История теории типов - History of type theory

В теория типов изначально был создан, чтобы избежать парадоксов во множестве формальных логика и переписывать системы. Позже теория типов была отнесена к классу формальные системы, некоторые из которых могут служить альтернативой наивная теория множеств как основа всей математики.

Это было связано с формальной математикой с тех пор, как Principia Mathematica к сегодняшнему помощники доказательства.

1900–1927

Происхождение теории типов Рассела

В письме к Готтлоб Фреге (1902), Бертран Рассел объявил о своем открытии парадокса Фреге Begriffsschrift.[1] Фреге быстро ответил, признав проблему и предложив решение в техническом обсуждении «уровней». Цитируя Фреге:

Между прочим, мне кажется, что выражение "а предикат предикат сам по себе "не является точным. Предикат, как правило, является функцией первого уровня, и эта функция требует объект в качестве аргумента и не может иметь себя в качестве аргумента (субъекта). Поэтому я бы предпочел сказать, что" концепция является предикатом собственного расширения ".[2]

Он пытается показать, как это может работать, но, кажется, отказывается от этого. Как следствие того, что стало известно как Парадокс Рассела и Фреге, и Расселу пришлось быстро вносить поправки в работы, которые были у них в типографии. В Приложении B, которое Рассел прикрепил к своему Принципы математики (1903) обнаруживается его «предварительная» теория типов. Этот вопрос мучил Рассела около пяти лет.[3]

Уиллард Куайн[4] представляет собой исторический синопсис происхождения теории типов и «разветвленной» теории типов: рассмотрев отказ от теории типов (1905), Рассел, в свою очередь, предложил три теории:

  1. теория зигзага
  2. теория ограничения размера,
  3. теория бесклассов (1905–1906), а затем,
  4. повторное принятие теории типов (1908ff)

Куайн отмечает, что введение Расселом понятия «кажущаяся переменная» дало следующий результат:

различие между 'all' и 'any': 'all' выражается связанной ('кажущейся') переменной универсальной квантификации, которая колеблется по типу, а 'any' выражается свободной ('реальной') переменной который схематично относится к любой неопределенной вещи независимо от типа.

Куайн отвергает это понятие «связанной переменной» как «бессмысленно помимо определенного аспекта теории типов".[5]

"Разветвленная" теория типов 1908 г.

Куайн объясняет разветвленный теории следующим образом: «Она была названа так потому, что тип функции зависит как от типов ее аргументов, так и от типов видимых переменных, содержащихся в ней (или в ее выражении), в случае, если они превышают типы аргументы ".[5] Стивен Клини в его 1952 Введение в метаматематику описывает разветвленный теория типов так:

Первичные объекты или индивиды (т.е. данные вещи, не подлежащие логическому анализу) относятся к одному типу (скажем, тип 0), свойства индивидов к Тип 1, свойства свойств лиц к тип 2, так далее.; и не допускаются никакие свойства, которые не попадают ни в один из этих логических типов (например, это выводит свойства «предсказуемость» и «непредсказуемость» ... за пределы логики). Более подробный отчет описал бы допустимые типы для других объектов как отношения и классы. Затем исключить непредсказуемый определения внутри типа, типы выше типа 0 далее разделяются на порядки. Таким образом, для типа 1 свойства, определенные без упоминания какой-либо совокупности, принадлежат заказ 0, а свойства, определенные с использованием совокупности свойств данного порядка, относятся к следующему более высокому порядку. ... Но такое разделение на порядки делает невозможным построение знакомого анализа, который, как мы видели выше, содержит непредикативные определения. Чтобы избежать этого исхода, Рассел постулировал аксиома сводимости, который утверждает, что любому свойству, принадлежащему порядку выше самого низшего, существует коэкстенсивное свойство (т. е. свойство, которым обладают точно такие же объекты) порядка 0. Если считается, что существуют только определяемые свойства, то аксиома означает, что для каждого Импредикативное определение внутри данного типа есть эквивалентное предикативное (Kleene 1952: 44–45).

