Ортогональная траектория - Orthogonal trajectory

Концентрические окружности с ортогональными траекториями (1. пример)

Параболы с ортогональными траекториями (2. пример)

В математика ан ортогональная траектория является

• кривая, которая пересекает любую кривую данного пучка (плоских) кривых ортогонально.

Например, ортогональные траектории пучка концентрические круги - это линии, проходящие через их общий центр (см. диаграмму).

Подходящие методы для определения ортогональных траекторий предоставляются путем решения дифференциальные уравнения. Стандартный метод устанавливает первый порядок обыкновенное дифференциальное уравнение и решает это разделение переменных. Оба шага могут быть трудными или даже невозможными. В таких случаях необходимо применять численные методы.

Ортогональные траектории используются в математике, например, как криволинейные системы координат (т.е. эллиптические координаты ) или появляются в физике как электрические поля и их эквипотенциальные кривые.

Если траектория пересекает данные кривые под произвольным (но фиксированным) углом, то получается изогональная траектория.

Определение ортогональной траектории

В декартовых координатах

Обычно предполагается, что пучок кривых неявно заданный уравнением

(0) ${\displaystyle :\ F(x,y,c)=0,\qquad }$ 1. пример ${\displaystyle :\ x^{2}+y^{2}-c=0\ ,\qquad }$ 2. пример ${\displaystyle y=cx^{2}\ \leftrightarrow \ y-cx^{2}=0\ ,}$

куда ${\displaystyle c}$ - параметр карандаша. Если карандаш дан явно уравнением ${\displaystyle y=f(x,c)}$, можно изменить представление на неявное: ${\displaystyle y-f(x,c)=0}$. Для дальнейшего рассмотрения предполагается, что все необходимые производные существуют.

Шаг 1.

Неявная дифференциация за ${\displaystyle x}$ дает

(1) ${\displaystyle :\ F_{x}(x,y,c)+F_{y}(x,y,c)\;y'=0,\qquad }$ в 1. примере ${\displaystyle :\ 2x+2yy'=0\ ,\qquad }$ 2. пример ${\displaystyle :\ y'-2cx=0\ .}$

Шаг 2.

Теперь предполагается, что уравнение (0) может быть решено относительно параметра ${\displaystyle c}$, который, таким образом, можно исключить из уравнения (1). Получается дифференциальное уравнение первого порядка

(2) ${\displaystyle :\ y'=f(x,y),\qquad }$ в 1. примере ${\displaystyle :\ y'=-{\frac {x}{y}}\ ,\qquad }$ 2. пример ${\displaystyle :\ y'=2{\frac {y}{x}}\ ,}$

которое выполняется данным пучком кривых.

Шаг 3.

Поскольку наклон ортогональной траектории в точке ${\displaystyle (x,y)}$ это отрицательный мультипликативный обратный наклон данной кривой в этой точке ортогональная траектория удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка

(3) ${\displaystyle :\ y'=-{\frac {1}{f(x,y)}}\ ,\qquad }$ в 1. примере ${\displaystyle :\ y'=y/x\ ,\qquad }$ 2. пример ${\displaystyle :\ y'=-{\frac {x}{2y}}\ .}$

Шаг 4.

Это дифференциальное уравнение можно (надеюсь) решить подходящим методом.
Для обоих примеров разделение переменных подходящий. Решения:
в примере 1 строки ${\displaystyle y=mx,\ m\in \mathbb {R} }$ и
в примере 2 эллипсы ${\displaystyle x^{2}+2y^{2}=d,\ d>0\ .}$

В полярных координатах

Если пучок кривых неявно представлен в полярные координаты к

(0p) ${\displaystyle :\ F(r,\varphi ,c)=0}$

определяется, как и в декартовом случае, дифференциальное уравнение без параметров

(1p) ${\displaystyle :\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=0,\qquad }$

(2p) ${\displaystyle :\ \varphi '=f(r,\varphi )}$

карандаша. Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид (см. Redheffer & Port, с. 65, Heuser, с. 120)

(3p) ${\displaystyle :\ \varphi '=-{\frac {1}{{\color {red}r^{2}}f(r,\varphi )}}\ .}$

