Гильберта; это также основной пример в математический анализ, в связи с сингулярные интегральные операторы. Сопряженные гармонические функции (и преобразование между ними) также являются одним из простейших примеров Преобразование Бэклунда (два УЧП и преобразование, связывающее их решения), в данном случае линейное; более сложные преобразования представляют интерес солитоны и интегрируемые системы.

Геометрически ты и v связаны как имеющие ортогональные траектории, вдали от нулей основной голоморфной функции; контуры, на которых ты и v постоянный крест на прямые углы. В этом отношении, u + iv будет комплексный потенциал, куда ты это потенциальная функция и v это функция потока.

Примеры

Например, рассмотрим функцию

${\displaystyle u(x,y)=e^{x}\sin y.}$

С

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=e^{x}\sin y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=e^{x}\sin y}$

и

${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=e^{x}\cos y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}=-e^{x}\sin y,}$

это удовлетворяет

${\displaystyle \Delta u=\nabla ^{2}u=0}$

(${\displaystyle \Delta }$ это Оператор Лапласа ) и поэтому гармоничен. Теперь предположим, что у нас есть ${\displaystyle v(x,y)}$ такие, что выполняются уравнения Коши – Римана:

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$

и

${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}=e^{x}\cos y.}$

Упрощение,

${\displaystyle {\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$

и

${\displaystyle {\partial v \over \partial x}=-e^{x}\cos y}$

который при решении дает

${\displaystyle v=-e^{x}\cos y+C.}$

Обратите внимание, что если функции, связанные с ты и v были заменены местами, функции не были бы гармонически сопряженными, так как знак минус в уравнениях Коши – Римана делает соотношение асимметричным.

В конформное отображение собственностью аналитические функции (в точках, где производная не равна нулю) вызывает геометрическое свойство гармонических сопряжений. Ясно, что гармоническое сопряжение Икс является у, а линии постоянных Икс и постоянный у ортогональны. Конформность говорит, что контуры постоянного ты(Икс,у) и v(Икс,у) также будут ортогональными в месте пересечения (вдали от нулей ж′(z)). Это означает, что v конкретное решение ортогональная траектория задача для семейства контуров, заданных ты (не единственное решение, естественно, так как мы можем брать также функции v): вопрос, восходящий к математике семнадцатого века, о нахождении кривых, которые пересекают данное семейство непересекающихся кривых в прямые углы.

Гармоническое сопряжение в геометрии

Основная статья: Проективное гармоническое сопряжение

Существует дополнительное вхождение термина гармоническое сопряжение в математика, а точнее в проективная геометрия. Две точки А и B как говорят гармонические конъюгаты друг друга относительно другой пары точек CD если перекрестное соотношение (ABCD) = –1.

Рекомендации

• Браун, Джеймс Уорд; Черчилль, Руэль В. (1996). Сложные переменные и приложения (6-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п.61. ISBN  0-07-912147-0. Если две заданные функции ты и v гармоничны в области D а их частные производные первого порядка удовлетворяют уравнениям Коши-Римана (2) на всем протяжении D, v считается гармоническое сопряжение из ты.

внешняя ссылка

• Коэффициент гармоник
• «Сопряженные гармонические функции», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]