Аксиома сводимости и понятие «матрица»

Но поскольку положения разветвленной теории окажутся (цитируя Куайна) «обременительными», Рассел в своей книге 1908 г. Математическая логика на основе теории типов[6] также предложил бы свой аксиома сводимости. К 1910 году Уайтхед и Рассел в своем Principia Mathematica дополнил бы эту аксиому понятием матрица - полностью расширенная спецификация функции. Из его матрицы функция может быть получена процессом «обобщения» и наоборот, то есть два процесса обратимы - (i) обобщение от матрицы до функции (с использованием кажущихся переменных) и (ii) обратный процесс сокращение типа путем подстановки значений аргументов для кажущейся переменной. С помощью этого метода можно было избежать непредсказуемости.[7]

Таблицы истинности

В 1921 г. Эмиль Пост разработают теорию «функций истинности» и их таблиц истинности, которые заменят понятие очевидных и реальных переменных. Из его «Введения» 1921 года: «В то время как полная теория [Уайтхеда и Рассела (1910, 1912, 1913)] требует для формулировки своих предложений реальных и кажущихся переменных, которые представляют как индивидов, так и пропозициональные функции различных видов и, как следствие, требует громоздкой теории типов, эта подтеория использует только действительные переменные, и эти реальные переменные представляют лишь один вид сущностей, которые авторы решили назвать элементарными предложениями ».[8]

Примерно в то же время Людвиг Витгенштейн разработал аналогичные идеи в своей работе 1922 г. Логико-философский трактат:

3.331. Из этого наблюдения мы получаем дальнейший взгляд на теорию типов Рассела. Ошибка Рассела подтверждается тем фактом, что при составлении своих символических правил он должен говорить о значениях своих знаков.

3.332. Ни одно предложение не может ничего сказать о себе, потому что пропозициональный знак не может содержаться в себе (это вся «теория типов»).

3.333. Функция не может быть собственным аргументом, потому что функциональный знак уже содержит прототип своего собственного аргумента и не может содержать самого себя ...

Витгенштейн также предложил метод таблицы истинности. В своих работах с 4.3 по 5.101 Витгенштейн принимает неограниченный Инсульт Шеффера как его основная логическая сущность, а затем перечисляет все 16 функций двух переменных (5.101).

Понятие «матрица как таблица истинности» появляется еще в 1940–1950-х годах в работах Тарского, например. его указатели 1946 года "Матрица, см .: Таблица истинности"[9]

Сомнения Рассела

Рассел в его 1920 году Введение в математическую философию посвящает целую главу «Аксиоме бесконечности и логических типов», в которой высказывает свои опасения: «Теория типов категорически не принадлежит законченной и определенной части нашего предмета: большая часть этой теории все еще находится в зачаточном состоянии, запутана, и непонятно. Но необходимость немного доктрина типов менее сомнительна, чем точная форма, которую доктрина должна принять; и в связи с аксиомой бесконечности особенно легко увидеть необходимость такой доктрины ".[10]

Рассел отказывается от аксиомы сводимости: Во втором издании Principia Mathematica (1927) он признает аргумент Витгенштейна.[11] В начале своего введения он заявляет, что «не может быть никаких сомнений ... что нет необходимости проводить различие между действительными и кажущимися переменными ...».[12] Теперь он полностью принимает понятие матрицы и заявляет, что "A функция может появляться в матрице только через ее значения"(но возражает в сноске:" Занимает место (не совсем адекватно) аксиомы сводимости "[13]). Кроме того, он вводит новое (сокращенное, обобщенное) понятие «матрицы», то есть «логическая матрица ... та, которая не содержит констант. п|q это логическая матрица ".[14] Таким образом, Рассел фактически отказался от аксиомы сводимости,[15] но в своих последних абзацах он заявляет, что из «наших нынешних примитивных предложений» он не может вывести «дедекиндовы отношения и хорошо упорядоченные отношения», и отмечает, что если есть новая аксиома, которая заменит аксиому сводимости, «ее еще предстоит открыть».[16]

Теория простых типов

В 1920-е гг. Леон Чвистек[17] и Фрэнк П. Рэмси[18] заметил, что, если кто-то готов отказаться от принцип порочного круга, иерархия уровней типов в «разветвленной теории типов» может быть разрушена.