Ортогональные кардиоиды

Пример: Кардиоиды:

(0p) ${\displaystyle :\ F(r,\varphi ,c)=r-c(1+\cos \varphi )=0,\ c>0\ .\ }$ (на схеме: синий)

(1p) ${\displaystyle :\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=1+c\sin \varphi \;\varphi '=0,\qquad }$

Устранение ${\displaystyle c}$ дает дифференциальное уравнение данного пучка:

(2p) ${\displaystyle :\ \varphi '=-{\frac {1+\cos \varphi }{r\sin \varphi }}}$

Следовательно, дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид:

(3p) ${\displaystyle :\ \varphi '={\frac {\sin \varphi }{r(1+\cos \varphi )}}}$

После решения этого дифференциального уравнения с помощью разделение переменных один получает

${\displaystyle r=d(1-\cos \varphi )\ ,\ d>0\ ,}$

который описывает пучок кардиоидов (красный на схеме), симметричный данному пучку.

Изогональная траектория

• Кривая, которая пересекает любую кривую данного пучка (плоских) кривых под фиксированным углом. ${\displaystyle \alpha }$ называется изогональная траектория.

Между склоном ${\displaystyle \eta '}$ изогональной траектории и наклона ${\displaystyle y'}$ кривой карандаша в точке ${\displaystyle (x,y)}$ имеет место следующее соотношение:

${\displaystyle \eta '={\frac {y'+\tan(\alpha )}{1-y'\tan(\alpha )}}\ .}$

Это соотношение обусловлено формулой для ${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )}$. За ${\displaystyle \alpha \rightarrow 90^{\circ }}$ получается условие для ортогональный траектория.

Для определения изогональной траектории необходимо настроить шаг 3. инструкции выше:

3. шаг (изог. Традж.)

Дифференциальное уравнение изогональной траектории имеет вид:

• (3i) ${\displaystyle :\ y'={\frac {f(x,y)+\tan(\alpha )}{1-f(x,y)\;\tan(\alpha )}}\ .}$

Изогональные траектории концентрических окружностей для ${\displaystyle \alpha =45^{\circ }}$

Для 1. примера (концентрические окружности) и угла ${\displaystyle \alpha =45^{\circ }}$ один получает

(3i) ${\displaystyle :\ y'={\frac {-x/y+1}{1+x/y}}\ .}$

Это особый вид дифференциального уравнения, которое можно преобразовать с помощью замены ${\displaystyle z=y/x}$ в дифференциальное уравнение, которое можно решить с помощью разделение переменных. После обращения замены получаем уравнение решения:

${\displaystyle \arctan {\frac {y}{x}}+{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})=C\ .}$

Введение полярных координат приводит к простому уравнению

${\displaystyle C-\varphi =\ln(r)\ ,}$

который описывает логарифмические спирали (см. диаграмму).

Численные методы

В случае, если дифференциальное уравнение траекторий не может быть решено теоретическими методами, необходимо решить его численно, например Методы Рунге – Кутты.

Смотрите также

• Кассини овал
• Конфокальные конические сечения
• Траектория
• Аполлонические круги, пары семейств окружностей, все ортогональные друг другу

Рекомендации

• А. Джеффри: Высшая инженерная математика, Hartcourt / Academic Press, 2002 г., ISBN  0-12-382592-X, п. 233.
• С. Б. Рао: Дифференциальные уравнения, University Press, 1996, ISBN  81-7371-023-6, п. 95.
• Р. М. Редхеффер, Д. Порт: Дифференциальные уравнения: теория и приложения, Джонс и Бартлетт, 1991, ISBN  0-86720-200-9, п. 63.
• Х. Хойзер: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg + Teubner, 2009 г., ISBN  978-3-8348-0705-2, п. 120.
• Тененбаум, Моррис; Поллард, Гарри (2012), Обыкновенные дифференциальные уравнения., Dover Книги по математике, Courier Dover, p. 115, ISBN  9780486134642.

внешняя ссылка

• Исследование ортогональных траекторий - апплет, позволяющий рисовать семейства кривых и их ортогональные траектории.
• mathcurve: ПОЛЕВЫЕ ЛИНИИ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛИНИИ, ДВОЙНАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА