Фактор Herbrand - Herbrand quotient

В математика, то Фактор Herbrand это частное заказов когомология группы циклическая группа. Это было изобретено Жак Эрбранд. Он имеет важное применение в теория поля классов.

Определение

Если грамм конечная циклическая группа, действующая на грамм-модуль А, то группы когомологий ЧАС^п(грамм,А) имеют период 2 для п≥1; другими словами

ЧАС^п(грамм,А) = ЧАС^п+2(грамм,А),

ан изоморфизм индуцированный чашка продукта с генератором ЧАС²(грамм,Z). (Если вместо этого мы используем Группы когомологий Тейта то периодичность простирается до п=0.)

А Модуль Herbrand является А для которых группы когомологий конечны. В этом случае Фактор Herbrand час(грамм,А) определяется как частное

час(грамм,А) = |ЧАС²(грамм,А)|/|ЧАС¹(грамм,А)|

порядка четных и нечетных групп когомологий.

Альтернативное определение

Частное может быть определено для пары эндоморфизмы из Абелева группа, ж и грамм, удовлетворяющие условию фг = gf = 0. Их фактор Эрбранда q(ж,грамм) определяется как

${displaystyle q(f,g)={frac {|mathrm {ker} f:mathrm {im} g|}{|mathrm {ker} g:mathrm {im} f|}}}$

если двое индексы конечны. Если грамм - циклическая группа с образующей γ, действующей на абелеву группу А, то восстанавливаем предыдущее определение, взяв ж = 1 - γ и грамм = 1 + γ + γ² + ... .

Характеристики

• Фактор Эрбранда равен мультипликативный на короткие точные последовательности.^[1] Другими словами, если

0 → А → B → C → 0

является точным, и любые два из частных определены, то же самое третье и^[2]

час(грамм,B) = час(грамм,А)час(грамм,C)

• Если А конечно, то час(грамм,А) = 1.^[2]
• За А является подмодулем грамм-модуль B конечного индекса, если одно из частных определено, то также и другое, и они равны:^[1] в более общем смысле, если есть грамм-морфизм А → B с конечным ядром и коядром то же самое.^[2]
• Если Z это целые числа с грамм действуя тривиально, то час(грамм,Z) = |грамм|
• Если А является конечно порожденным грамм-модуль, то фактор Эрбрана час(А) зависит только от комплекса грамм-модуль C⊗А (и это можно понять по характеру этого сложного представления грамм).

Эти свойства означают, что фактор Эрбранда обычно относительно легко вычислить, и часто его гораздо проще вычислить, чем порядки любой из отдельных групп когомологий.

Смотрите также

• Формирование класса

Примечания

1. Коэн (2007), стр.245
2. Серр (1979) стр.134

Рекомендации

• Атья, М.Ф.; Уолл, C.T.C. (1967). «Когомологии групп». В Касселс, J.W.S.; Фрёлих, Альбрехт (ред.). Алгебраическая теория чисел. Академическая пресса. Zbl  0153.07403. См. Раздел 8.
• Артин, Эмиль; Тейт, Джон (2009). Теория поля классов. AMS Chelsea. п. 5. ISBN  0-8218-4426-1. Zbl  1179.11040.
• Коэн, Анри (2007). Теория чисел - Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Тексты для выпускников по математике. 239. Springer-Verlag. С. 242–248. ISBN  978-0-387-49922-2. Zbl  1119.11001.
• Януш, Джеральд Дж. (1973). Поля алгебраических чисел. Чистая и прикладная математика. 55. Академическая пресса. п. 142. Zbl  0307.12001.
• Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел. Энцикл. Математика. Sci. 62 (2-е издание 1-го изд.). Springer-Verlag. С. 120–121. ISBN  3-540-63003-1. Zbl  0819.11044.
• Серр, Жан-Пьер (1979). Местные поля. Тексты для выпускников по математике. 67. Переведено Гринберг, Марвин Джей. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90424-7. Zbl  0423.12016.