Полученная ограниченная логика называется теорией простых типов.[19] или, что чаще всего, теория простых типов.[20] Подробные формулировки теории простых типов были опубликованы в конце 1920-х - начале 1930-х годов Р. Карнапом, Ф. Рэмси, W.V.O. Куайн и А. Тарский. В 1940 г. Церковь Алонсо (пере) сформулировал это как просто типизированное лямбда-исчисление.[21] и исследован Геделем в 1944 году. Обзор этих достижений можно найти в Collins (2012).[22]

1940-е годы по настоящее время

Гёдель 1944

Курт Гёдель в его 1944 году Математическая логика Рассела дал следующее определение «теории простых типов» в сноске:

Под теорией простых типов я подразумеваю доктрину, которая гласит, что объекты мысли (или, в другой интерпретации, символические выражения) делятся на типы, а именно: индивиды, свойства индивидов, отношения между индивидами, свойства таких отношений, и т. д. (с аналогичной иерархией для расширений), и что предложения формы: " а имеет свойство φ ", " б имеет отношение р к c "и т. д. бессмысленны, если а, б, в, R, φ не подходят друг к другу. Смешанные типы (например, классы, содержащие индивидов и классы в качестве элементов) и, следовательно, также трансфинитные типы (например, класс всех классов конечных типов) исключаются. То, что теории простых типов достаточно, чтобы избежать эпистемологических парадоксов, показывает их более тщательный анализ. (См. Рэмси 1926 и Тарский 1935, п. 399). ».[23]

Он пришел к выводу, что (1) теория простых типов и (2) аксиоматическая теория множеств «допускают вывод современной математики и в то же время избегают всех известных парадоксов» (Gödel 1944: 126); кроме того, теория простых типов "является системой первых Principia [Principia Mathematica] в соответствующей интерпретации. . . . [M] любые симптомы слишком ясно показывают, однако, что примитивные концепции нуждаются в дальнейшем разъяснении »(Gödel 1944: 126).

Переписка Карри – Ховарда, 1934–1969 гг.

В Переписка Карри – Ховарда это интерпретация доказательств как программ и формул как типов. Идея началась в 1934 году с Хаскелл Карри и завершена в 1969 г. Уильям Элвин Ховард. Он соединил «вычислительную составляющую» многих теорий типов с выводами в логике.

Ховард показал, что типизированное лямбда-исчисление соответствует интуиционистскому естественный вычет (то есть естественный вывод без Закон исключенного среднего ). Связь между типами и логикой привела к большому количеству последующих исследований, направленных на поиск новых теорий типов для существующих логик и новых логик для существующих теорий типов.

АВТОМАТ де Брейна, 1967–2003 гг.

Николаас Говерт де Брёйн создал теорию типов Автомат в качестве математической основы для системы Automath, которая могла бы проверять правильность доказательств. Система развивалась и добавляла функции с течением времени по мере развития теории типов.

Интуиционистская теория типов Мартина-Лёфа, 1971–1984 гг.

Пер Мартин-Лёф нашел теорию типов, соответствующую логика предикатов путем введения зависимые типы, который стал известен как интуиционистская теория типов или теория типа Мартина-Лёфа.

Теория Мартина-Лёфа использует индуктивные типы для представления неограниченных структур данных, таких как натуральные числа.

Лямбда-куб Барендрегта, 1991 г.

В лямбда-куб была не новой теорией типов, а категоризацией существующих теорий типов. Восемь углов куба включают некоторые существующие теории с просто типизированное лямбда-исчисление в самом нижнем углу и расчет конструкций на самом высоком.

