Гавриляк – Негами релаксация - Havriliak–Negami relaxation

В Гавриляк – Негами релаксация представляет собой эмпирическую модификацию Дебай релаксация модель в электромагнетизме. В отличие от модели Дебая, релаксация Гавриляка – Негами учитывает асимметрия и широта диэлектрическая дисперсия изгиб. Модель впервые была использована для описания диэлектрической релаксации некоторых полимеры,^[1] добавив два экспоненциальный параметры к уравнению Дебая:

${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon _{\infty }+{\frac {\Delta \varepsilon }{(1+(i\omega \tau )^{\alpha })^{\beta }}},}$

куда ${\displaystyle \varepsilon _{\infty }}$ это диэлектрическая проницаемость на пределе высоких частот, ${\displaystyle \Delta \varepsilon =\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }}$ куда ${\displaystyle \varepsilon _{s}}$ - статическая низкочастотная диэлектрическая проницаемость, а ${\displaystyle \tau }$ это характеристика время отдыха среды. Показатели ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ описывают асимметрию и широту соответствующих спектров.

В зависимости от приложения преобразование Фурье растянутая экспоненциальная функция может быть жизнеспособной альтернативой, у которой на один параметр меньше.

За ${\displaystyle \beta =1}$ уравнение Гавриляка – Негами сводится к Уравнение Коула – Коула, за ${\displaystyle \alpha =1}$ к Уравнение Коула – Дэвидсона.

Математические свойства

Реальные и мнимые части

Часть хранения ${\displaystyle \varepsilon '}$ и часть потерь ${\displaystyle \varepsilon ''}$ диэлектрической проницаемости (здесь: ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon '(\omega )-i\varepsilon ''(\omega )}$) можно рассчитать как

${\displaystyle \varepsilon '(\omega )=\varepsilon _{\infty }+\Delta \varepsilon \left(1+2(\omega \tau )^{\alpha }\cos(\pi \alpha /2)+(\omega \tau )^{2\alpha }\right)^{-\beta /2}\cos(\beta \phi )}$

и

${\displaystyle \varepsilon ''(\omega )=\Delta \varepsilon \left(1+2(\omega \tau )^{\alpha }\cos(\pi \alpha /2)+(\omega \tau )^{2\alpha }\right)^{-\beta /2}\sin(\beta \phi )}$

с

${\displaystyle \phi =\arctan \left({(\omega \tau )^{\alpha }\sin(\pi \alpha /2) \over 1+(\omega \tau )^{\alpha }\cos(\pi \alpha /2)}\right)}$

Пик потерь

Максимум части потерь составляет

${\displaystyle \omega _{\rm {max}}=\left({\sin \left({\pi \alpha \over 2(\beta +1)}\right) \over \sin \left({\pi \alpha \beta \over 2(\beta +1)}\right)}\right)^{1/\alpha }\tau ^{-1}}$

Суперпозиция лоренцевых

Релаксация Гавриляка – Негами может быть выражена как суперпозиция индивидуальных дебаевских релаксаций.

${\displaystyle {{\hat {\varepsilon }}(\omega )-\epsilon _{\infty } \over \Delta \varepsilon }=\int _{\tau _{D}=0}^{\infty }{1 \over 1+i\omega \tau _{D}}g(\ln \tau _{D})d\ln \tau _{D}}$

с функцией распределения

${\displaystyle g(\ln \tau _{D})={1 \over \pi }{(\tau _{D}/\tau )^{\alpha \beta }\sin(\beta \theta ) \over ((\tau _{D}/\tau )^{2\alpha }+2(\tau _{D}/\tau )^{\alpha }\cos(\pi \alpha )+1)^{\beta /2}}}$

куда

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\sin(\pi \alpha ) \over (\tau _{D}/\tau )^{\alpha }+\cos(\pi \alpha )}\right)}$

если аргумент арктангенса положительный, иначе^[2]

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\sin(\pi \alpha ) \over (\tau _{D}/\tau )^{\alpha }+\cos(\pi \alpha )}\right)+\pi }$

Логарифмические моменты

Первый логарифмический момент этого распределения, среднее время логарифмической релаксации

${\displaystyle \langle \ln \tau _{D}\rangle =\ln \tau +{\Psi (\beta )+{\rm {Eu}} \over \alpha }}$

куда ${\displaystyle \Psi }$ это функция дигаммы и ${\displaystyle {\rm {Eu}}}$ то Постоянная Эйлера.^[3]

Обратное преобразование Фурье

Обратное преобразование Фурье функции Гавриляка-Негами (соответствующая функция релаксации во временной области) может быть вычислено численно.^[4] Можно показать, что рассматриваемые разложения в ряды являются частными случаями Функция Фокса – Райта.^[5] В частности, во временной области соответствующие ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )}$ можно представить как

${\displaystyle X(t)=\varepsilon _{\infty }\delta (t)+{\frac {\Delta \varepsilon }{\tau }}\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha \beta -1}E_{\alpha ,\alpha \beta }^{\beta }(-(t/\tau )^{\alpha }),}$

куда ${\displaystyle \delta (t)}$ - дельта-функция Дирака и

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)={\frac {1}{\Gamma (\gamma )}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (\gamma +k)z^{k}}{k!\Gamma (\alpha k+\beta )}}}$

является частным случаем Функция Фокса – Райта и, точнее, это три параметра Функция Миттаг-Леффлера^[6] также известна как функция Прабхакара. Функция ${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)}$ можно численно оценить, например, с помощью кода Matlab.^[7]

Рекомендации

1. Гавриляк, С .; Негами, С. (1967). «Комплексное представление плоскости диэлектрических и механических релаксационных процессов в некоторых полимерах». Полимер. 8: 161–210. Дои:10.1016/0032-3861(67)90021-3.
2. Зорн, Р. (1999). «Применимость функций распределения для спектральной функции Гавриляка – Негами». Журнал науки о полимерах, часть B. 37 (10): 1043–1044. Bibcode:1999JPoSB..37.1043Z. Дои:10.1002 / (SICI) 1099-0488 (19990515) 37:10 <1043 :: AID-POLB9> 3.3.CO; 2-8.
3. Зорн, Р. (2002). «Логарифмические моменты распределений времени релаксации» (PDF). Журнал химической физики. 116 (8): 3204–3209. Bibcode:2002ЖЧФ.116.3204З. Дои:10.1063/1.1446035.
4. Шёнхальс, А. (1991). «Быстрый расчет зависящей от времени диэлектрической проницаемости для функции Гавриляка-Негами». Acta Polymerica. 42: 149–151.
5. Хильфер, Дж. (2002). "ЧАС-функции для растянутой экспоненциальной релаксации и недебаевской восприимчивости в стеклообразных системах ». Физический обзор E. 65: 061510. Bibcode:2002PhRvE..65f1510H. Дои:10.1103 / Physreve.65.061510.
6. Горенфло, Рудольф; Килбас, Анатолий А .; Майнарди, Франческо; Рогозин, Сергей В. (2014). Спрингер (ред.). Функции Миттаг-Леффлера, связанные темы и приложения. ISBN  978-3-662-43929-6.
7. Гарраппа, Роберто. «Функция Миттаг-Леффлера». Получено 3 ноября 2014.

Смотрите также

• Уравнение Коула – Коула
• Диэлектрическая спектроскопия
• Диполь