Рекомендации

  1. ^ Рассела (1902) Письмо Фреге появляется с комментариями в van Heijenoort 1967: 124–125.
  2. ^ Фреге (1902) Письмо Расселу появляется с комментариями в van Heijenoort 1967: 126–128.
  3. ^ ср. Комментарий Куайна перед Расселом (1908) Математическая логика на основе теории типов в Ван Хейенорте 1967: 150
  4. ^ ср. комментарий В. В. О. Куайн до Рассела (1908) Математическая логика на основе теории типов in van Hiejenoort 1967: 150–153
  5. ^ а б Комментарий Куайна перед Расселом (1908) Математическая логика на основе теории типов в Ван Хейенорте 1967: 151
  6. ^ Рассел (1908) Математическая логика на основе теории типов in van Heijenoort 1967: 153–182
  7. ^ ср. в частности п. 51 в главе II Теория логических типов и * 12 Иерархия типов и аксиома сводимости С. 162–167. Уайтхед и Рассел (1910–1913, 2-е издание 1927 г.) Principia Mathematica
  8. ^ Пост (1921) Введение в общую теорию элементарных предложений in van Heijenoort 1967: 264–283
  9. ^ Тарский 1946, Введение в логику и методологию дедуктивных наук, Дуврская республика 1995
  10. ^ Рассел 1920: 135
  11. ^ ср. «Введение» ко 2-му изданию, Russell 1927: xiv и Приложение C
  12. ^ ср. «Введение» ко 2-му изданию, Рассел 1927 г .: i
  13. ^ ср. «Введение» ко 2-му изданию, Russell 1927: xxix
  14. ^ Вертикальная черта «|» - штрих Шеффера; ср. «Введение» ко 2-му изданию, Russell 1927: xxxi
  15. ^ «Теория классов одновременно упрощается в одном направлении и усложняется в другом из-за предположения, что функции возникают только через свои значения, и из-за отказа от аксиомы сводимости»; ср. «Введение» ко 2-му изданию, Russell 1927: xxxix
  16. ^ Эти цитаты из «Введения» ко 2-му изданию, Russell 1927: xliv – xlv.
  17. ^ Л. Чвистек, Antynomje logikiformalnej, Przeglad Filozoficzny 24 (1921) 164–171
  18. ^ Ф. П. Рэмси, Основы математики, Труды Лондонского математического общества, Series 2 25 (1926) 338–384.
  19. ^ Gödel 1944, страницы 126 и 136–138, сноска 17: «Математическая логика Рассела» появляется в Курт Гёдель: Собрание сочинений: Публикации тома II, 1938–1974 гг., Oxford University Press, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN  978-0-19-514721-6(v.2.pbk).
  20. ^ Это не означает, что теория «проста», это означает, что теория ограниченный: типы разных порядков не должны смешиваться: «Смешанные типы (например, классы, содержащие индивидов и классы как элементы) и, следовательно, также трансфинитные типы (такие как класс всех классов конечных типов) исключаются». Gödel 1944, страницы 127, сноска 17: «Математическая логика Рассела» появляется в Курт Гёдель: Собрание сочинений: Публикации тома II, 1938–1974 гг., Oxford University Press, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN  978-0-19-514721-6(v.2.pbk).
  21. ^ А. Черч, Формулировка простой теории типов, Журнал символической логики 5 (1940) 56–68.
  22. ^ Дж. Коллинз, История теории типов: развитие после второго издания «Principia Mathematica». LAP Lambert Academic Publishing (2012). ISBN  978-3-8473-2963-3, особенно гл. 4–6.
  23. ^ Gödel 1944: 126 сноска 17: «Математическая логика Рассела» появляется в Курт Гёдель: Собрание сочинений: Публикации тома II, 1938–1974 гг., Oxford University Press, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN  978-0-19-514721-6(v.2.pbk).

Источники

  • Бертран Рассел (1903), Основы математики: Vol. 1, Cambridge at the University Press, Кембридж, Великобритания.
  • Бертран Рассел (1920), Введение в математическую философию (второе издание), Dover Publishing Inc., Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN  0-486-27724-0 (в частности, главы XIII и XVII).
  • Альфред Тарский (1946), Введение в логику и методологию дедуктивных наук, переиздано в 1995 г. компанией Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN  0-486-28462-X
  • Жан ван Хейеноорт (1967, 3-е издание 1976 г.), От Фреге до Геделя: справочник по математической логике, 1879–1931 гг., Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN  0-674-32449-8 (pbk)
    • Бертран Рассел (1902), Письмо Фреге с комментарием ван Хейеноорта, страницы 124–125. При этом Рассел объявляет о своем открытии «парадокса» в творчестве Фреге.
    • Готтлоб Фреге (1902), Письмо Расселу с комментарием ван Хейеноорта, страницы 126–128.
    • Бертран Рассел (1908), Математическая логика на основе теории типов, с комментарием Уиллард Куайн, страницы 150–182.
    • Эмиль Пост (1921), Введение в общую теорию элементарных предложений, с комментарием ван Хейеноорта, страницы 264–283.
  • Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел (1910–1913, 1927, 2-е издание, переиздано в 1962 году), Principia Mathematica до * 56, Cambridge at the University Press, Лондон, Великобритания, без ISBN или номера карты США в каталоге.
  • Людвиг Витгенштейн (переиздано в 2009 г.), Основные произведения: избранные философские сочинения, HarperCollins, Нью-Йорк. ISBN  978-0-06-155024-9. Витгенштейна (1921 г. на английском языке), Логико-философский трактат, страницы 1–82.

дальнейшее чтение

  • У. Фармер, «Семь достоинств теории простых типов», Журнал прикладной логики, Vol. 6, № 3. (сентябрь 2008 г.), стр. 267–286.